Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Az érintő

Az érintő

Tekintsünk egy görbét és rögzítsük annak egy paraméterértékű pontját. Legyen egy -hoz konvergáló sorozat, az ennek megfelelő pontsorozat a görbén.

4.2. Definíció. Az görbe érintőjén vagy érintőegyenesén a szelők határegyenesét értjük, ha ez a -hoz konvergáló sorozattól függetlenül létezik. Az érintőegyenes által tartalmazott zérustól különböző vektort a görbe egy érintővektorának nevezzük.

4.3. Tétel. Az görbének minden paraméterértékű pontjában van érintője és ez a -on átmenő irányvektorú egyenes.

Bizonyítás. Tekintsük a szelőket. Ezek konvergens egyenessorozatot alkotnak, mert az egyeneseken a pontsorozat a -hoz tart és a szelők irányvektoraiból álló sorozat is konvergens. A szelő irányvektora az vagy ennek skalárszorosa, így pl. . Ezeknek az irányvektoroknak a sorozata bármilyen esetén is konvergál az vektorhoz. □

4.1. ábra. Az érintő definíciója

Ezek alapján a görbe -beli érintőjének paraméteres egyenlete:

4.4. Példa. Az origó középpontú , kör pontjaiban az érintővektor: . Ha , akkor az érintővektor a koordinátájú vektor. Meghatározható az érintővektor hossza:

azaz minden pontban ugyanakkora hosszúságú. Ha a kör esetén különböző paraméterezést választunk, akkor az érintővektor hossza változó lesz.