Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

2. fejezet - Felületek topológiája

2. fejezet - Felületek topológiája

Ebben a fejezetben egy dimenzióval magasabban ugyanazokat a kérdéseket vizsgáljuk - ahogy a görbéknél számos olyan tulajdonságot találtunk, melyeket a homeomorfizmusok invariánsan hagynak, a felületeknél is hasonló a célunk, olyan, lehetőleg mérhető tulajdonságokat keresünk, melyek topológiai invariánsak. Meglepő módon egy olyan invariáns - az Euler-karakteriszika - játsza a főszerepet, melynek eredete elemi geometriai témából, a poliéderek vizsgálatából indul ki.

Az Euler-karakterisztika

A felületekkel kapcsolatos vizsgálataink előtt a felület fogalmát leszűkítjük. A dimenziószám alapján kétdimenziósnak nevezett alakzatokon belül csak azokat tekintjük, melyek vagy homeomorfak a körlappal (ezek neve elemi felület), vagy ilyen felületdarabok összeragasztásával készíthetők. Az összeragasztás alatt azt értjük, hogy az elemi felület határának egy részét más elemi felület határával vagy önmaga határának más részével illesztjük össze úgy, hogy egy ilyen összeragasztásnál mindig csak két elemi felület találkozhat. A továbbiakban csak ilyen felületeket vizsgálunk. Ha a felület korlátos és minden pontja belső pont, akkor zárt felületnek nevezzük.

A fentiekből következik, hogy felületre gráf rajzolható úgy, hogy az a felületet elemi felületekre bontsa. Ilyen gráfot alkot például a poliéderek csúcsaiból és éleiből álló gráf. Az egyszerű poliéderekre, melyek a gömbbel homeomorfak, korábban bebizonyítottuk Euler tételét, miszerint a csúcsok, élek és lapok és számára igaz, hogy . Többszörösen összefüggő felületű poliéderekre megemlítettük Poincaré tételét, mely szerint , ahol a poliéder felületének összefüggési száma.

Ezek a tételek egy sokkal általánosabb elv részei. A fentiek alapján bármely felületre rajzolható olyan gráf, mely csúcsokat, éleket és az élek által körbezárt elemi felületdarabokat tartalmaz. Ezek száma jellemző lesz az adott felületre.

2.1. Tétel. Tekintsük az felületre rajzolt gráfot, mely csúcsainak száma legyen , élei száma , az élek által közrezárt elemi felületdarabok száma pedig . Ekkor a összeg a gráftól független, csak a felületre jellemző állandó érték.

2.2. Definíció. A értéket az felület Euler-karakterisztikájának nevezzük.

Az Euler-karakterisztika tehát jól jellemzi a felületet, de ennél több is igaz: amint a következő tétel mutatja, az Euler-karakterisztika topológiai invariáns.

2.3. Tétel. Ha két felület homeomorf, akkor Euler-karakterisztikájuk megegyezik.

Lássunk néhány példát. A gömb Euler-karakterisztikája, ahogy az a poliéderekre vonatkozó Euler-tételből következik, . A körlapra , hiszen a körvonalon egy pontot kiválasztva csúcsnak, a körvonal maga egy él lesz, míg a lapok száma is 1 marad. Így .

2.1. ábra. A tórusz Euler-karakterisztikája 0.

A tórusz Euler-karakterisztikáját is egy minél egyszerűbb gráf rárajzolásával dönthetjük el. Az ábrán látható módon megrajzolt gráf elemeit összeszámolva .

Utolsó példaként tekintsük a Möbius-szalagot (lásd 2.2. ábra és következő videó).

2.2. ábra. A Möbius-szalag Euler-karakterisztikája 0. Határvonala homeomorf a körvonallal.

  V I D E Ó  

Ennek határvonala homemorf a körrel, tehát egy pontot kijelölve rajta a csúcsok és élek száma egy-egy lenne. Az így keletkezett gráf azonban nem elemi felületet zár közre, hiszen maga a Möbius-szalag egyoldalú felület, nem lehet homeomorf a körlappal. A megfelelő gráfhoz jelöljünk ki a szalag határán egy-egy pontot úgy, mintha keresztben kettévágnánk a szalagot. Így két pontot, három élt de csupán egyetlen (téglalap alakú) lapot határoztunk meg, így végül Euler-karakteriszikája .

Ez utóbbi két példa azt is mutatja, hogy a 2.3. tétel visszafelé nem teljesül: abból, hogy két felületnek megegyezik az Euler-karakterisztikája, nem következik, hogy a két felület homeomorf lenne, hiszen a Möbius-szalag és a tórusz (egy- illetve kétoldalú felületként) nyilvánvalóan nem homeomorfak.

Bonyolultabb felületek Euler-karakterisztikájának kiszámításához esetleg nagyon bonyolult gráfot kellene a felületre rajzolnunk. Ha azonban topológiailag egyszerűbb részekre tudjuk bontani a felületet, részenként is összeszámolhatjuk a karakterisztikát. Ebben segítenek a következő tételek.

2.4. Tétel. Ha a felületből egy körrel homeomorf részt kivágunk, akkor Euler-karakterisztikája eggyel csökken.

Bizonyítás. Tekintsük a felületre rajzolt azon gráfot, melynek egyik lapja az éppen kivágandó rész. A kivágás után az élek és csúcsok száma nem változik, míg a lapok száma eggyel csökken, így a összeg is eggyel csökken.

2.5. Tétel. Tekintsünk két, határvonallal rendelkező felületet, -et és -t, melyek határa a körrel homeomorf. Legyen . Ekkor a határvonal mentén összeragasztva őket, az eredményül kapott felület Euler-karakterisztikája a két eredeti felület Euler-karakterisztikájának összege: .

Bizonyítás. Az állítást úgy is fogalmazhatjuk, hogy az felületen lévő, körrel homeomorf lyukat ragasztjuk be -vel. Mindkét felületre rajzolhatunk olyan gráfot, melyekben a határvonalak egy-egy csúcsot és így egy-egy, körrel homeomorf élt tartalmaznak. Az összeragasztáskor illesszük a határvonalakon lévő egy-egy csúcsot és a két élt egymáshoz, így a létrejövő felületre rajzolt gráf megfelel az Euler-karakterisztika kiszámításához. De ennek -en és -n lévő részgráfjait már vizsgáltuk, ezekből most az összeragasztás miatt eltűnt egy él és egy csúcs, így .

A 2.5. tételnek nyilvánvaló speciális esete az előző, 2.4. tétel. A két tétel együtt arra is alkalmas, hogy zárt felületeket tudjunk összeragasztani. Tekintsük ugyanis az és zárt felületeket, legyen . Vágjunk ki mindkettőből egy-egy, körrel homeomorf részt, majd ennek határa mentén ragasszuk össze a két felületet. Az előzőekből következően a kivágás eggyel-eggyel csökkenti mindkét felület Euler-karakterisztikáját, míg az összeragasztásnál a két karakterisztika összeadódik. Így a kapott felület Euler-karakterisztikája lesz.

2.6. Példa. Tekintsük a gömböt és a tóruszt. Ezekből egy-egy kört kivágva, illetve a keletkezett határok mentén a két felületet összeragasztva az új felület Euler-karakterisztikája lesz. Ugyanez természetesen akkor is igaz marad, ha a gömbön darab, egymással nem érintkező lyukat vágunk és ezeket sorra beragasztjuk az előbbi módon. Az így keletkezett felület neve gömb darab fogantyúval, Euler-karakterisztikája pedig .

2.7. Példa. Tekintsük ismét a gömböt, melyen darab, egymással nem érintkező lyukat vágunk. Az így keletkezett lyukakat most nem lyukas tóruszokkal ragasztjuk be, hanem Möbius-szalagokkal. Ahogy azt már említettük, a Möbius-szalag határvonala homeomorf a körrel, azaz vele ezek a lyukak beragaszthatók, és bár folytonos deformációval (homotópiával) a Möbius-szalagot nem tudjuk úgy alakítani, hogy határa síkba fektethető legyen, általános homeomorfizmussal ilyen alakra hozható. Az így keletkezett felület Euler-karakterisztikája .

2.3. ábra. A Möbius-szalag homeomorf módon leképezhető olyan alakzatba, melynek határvonala egy körvonal.

Bár az olyan homeomorfizmust, mely nem homotópia, nehéz szemléletesen bemutatni, a 2.3. ábrán nyomon követhetjük azt az eljárást, mely magyarázatot nyújt arra nézve, hogy a Möbius-szalag ezen homeomorfizmus során hogyan változik. Az eljárás során vágni és ragasztani fogunk, mely természetesen nem topológiai eljárás, de a végső stádiumban a szétvágott részek pontonként ismét egybeesnek, tehát a kezdeti és a végállapot homeomorf lesz.

Először is síkba terítjük a Möbius-szalagot úgy, hogy az szaksz mentén felvágjuk. Téglalapot kapunk, melyet hosszában ismét felvágunk (az pontok mentén), majd az alsó fél téglalapot hossztengelye mentén megfordítjuk. Ezután a két részt úgy illesztjük össze ismét, hogy a határvonal egy kört alkosson. A belső körön elhelyezkedő , , pontpárokat, azaz a körgyűrű belső körén átlósan elhelyezkedő pontpárokat kell már csak páronként külön-külön összeragasztanunk ahhoz, hogy készen legyen a homeomorf kép. Ezt fizikailag természetesen nem tudjuk kivitelezni, de képet kaphatunk a Möbius-szalag "kiterítéséről".

Itt jegyezzük meg, hogy a projektív geometriában megismert projektív sík is hasonló módon állítható elő. A projektív síkot az affin sík végtelen távoli pontokkal való kiterjesztéseként tekintve topológiája úgy változik meg, hogy az egyenesek "átellenes" pontjait (azaz a végtelen távoli pontjukat) egybe kell ragasztanunk. Ezt minden egyenesiránnyal el kell végeznünk, ami azzal ekvivalens, mintha az affin síkot határvonallal rendelkezőnek gondolnánk és ennek a határvonalnak az átellenes pontjait kellene összeragasztanunk. Nem nehéz felismerni, hogy topológiailag ezt elvégezhetjük úgy, hogy a határvonalat felhajlítjuk addig, míg egy félgömb kör határa lesz, majd ezt a határt beragasztjuk egy, az előbb előállított Möbius-szalaggal. A projektív sík tehát homeomorf azzal a felülettel, amit úgy kapunk, hogy a gömbön lyukat vágunk és azt egy Möbius-szalaggal fedjük le. Ez éppen a most következő osztályozás felülete lesz. Figyelemre méltó, hogy - ellentétben az affin síkkal - a projektív sík így egyoldalú felület. A három dimenziós affin térben nem tudunk önátmetszés nélküli, a projektív síkkal homeomorf felületet létrehozni, de az 1.1. ábra felülete elképzelést adhat a sík struktúrájáról.

Azt gondolhatjuk, hogy a fenti példák mellett még számos más zárt felülettípus is létrehozható vágással és ragasztással. Ezért is meglepő és nagy jelentőségű az alábbi, Möbius és Jordan által bizonyított tétel, mely a zárt felületek teljes topologikus osztályozását adja.

2.8. Tétel. Bármely összefüggő, zárt (azaz határvonal nélküli) felület homeomorf a következő felületek valamelyikével: , ahol a gömbön vágott darab, körrel homeomorf lyuk tóruszokkal való beragasztása során keletkezett, míg esetén a fenti lyukakat Möbius-szalagokkal ragasztjuk be.

Bizonyítás.

A tételt nem bizonyítjuk teljesen, de azt könnyen beláthatjuk, hogy a tételben szereplő felületek topológiailag mind különbözőek, hiszen külön az felületeknek, valamint külön az felületeknek mind különböző az Euler-karakterisztikájuk, két különböző típusú felület, illetve Euler-karakterisztikája pedig megegyező ugyan, de a Möbius-szalag tulajdonsága miatt ez utóbbi felület egyoldalú, míg az felületnek két oldala van, ez pedig szintén topológiai invariáns. Nem kapunk új felületet akkor sem, ha a gömbfelületen néhány lyukat tórusszal, a többit pedig Möbius-szalaggal ragasztunk be, mert tórusz és Möbius-szalag ragasztása egyenértékű Möbius-szalag ragasztásával, azaz az felületet eredményezi.

A bizonyítás igazán nehéz része annak belátása, hogy bármely zárt homeomorf a fenti felületek valamelyikével, ezzel a résszel nem foglalkozunk.