Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

A kísérő háromél

A kísérő háromél

4.2. ábra. A kísérő háromél és az általuk meghatározott síkok: a simulósík (S), a rektifikáló sík (R) és a normálsík (N)

A görbe minden pontjához megadható egy ortogonális háromél (triéder), melyben a vektorokat egy koordinátarendszer egységvektorainak választva a görbe vizsgálata jelentősen egyszerűsödik. Legyen az görbe kétszeresen folytonosan differenciálható, vonatkoztassuk ívhosszparaméterre és sehol se tűnjön el. A keresett ortogonális háromél első vektora legyen az egységnyi hosszúságú érintővektor, melyet -sel jelölünk. A második vektor legyen az érintővektornak a simulósíkban elhelyezkedő egyik normálisa. Az benne van a simulósíkban és az differenciálásából kapott szerint merőleges az érintőre. Így a második vektor legyen az irányú egységvektor, melyet főnormálisnak nevezünk és -sel jelölünk. A harmadik egységvektor legyen a mind a -re, mind az -re merőleges binormális vektor. A

vektorok tehát minden pontban egy helyi koordinátarendszert alkotnak. A és által felfeszített sík a simulósík, az és síkja a normál sík, míg a és síkja a rektifikáló sík. Ha egyes pontokban, vagy egy intervallumban , akkor ott a kísérő háromél nem képezhető. Ilyen intervallum esetén a görbe egyenes.