Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Geometriai folytonosság

Geometriai folytonosság

Geometriailag a görbék találkozásánál a -folytonosság azt jelenti, hogy a két görbének -ben megegyezik az érintővektora. Ettől gyengébb feltétel lenne az, hogy az érintővektor helyett csupán az érintővektor iránya egyezzen meg, azaz

teljesüljön. Ez utóbbi kritériumnak óriási előnye a -folytonossággal szemben, hogy független a két görbe paraméterezésétől, azaz tisztán geometriai feltétellel írható le. Ezért ez utóbbi kritériumnak eleget tévő görbéknél a találkozást geometriailag elsőrendben folytonosnak, vagy nevezzük.

Hasonló elvet használva vezethetünk be magasabbrendű geometrai folytonosságot is. A -folytonosság a második, a -folytonosság pedig a harmadik derivált vektor egyezését is megkívánja. Mivel a második deriváltat a görbület, a harmadik deriváltat pedig a torzió leírásánál használtuk fel, célszerűen ezek folytonosságát kívánjuk meg a másod- és harmadrendű geometriai folytonosságnál.

Azt mondjuk tehát, hogy a két görbe találkozása -ben , ha az érintővektor iránya megegyezik és a görbület az adott pontban folytonos. Ez a görbület definíciójából, illetve a folytonosság kritériumából a következő egyenletrendszerrel írható le:

Végül a két görbe találkozása -ben , ha az érintővektor iránya megegyezik és a görbület, valamint a torzió az adott pontban folytonos. Ez a torzió definíciójából, illetve a fenti kritériumokból a következő egyenletrendszerrel írható le:

A fentiekből látható, hogy a geometriai folytonosság könnyen általánosítható magasabb rendekre is, azonban csak háromdimenziósnál magasabb terekben, ahol is a geometriai interpretációhoz a görbülethez és a torzióhoz hasonló magasabbrendű invariánsokat kell bevezetnünk.

A geometriai folytonosság tehát a hagyományos folytonosság fogalmától gyengébb kritériumokat kíván meg, ugyanakkor ezek tisztán geometriai jellegűek, paraméter-transzformációtól függetlenek. Fontos még megjegyeznünk, hogy vizuálisan a két folytonosságfogalom másodrendnél magasabb rendekre nem különböztethető meg.