Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

1. fejezet - A topológia alapjai

1. fejezet - A topológia alapjai

A topológia - szemléletes megközelítésben - a matematika olyan részterülete, ami az alakzatok olyan tulajdonságaival foglalkozik, melyek folytonos, vagyis szétszakítás és összeragasztás nélküli leképezések során invariánsak maradnak. Ezek a leképezések, deformációk - nyújtások, csavarások - természetesen minden metrikus tulajdonságot megváltoztatnak, tehát jelentősen különböznek az eddig tanult geometriai transzformációktól, ahol mindig találhattunk olyan távolsággal kapcsolatos fogalmat (távolság, arány, osztóviszony), mely invariáns maradt.

A szemléletes megközelítést a tárgyalás során végig igyekszünk megőrizni, de látni fogjuk, hogy léteznek például a topológiában olyan leképezések, melyek folytonos deformációval az adott térben nem állíthatók elő. Ismerős lesz ugyanakkor számos olyan fogalom, melyekkel korábbi geometriai, gráfelméleti tanulmányaink során találkoztunk, és amelyekről kiderül majd, hogy valójában topológiai fogalmak, invariánsok.

A topologikus tér fogalma

Először azt a teret definiáljuk, amelyben vizsgálódunk. A topológiai értelemben vett térfogalom sokkal általánosabb az eddig vizsgált metrikus térfogalomnál, hiszen nem kívánunk távolságot mérni benne, csupán a pontok környezetét, elválaszthatóságát kell meghatároznunk, hogy a folytonosság értelmezhető legyen.

1.1. Definíció.

Legyen egy nemüres (pont)halmaz és legyen adott ennek részhalmazaiból álló halmazrendszer. A halmazt a rendszerrel együtt topologikus térnek nevezzük, ha

  • Az üres halmaz és maga a halmaz elemei -nek

  • A véges sok elemének a metszete is eleme -nek

  • A akárhány elemének az uniója is eleme -nek

Ekkor azt mondjuk, hogy egy topológia (topológiai struktúra) a hordozó halmazon. A elemeit pontoknak, a rendszerbeli halmazokat nyílt halmazoknak nevezzük. Ha a nyílt halmaz tartalmaz egy pontot, akkor azt az adott pont környezetének nevezzük. A topologikus tér jelölése .

Pontok halmaza tehát attól lesz topológikus tér, hogy bizonyos részhalmazait nyílt halmazoknak tekintjük. Ez a nagyon általános fogalom szűkíthető, ha azt is megkívánjuk, hogy a tér pontjai őket körülvevő nyílt halmazokkal jól elválaszthatók legyenek egymástól:

1.2. Definíció. A halmazt Hausdorff-térnek nevezzük, ha a tér bármely két különböző pontjához létezik két diszjunkt nyílt halmaz úgy, hogy az egyik pont az egyik halmaz, a másik a másik halmaz eleme, azaz

Az eddig megismert geometriai tértípusok, az euklideszi, affin, projektív tér mind Hausdorff-terek. A későbbiekben topologikus téren mindig Hausdorff-teret értünk majd.