Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

A topologikus transzformáció

A topologikus transzformáció

Ahogy azt a bevezetőben említettük, a topologikus leképezéseket a folytonosság fogalmára alapozzuk. Folytonosságról már szó esett korábban is, de a folytonosság fogalma eddig a mérésen (távolságon, rendezésen) alapult, most viszont csak a pontok környezetén, a nyílt halmazokon alapulhat.

1.3. Definíció. Két topologikus tér közötti leképezés folytonos, ha a képpontok minden környezetének (azaz az őt tartalmazó minden nyílt halmaznak) az ősképe az eredeti pontot tartalmazó környezet (nyílt halmaz), azaz:

Most már definiálhatjuk a topologikus terek közötti alapvető leképezést.

1.4. Definíció. Az leképezést topologikus leképezésnek, vagy homeomorfizmusnak nevezzük, ha kölcsönösen egyértelmű és mindkét irányban folytonos. Két alakzatot (a topologikus tér részhalmazát) topologikusan ekvivalensnek, vagy másképpen homeomorfnak nevezünk, ha létezik olyan homeomorfizmus, mely őket egymásba képezi.

A homeomorfizmustól megköveteljük, hogy mindkét irányban folytonos legyen. Szemléletesen ez azért szükséges, hogy a leképezés során a szétszakítást és az összeragasztást is elkerüljük. Ha a homeomorfizmus csak a leképezés eredeti irányában lenne folytonos, akkor meggátolná ugyan a szétszakítást, hiszen ezzel a szakadás környékén megszűnne a folytonosság, de az összeragasztást nem küszöbölné ki. Ehhez a leképezés inverzének is folytonosnak kell lennie.

Itt kell megjegyeznünk, hogy pl. egy felület homeomorfizmusa nem feltétlenül vihető végbe a felület folytonos deformációjával (lásd 1.1. ábra és a következő videó).

1.1. ábra. A projektív síkkal homeomorf felület (Boy-felület). Bár homeomerfak, a projektív síkot nem lehet homotópiával e felületbe átvinni.

  V I D E Ó  

Azokat a homeomorfizmusokat, melyeket folytonos alakváltoztatással is el tudunk érni, homotópiának nevezzük.

A homeomorfizmus kölcsönösen egyértelmű volta feljogosít arra, hogy a tér önmagára történő homeomorfizmusát transzformációnak nevezzük. Ez a transzformáció éppen olyan központi jelentőségű, mint a korábban megismert transzformációtípusok, a mozgástól a projektív transzformációig. A topológia alapvető kérdése, hogy olyan tulajdonságokat keressen és vizsgáljon, melyeket a homeomorfizmusok invariánsan hagynak.