Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Sokaságok

Sokaságok

A felületek vizsgálata elvezet minket a topológikus terek általánosabb fogalmához, a sokaságokhoz. A sokaságok olyan alakzatok, melyek lokálisan minden pont környezetében homeomorfak a megfelelő dimenziós euklideszi tér egy-egy nyílt halmazával. A sokaságok tehát "darabonként" úgy viselkednek, mint az euklideszi tér, ettől azonban még nagyon bonyolult struktúrájúak lehetnek. Ebben az alfejezetben röviden kitérünk néhány, a sokaságokkal kapcsolatos fontos eredményre.

2.9. Definíció. A topologikus teret dimenziós topologikus sokaságnak (vagy egyszerűen sokaságnak) nevezzük, ha bármely pontja körül létezik olyan környezet, mely homeomorf az dimenziós euklideszi tér egy nyílt halmazával.

Hogy megértsük a definíció lokális voltát, tekintsünk egy egyszerű példát. Például a kör egydimenziós sokaság, mert bár egészként nem homeomorf az egydimenziós euklideszi tér - azaz az egyenes - egyetlen nyílt halmazával sem, könnyen látható, hogy bármely pontjának van olyan környezete - a pontot tartalmazó nyílt körív - ami már homeomorf az egyenesen lévő nyílt halmazzal.

Hasonló meggondolásból a gömbfelület vagy a tórusz kétdimenziós sokaság, mert bármely pontjának létezik olyan környezete, mely homeomorf a nyílt körlappal.

Három dimenziós sokaság például a 3 dimenziós gömb (vagy egyszerűen 3-gömb), mely a négydimenziós tér minden olyan pontját tartalmazza, mely egy adott ponttól egyenlő távolságra van.

Míg egyszerűen belátható, hogy minden egyszeresen összefüggő, zárt egy dimenziós sokaság homeomorf a körvonallal, valamint minden egyszeresen összefüggő zárt két dmineziós sokaság homeomorf a gömbfelülettel, ugyanez az állítás eggyel magasabb dimenzióban egy híres sejtéshez vezet, melyet csak pár éve sikerült bizonyítani.

2.10. Tétel (Poincaré - Perelman). Minden egyszeresen összefüggő, zárt három dimenziós sokaság homeomorf a 3-gömbbel.

A tétel sokáig Poincaré-sejtésként volt ismert, míg 2003-ban Perelman bebizonyította az állítást. A tétellel analóg állítás magasabb dimenziókban is igaz, érdekes módon ott a bizonyítása is könnyebb.