Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Másodrendű görbék és felületek konverziója

Másodrendű görbék és felületek konverziója

Bármely nemelfajult valós másodrendű görbének létezik paraméteres alakja. A technika, mellyel az implicit alakból a paraméteres formát megkapjuk, azon a tényen alapszik, hogy ha egy egyenes elmetsz egy ilyen görbét egy pontban, akkor egy másik pontban is metszeni fogja. Az euklideszi síkon ez alól két kivétel van: a parabolát a tengelyével párhuzamos egyenesek, illetve a hiperbolát az aszimptotáival párhuzamos egyenesek egy pontban metszik, de a projektív síkon a görbék végtelen távoli pontjai miatt ezek az egyenesek is két pontban metszik a görbét. Ha kiválasztunk tehát a másodrendű görbén egy  pontot és ezen keresztül egy egyenessereget fektetünk, akkor ezen egyenessereg minden eleme a görbe egy másik pontján is áthalad. Ha az egyenessereg elemei egy  paramétertől függenek, ezt a paramétert a -n kívüli metszésponthoz hozzárendelve máris megkaptuk a görbe paraméterezését.

Kövessük végig az elvet egy egyszerű példán. Az origó középpontú, 1 sugarú kör implicit alakja

Válasszuk ki ennek a körnek a koordinátájú pontját. Az alakú egyenesek közül azok, melyek illeszkednek -re, speciálisan alakúak. A -n átmenő egyenessereg egyenlete tehát

alakú (lásd a 3.2. ábrát).

3.2. ábra. A kör egy lehetséges parametrizálása

Ezen egyenesek a kört a -n kívül még egy pontban is metszik, mely pont természetesen függ a paramétertől. A metszéspont koordinátái könnyen kiszámíthatóak, ha az egyenes egyenletét behelyettesítjük a kör egyenletébe:

amiből

ahonnan az gyök az eredeti  pontot adja, a másik gyök, illetve annak visszahelyettesítésével kapott érték viszont a pont (-től függő) koordinátáit eredményezi:

Mivel az egyenes változásával a pont befutja a kört, a fenti egyenletrendszer megadja a kör affin paraméteres alakját (egész pontosan a pontot magát csak paraméterértéknél érnénk el, de erről a problémáról korábban már ejtettünk szót).

Teljesen hasonló technikával bármely nemelfajult valós másodrendű görbe parametrizálható. Az alábbi táblázatban megadjuk ezen görbék paraméteres alakját.

Mivel az euklideszi síkon bármely nemelfajult valós másodrendű görbe koordináta-transzformációval ezen implicit (úgynevezett kanonikus) alakok valamelyikére hozható, a táblázat segítségével úgy is parametrizálhatunk egy görbét, hogy az említett transzformációval a fenti alakra hozzuk, majd a paraméteres alakra elvégezzük ezen transzformáció inverzét. Nem ez azonban az egyetlen lehetséges megoldás, a másodrendű görbéket a műszaki életben például a fentiektől eltérő paraméterezéssel is szokták használni.

Megjegyezzük, hogy a fent bemutatott technikával paraméteres alakra hozhatunk általában minden olyan -edrendű görbét is, melynek tudunk találni -szeres pontját (ezeknek a neve monoid). Ezen ponton átmenő egyenesek ugyanis a görbét rendre egyetlen más pontban metszik, tehát a paraméterezés elvégezhető (ilyen pl. az 3.3. ábrán látható harmadrendű görbe, melynek létezik egy kettős pontja).

3.3. ábra. Ez a harmadrendű görbe is parametrizálható a fenti módon, egyenlete .

Az síkgörbék metszetének kiszámításánál az ideális eset az, ha az egyik implicit, a másik paraméteres alakban adott. Egyéb esetekben erre az alapesetre vezethetjük vissza a problémát.

Tekintsünk két síkgörbét, egy implicit és egy paraméteres formában megadottat:

Behelyettesítve a görbe koordinátaegyenleteit implicit alakjába, az

egyenletet kapjuk, melynek fokszáma a két görbe rendjének szorzata, gyökei pedig a görbe paramétertartományában megadják a közös pontokhoz tartozó paraméterértékeket. Ezeket a definiáló egyenleteibe behelyettesítve megkapjuk a metszéspontok koordinátáit.