Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

4. fejezet - Paraméteres görbék jellemzése

4. fejezet - Paraméteres görbék jellemzése

Folytonosság az analízis szemszögéből

Legyen adott két görbe, és , melyek egy pontban találkoznak. A hagyományos folytonossági fogalomnak megfelelően azt mondjuk, hogy ez a találkozás n-edrendben folytonos, vagy más jelöléssel -folytonos, ha ebben a pontban a a két görbe deriváltjai n-edrendben megegyeznek, azaz

teljesül.

Ennek segítségével definiálhatjuk felületek, illetve felület és görbe folytonos érintkezését is. Két felület egy pontban -edrendben folytonosan (-folytonosan) érintkezik, ha a pontban a felületek megfelelő parciális deriváltjai -edrendig megegyeznek. A felület és görbe érintkezése -folytonos, ha a felületen létezik olyan felületi görbe, mely az eredeti görbével az adott pontban -edrendben folytonosan érintkezik.

Két görbe illetve két felület érintkezésének folytonosságát tehát mechanikus számolással ellenőrizhetjük, görbe és felület érintkezésével kapcsolatban azonban ez nem igaz, hiszen találnunk kellene a felületen egy megfelelő görbét az érintkezés foyltonosságának igazolásához. Ebben segíthet a következő tétel.

4.1. Tétel. Legyen adott az felület, mely minden változójában -szer differenciálható és ezek egyszerre sehol sem tűnnek el. Ekkor az ,, görbe az felületet annak egy pontjában n-edrendben érinti akkor és csakis akkor, ha létezik olyan paraméter, melyre az függvény deriváltjaira teljesül, hogy

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy létezik olyan felületi görbe, amelyik az eredeti görbét az adott pontban -edrendben érinti. Ekkor

valamint a két görbe deriváltjai is megegyeznek, amiből az

miatt

Hasonlóan igazolható az állítás magasabb deriváltakra is.

Ha feltesszük, hogy

teljesül, akkor olyan felületi görbét kell találnunk, melyre a tétel állítása igaz. Amiatt, hogy a felület parciális deriváltjai léteznek és egyszerre nem nullák, az adott pont környezetében a felület explicit alakra hozható, pl. alakra. Vetítsük le ekkor az görbét a felületre a tengellyel párhuzamosan. Az így kapott görbe koordináta-függvényei

és belátható, hogy ez a görbe az eredeti görbét -edrendben folytonosan érinti.