Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

A fundamentális csoport

A fundamentális csoport

Ebben a fejezetben a topologikus téren, vagy annak egy részhalmazán, pl. egy görbén vagy felületen befutható pályákat vizsgálunk, azaz azt, hogy egyik pontból a másikba milyen folytonos mozgással juthatunk el. Ezen pályák vizsgálatával jutunk el a térhez kapcsolható, központi jelentőségű csoport értelmezéséhez.

2.11. Definíció. Tekintsük a topologikus tér egy pontját, valamint az innen induló és ebbe a pontba visszatérő pályákat, azaz olyan folytonos leképezéseket, melyekre . Két pályát ekvivalensnek tekintünk, ha folytonos deformációval, azaz homotópiával egymásba vihetők a téren.

A fent definiált pályák halmazán a pályák homotóp volta ekvivalenciareláció, hiszen, reflexív (a pálya önmagával homotóp), szimmetrikus (ha az pálya homotóp -vel, akkor ez fordítva is igaz), és tranzitív (hiszen a homotópia is tranzitív fogalom). Így a reláció a pályák halmazán osztályozást indukál, egy osztályba tartoznak az egymással homotóp pályák. Ezek között az osztályok között műveletet értelmezhetünk, mégpedig a páyák egymás után való bejárása, konkatenálása által. A jelölje azt, hogy a pontból kiindulva először a pályán megyünk végig, majd amikor beérkeztünk a pontba, utunkat a pályán folytatjuk, végül ismét beérkezve a pontba. Így ismét egy pályát definiáltunk, melyet a két pálya szorzatának nevezünk. Azt a homotópia osztályt, melybe ez a pálya tartozik, a két előző osztályon végzett művelet eredményének tekintjük.

2.12. Tétel. Az X topologikus tér pontjából kiinduló pályák homotópia osztályai a fenti műveletre nézve csoportot alkotnak.

Bizonyítás. Amint láttuk, a halmaz a műveletre nézve zárt. Tekintsük azt az osztályt, melyben az egy pontra folytonosan összehúzható pályák szerepelnek: ez az osztály az egységelem, hiszen bármely más pályaosztállyal megszorozva olyan pályákat kapunk, melyeknek az egy pontra összehúzható része a szorzat másik tényezőjének tulajdonságait nem változtatja meg. Minden elemnek van inverze, ugyanis a pálya ellenkező irányú bejárásával keletkezett pályát az eredetivel konkatenálva nyilvánvalóan egy pontra összehúzható pályát kapunk (szorzatuk az egységelem). Végül tetszőleges három pályára teljesül az asszociatív szabály, hiszen a pontba újra és újra beérkezve mindegy, hogy a három pálya közül melyiken indulunk másodjára és melyiken harmadjára.

Megjegyezzük, hogy a fenti csoport általában nem kommutatív. Kérdés azonban, hogy ha kiindulási pontnak a tér más pontját tekintjük, homotópia szempontjából más pályákat kapunk-e.

2.13. Tétel. A topologikus tér bármely két és pontja által meghatározott pályaosztály csoportok egymással izomorfak.

Bizonyítás. Tekintsük a -t a ponttal összekötő pályát. Minden -ből induló és oda érkező pályához rendeljük hozzá azon -ból induló és oda érkező pályát, melyre , ahol az pálya ellenkező irányú bejárását (inverzét) jelenti. A fenti hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű, valamint izomorfizmus: bármely két és pályára nézve . Tehát a két csoport izomorf.

Így már nincs akadálya hogy a fenti csoportot ne a tér egy-egy pontjához, hanem magához a térhez rendeljük.

2.14. Definíció. A topologikus tér valamely pontja által indukált homotóp pályaosztályok csoportját a tér fundamentális csoportjának nevezzük.

A fundamentális csoportok jelentőségét az adja, hogy nagyon jól írják le a topológiai struktúrát, amit a következő tétel mutat.

2.15. Tétel. Két topologikus tér homeomorf fundamentális csoportjaik izomorfak.

Mindez lehetőséget teremt arra, hogy az alakzatok topológiáját fundamentáis csoportjuk algebrai struktúrájával jellemezzük, ami nyilvánvalóan topológiai invariáns. Így például a körlap és a gömb fundamentális csoportja csupán az egységelemből álló egyelemű csoport, azaz minden pálya egy pontra húzható össze.

2.4. ábra. A körlapon futó pályák mind egy pontba húzhatók össze - a fundamentális csoport egyelemű.

Ha azonban a körlapon egy lyukat vágunk, vagy a gömbnek elhagyjuk akár egyetlen pontját, a csoport már végtelen sok elemből fog állni. A különböző osztályba tartozó pályák abban fognak különbözni, hogy a lyukat hányszor kerülték meg (balró illetve jobbról). Így ez a fundamentális csoport izomorf az egész számok additív csoportjával.

2.5. ábra. A lyukas körlapon futó pályák közül már nem mind húzható össze egy pontba. A lyukat -szer megkerülő pályák tartoznak egy osztályba, esetén kapjuk az egy pontba húzható páyákat - a fundamentális csoport egységelemét. A fundamentális csoport izomorf a csoporttal.

Végül a projektív sík fundamentális csoportja kételemű csoport, a pályák a szerint tartoznak egyik vagy másik csoportba, hogy átmetszik-e a végtelen távoli egyenest.