Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Konverzió az implicit és a paraméteres alak között

Konverzió az implicit és a paraméteres alak között

A kétféle leírási mód közötti konverzió két különböző iránya két eltérő nehézségű problémát takar. Most csak algebrai görbékkel foglalkozunk, azaz olyanokkal, melyek leírásához elegendőek polinomok. Bármely paraméteres alakban megadott algebrai alakzat elméletileg átírható implicit formába, bár gyakorlatilag adódhatnak számítási nehézségek. Egy implicit formában megadott síkgörbének vagy felületnek azonban nem biztos, hogy egyáltalán létezik paraméteres alakja, és ha létezik is, annak felírására nincs általánosan hatékony és egyszerű számítási módszer. Térgörbék esetén, amiket implicit módon két felület metszeteként definiáltunk, még akkor sem biztos, hogy létezik paraméteres alak, ha a két definiáló felület külön-külön felírható paraméteresen.

Az egyszerűbb feladat, azaz a paraméteres forma implicit alakba való átírása azon alapszik, hogy a paraméteres formát tekinthetjük úgy, mint egy egyenletrendszert, melyben az ismeretlenek síkgörbe esetén felület esetén és . Ha az egyenletrenszerből elimináljuk a , illetve felület esetén az változókat, akkor a kapott egyenlet éppen az adott alakzat implicit formája lesz. Ez elméletileg járható út, azonban magasabb fokú egyenleteknél az elimináció számítási nehézségeket okozhat, így a gyakorlat számára speciális esetekben egyszerűbb algoritmusokat is kidolgoztak. A következőkben síkgörbékre mutatunk be egy ilyen eljárást. Adott egy síkgörbénk tehát az euklideszi síkon paraméteres alakban. Általánosan ezek a függvények racionális polinomok, így írhatjuk őket

formában, ahol az  együtthatók valós számok. Ekkor a görbe implicit alakját egy determináns szolgáltatja:

ahol a mátrix elemei

A fenti determinánst Bézout–rezultánsnak nevezzük és amint látjuk, egyszerűen algoritmizálható módszert nyújt síkgörbék esetére. Vegyük észre, hogy az átírás nem változtatta meg az egyenlet fokszámát. Hasonló módszer általában adható felületekre is, térgörbék esetén azonban, mivel a paraméteres és az implicit alak lényegileg tér el egymástól, ez a technika nem használható.

Az ellenkező irányú konverzió, ahogy azt már említettük is, jóval nehezebb probléma. Nincs általános recept már annak eldöntésére sem, hogy egy implicit formában megadott algebrai alakzatnak létezik-e egyáltalán paraméteres alakja. Ezzel kapcsolatban síkgörbékre a legismertebb tétel Noether-től származik, melyben szerepel a görbe genus-a:

ahol a görbe rendje, pedig a szinguláris pontok számától függő konstans (itt a görbe a test fölött értendő).

3.7. Tétel. (Noether) Egy alakban megadott síkgörbének akkor és csakis akkor létezik paraméteres alakja, ha genus

Ez a tétel elméletileg tisztázza ugyan a problémát, a genus kiszámítása azonban nem mindig egyszerű feladat, és ha ez meg is volna, a tétel nem ad módszert arra, hogy egy konkrét görbe esetén hogyan írjuk fel a paraméteres alakot. Hasonló tétel létezik felületek esetére is (Castelnuovo-tétel), de gyakorlati szempontból az sem ad útmutatást a probléma megoldására. Szerencsére bizonyos típusú görbék és felületek esetén (pl. másod- és bizonyos harmadrendű görbékre) a probléma algoritmizálható, és az alkalmazások szempontjából éppen ezen alakzatok a legfontosabbak.