Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

A simulókör

A simulókör

Tekintsünk a görbén három nem kollineáris pontot, melyek mindegyike a -hoz tart. A három pont minden helyzetben egy kört határoz meg (kivéve, ha esetleg kollineárisak, de ez általános esetben csak elszigetelve fordulhat elő).

5.6. Tétel. A -on átmenő körök sorozata egy, a sorozattól független, csak a görbétől és a -tól függő határkörhöz tart, amely a -beli simulósíkban fekszik, -ban érinti a görbét és sugara .

A tételben szereplő kört simulókörnek, középpontját görbületi középpontnak és sugarát görbületi sugárnak nevezzük (lásd az alábbi videót).

  V I D E Ó  

A simulókörhöz másképp is eljuthatunk: húzzuk meg a görbe -beli normálisát, azaz az érintőre merőleges egyenest. Tegyük meg ugyanezt a görbe egy másik, pontjában. A két normális metszéspontja legyen . Tekintsük az középponttú, -n és -n átmenő kört. Ha tart -hoz, akkor az pont határhelyzete éppen a görbületi középpont lesz és így a körök sorozata a simulókörhöz tart.

Mindkét származtatásból nyilvánvaló, hogy a simulókörnek és a görbének a -beli érintője megegyezik. Tekintsük a ponton átmenő és ott a görbe érintőegyenesével megegyező érintőegyenesű köröket. Ezen körök között a simulókör különleges helyzetű: általában átmetszi a görbét -ban, míg a többi kör a pont környezetében egészen a görbe egyik vagy másik oldalán halad. A simulókör tehát éppen elválasztja a fenti körök két csoportját aszerint, hogy sugaruk kisebb vagy nagyobb, mint . Olyan görbepont, ahol a simulókör nem metszi át a görbét, csak elszigetelve fordulhat elő: ilyenek például az ellipszis tengelyeinek végpontjai. Ez alól csak a konstans görbületű görbék kivételek, melyeknek minden pontjuk ilyen. Említésre méltó, hogy egy kör simulóköre mindig maga a kör, amely azt jelenti, hogy a görbületi sugár minden pontban a kör sugara.

5.3. ábra. A simulókör általában átmetszi a görbét

Az görbe -beli (azaz a görbületi középpont körül sugárral írt) simulókörének egyenlete:

A simulókör ilyen előállításában a simulókörnek is ívhossza.

Két algebrai görbe közös pontjainak a meghatározása a két leíró egyenlet közös gyökeinek a keresését jelenti. Kúpszeletek esetén ez két másodfokú egyenlet közös gyökeinek a meghatározását jelenti, ez negyedfokú egyenletre vezet. A negyedfokú egyenletnek pontosan 4 gyöke van, megengedjük képzetes metszéspontok létezését is. 4 különböző gyök 4 különböző metszéspontot jelent. Ha valamely gyök multiplicitása 1-nél nagyobb, azaz a gyökök közül legalább 2 egyenlő, az illető gyökhöz tartozó metszéspontban a két görbe érintője közös. Általában: az -szeres multiplicitású gyökhelyre azt mondjuk, hogy ott a két kúpszelet -ed rendben érintkezik. Kúpszeletek esetében egy közös pont, mint gyök, legfeljebb négyszeres multiplicitással rendelkezik, ezért két kúpszelet érintkezése legfeljebb harmadrendű lehet.

A fenti konstrukcióból nyilvánvaló, hogy a simulókörnek és az eredeti görbének a pontban algebrailag háromszoros multiplicitású közös gyöke van, azaz ebben a pontban a simulókör másodrendben érinti a görbét, ezen kívül pedig van még egy, általában ettől különböző metszéspontjuk is. Speciális esetekben, melyek kúpszelet esetén éppen a tengelyek végpontjai, ez a negyedik gyök is megegyezik az előbbi hárommal, azaz ott a simulókör harmadrendben érinti a görbét. Ilyen értelemben is mondhatjuk, hogy a simulókör az adott pontban a görbét legjobban helyettesítő kör.

A simulókörök segítségével a kúpszelet egy ívdarabját jó közelítéssel körzővel is megszerkeszthetjük, ezt a műszaki életben gyakran alkalmazzák. Ezért érdekes, hogy hogyan szerkesztjük meg a kúpszelet simulóköreit. Ellipszis esetében a csúcspontok simulóköreinek szerkesztése klasszikus eljárás, melyet a 5.4. ábrán láthatunk. Az ellipszis két szomszédos csúcspontját, az pontokat összekötő szakaszra az és -beli érintők metszéspontjából merőlegest állítunk. Ahol ez a merőleges a két tengely egyenesét metszi, ott lesz a csúcsponti simulókörök és középpontja.

5.4. ábra. A simulókör szerkesztése az ellipszis csúcspontjaiban

Könnyen kiszámolható ugyanis, hogy pl. az

egyenletű ellipszisnek, melynek paraméteres alakja

a görbülete a csúcspontokban

ahol és az ellipszis két féltengelyének hossza. De az és a hasonlósága miatt

A pontban az igazolás hasonlóan történhet.

Hipebola csúcspontjában a simulókör szerkesztését a 5.5. ábrán láthatjuk. Parabola esetén, mely a 5.6. ábrán látható, azt is megfigyelhetjük, hogy a görbületi sugár a csúcspont és a fókusz távolságának kétszerese: .

5.5. ábra. A simulókör szerkesztése a hiperbola csúcspontjában

5.6. ábra. A simulókör szerkesztése a parabola csúcspontjában

A csúcsponti simulókörök szerkesztése természetesen nagyon speciális, mégis ezek a szerkesztések vezetnek el a kúpszeletek általános pontjában való simulókör szerkesztéshez. Ehhez az alábbi tétel nyújt segítséget.

5.7. Tétel. Ha adott egy kúpszelet pontja és ebben a érintőegyenese, akkor az olyan affin transzformációk, melyeknek tengelye , iránya pedig párhuzamos -vel, a P-beli simulókört invariánsan hagyják, azaz a kúpszelet affin képének simulóköre megegyezik az eredeti simulókörrel.

Ennek segítségével a kúpszelet általános pontjában a szerkesztés a következő. Szerkesszük meg a -beli érintőegyenest. Ilyen tengelyű és ilyen irányú affinitással vigyük át a kúpszeletet olyan kúpszeletbe, melynek éppen csúcspontja. Így a fent bemutatott eljárások egyikével megszerkeszthetjük a kúpszelet csúcsponti simulókörét, ami egybeesik az eredeti kúpszelet -beli simulókörével.