Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Az ívhossz

Az ívhossz

Legyen egy görbe, ennek egy íve, amely az I egy szakaszának a képe. Legyen ennek egy beosztása. Az ezen paraméterértékekhez tartozó görbepontoknak ilyen sorrendben való összekötésével egy, a görbébe írt töröttvonalat kapunk, melyet normális töröttvonalnak nevezünk.

4.5. Definíció. A görbe egy ívének hosszán (ívhosszán) a görbeívbe írt normális töröttvonalak hosszai halmazának pontos felső korlátját értjük.

4.6. Tétel. Az görbe paraméterértékű pontjától a paraméterértékű pontjáig tartó ívének hossza

Az előző tételben szereplő integrál integrandusa nem más, mint Így

Ahogy azt láttuk, egy görbének végtelen sok előállítása lehetséges. A görbére kimondott állításainknak azonban olyanoknak kell lenniük, hogy csak a görbére és ne egy általunk választott előállítására (azaz paraméterezésére) vonatkozzanak. A görbe előállításában olyan paramétert kellene használnunk, amely a görbe által egyértelműen meghatározott, ezáltal maga a paraméter is valamilyen geometriai tartalmat hordoz. Ilyen paraméternek természetesen az ívhossz kínálkozik. Ennél a paraméterezésnél a görbe tetszőleges pontjának paramétere az irányított görbe egy rögzített pontjától a -ig mért előjeles ívhossz lesz. Megmutatható, hogy tetszőleges reguláris előállításból kiindulva mindig létezik megengedett paraméter-transzformáció, melynek eredményeképpen a görbe már ívhosszra lesz vonatkoztatva, azaz az ívhossz mindig bevezethető paraméternek. Az görbe ívhosszának képletében a felső határt hagyjuk változónak, így az ívhosszat a rögzített ponttól a pontig mérjük. Az ívhossz a függvénye:

Az szigorúan monoton növekvő, mivel pozitív függvény integrálja, és folytonosan differenciálható, mert az integrandus folytonos. Így létezik az -nek a inverz függvénye, amely szintén szigorúan monoton és folytonosan differenciálható. Így a megengedett paraméter-transzformáció. Az ívhossz egy additív konstans erejéig van meghatározva, amely a paraméterű pont tetszőleges megválasztását jelenti. Az, hogy a paraméter az ívhossz, egyenértékű azzal, hogy az érintővektor hossza 1.

Egy görbének a különböző parametrizációit úgy képzelhetjük el, mint egy rögzített pályán végzett különböző mozgásokat. Ha a paraméter az ívhossz, akkor ez egységnyi sebességgel végzett mozgást jelent. Tehát a megtett út az eltelt idővel egyenesen arányos. Az ívhosszparaméter esetén a deriváltat -vel jelöljük.

4.7. Példa. Az hengeres csavarvonalat vonatkoztassuk ívhosszparaméterre! Deriválással , amely felhasználásával az ívhossz:

ahonnan . Ezt az eredeti egyenletbe beírva

Ezzel az ívhosszat bevezettük paraméternek.Az érintővektor:

Az érintővektor hossza: