Ugrás a tartalomhoz

Kutatói pályára felkészítő akadémiai ismeretkörön alapuló tananyagfejlesztés – Környezet- és természetvédelem ismeretkörben

Dr. Huzsvai László (2008)

Debreceni Egyetem a TÁMOP 4.1.2 pályázat keretein belül

Differenciálegyenletek közelítő numerikus megoldása

Differenciálegyenletek közelítő numerikus megoldása

Kompartment modellek

Kompartment vagy részegységekből felépített modellekben koncepcionálisan a rendszerváltozók átalakulására és tárolására helyezik a hangsúlyt. A kompartment-modell típusú termésmodellek rendszer felépítéséhez igazodó elsőrendű differenciálegyenlet-rendszer képezi a termésszimuláció matematikai modelljét. A részegység változását állapotváltozóinak a változása jelenti. A termésszimulációs modell részegységei közötti anyag- és energiaáramlás szemléletesen a Forrester-ábrázolás segítségével jeleníthető meg (1. ábra). Az ábrázolás előnye, hogy a modell elemek szerkezeti kapcsolatára és a részegységek típusára is közvetlen információ nyerhető.

Matematikai formanyelven az előzőekben szövegesen leírtak a következő formában fejezhetők ki:

1. ábra. Két víztározóból álló vízáram rendszer (a.) és annak Forrester típusú modell ábrázolása (b.)

A vízáramlást tekintve (lásd a 2. ábra) a víztárolókban aktuálisan jelen lévő víz mennyisége mint extenzív változó jelenik meg.

2. ábra. A talajszelvénybeli vízmozgás leírására alkalmazott rétegfelosztás.

A talajszelvény 2. ábran szereplő rétegfelosztásának Forrester típusú modell leírása.

Az ábrán (2. ábra) szereplő rétegfelosztás matematikai leírása:

A részegységek közötti áramlás leírásához figyelembe kell venni, hogy a víztárolóból a kifolyás kifolyó nyíláson történik (1. ábra). A kifolyás sebessége a kifolyó fölötti vízszint magassága és a nehézségi erő állandó szorzata kétszeresének négyzetgyöke. Ennek ismeretében:

Minthogy V és A ismeretében H kifejezhető a (2) és (3) összefüggések együttesen is felírhatók:

A folyamat matematikai felírásakor ügyelni kell a dimenzionális és a mértékegység szerinti helyességre. Minden - az összefüggésben szereplő - változó, paraméter vagy adat azonos mértékegység rendszerben kell, hogy szerepeljen.

A bemutatott módon elsőrendű differenciálegyenletekből álló modell építhető. A részegység-modell egyik mezőgazdasági példája a növényi növekedés. A növényi növekedés biológiai rendszerében azonban nem teljesen ismertek a részegységek elemei, változói és bemenetei közötti áramok. Általában ezért a modellben először az állapotváltozók szintjeit határozzák meg x1, x2,...xn. A matematikai modell alakja ekkor nemlineáris esetre:

Amennyiben a modell lineáris az lerövidíthető:

Osztott-modellek

Azokat a modelleket, amely egységeinek az állapotváltozói és áramlási folyamatai térben és időben változnak, osztott modelleknek nevezik. Az osztott modellek matematikai megfelelője egy parciális differenciálegyenlet. Célszerűen az osztott-modell részegységei már összetett egységek. Példaként vegyük a talajszelvényben végbemenő vízáramlás és állapot modelljét. A talajszelvény minden pontjában a talajnedvesség-tartalom és áramlás időben és a mélység szerint változik. Amennyiben a talajszelvényre összesítünk a rendszer viselkedése egyértelművé tehető. Ekkor a talajszelvényt rétegekből felépítettnek definiáljuk, amely rétegek mindegyikében meghatározott mennyiségű víz található. Mindenegyes talajréteg vízáram-összeköttetésben van a felette és az alatta levő réteggel. Matematikailag a 2. ábra talajszelvényének nedvességforgalma a következő elsőrendű differenciálegyenletekkel írható fel:

A nehézségi erő hatását elhanyagolva a vízáram intenzitása (q) a talaj diffúziós vezetőképességével (D) és a talajnedvesség gradiensével írható fel:

Az egyenletek e típusú rendszere szimulálható, ha i(t), O(t) és wi(O) i=1,2,…n-re megadott, minthogy ezek jelentik a kezdeti- és a határfeltételeket. A kezdeti feltétel az állapotváltozó értéke a t=0 időpontban. A kezdeti értékek megadása minden szimuláció szükséges előfeltétele annak érdekében, hogy a modellezett rendszer viselkedése vizsgálható legyen a t>0 időpontban. A határfeltételek a rendszer változóinak értékei valamely modell részegység (talajszelvény, levélfelület, stb.) határán. Például a vízáram a talajfelszínen, vagy a talajszelvény alsó határrétegén. A kezdeti értékektől eltérően a határfeltételek értékei a szimuláció teljes időtartamára vonatkoznak. A következőkben bemutatjuk, hogy az (7) és (8) elsőrendű differenciál egyenletek hogyan alakíthatók parciális differenciálegyenletekké. Legyen dx és dt közelítő értéke és . Minthogy

A (8) egyenletet x szerint is felírva kapjuk:

A (9) egyenletben D változását feltételezve írható:

A (10) egyenlet átírható a következő egyszerűbb alakba:

Feltételezve, hogy a t tart a nullához és x tart a nullához a (135) egyenlet parciális differneciálegyenletté alakítható, amelyben θ x és t szerint is változik:

A (13) parciális differenciálegyenlet a talajban egységnyi felületen (A=1) lezajló általános vízáramlás egyenlete. A (13) parciális differenciálegyenlet a (8) elsőrendű differenciálegyenletnél pontosabb megoldást szolgáltat, azonban közelítő megoldásként egyszerűsége és gyors megoldhatósága miatt gyakran alkalmazzák.

A szimuláció során az előzőekben példaként bemutatott rendszeregyenletek megoldása történik, amely a rendszer állapotváltozóinak időben bekövetkező viselkedését, értékeit eredményezi egy meghatározott bemenő adat együttesre vonatkozóan. A szimuláció történhet kis időlépésenként, vagy a rendszer állapotának egy új időpontra történő számításával.

A (15) egyenlet az elsőrendű differenciálegyenlet véges differencia (finite difference) alakja. Ezt az alakot az elsőrendű differenciálegyenlet merőleges, vagy az Euler-módszer szerinti integráljaként tartják számon.

Az ismertetett eljárás valamennyi, a modellben szereplő elsőrendű differenciálegyenlet véges differencia módszerű megoldására alkalmazható.

Abban az esetben, ha a modellben másodrendű differenciálegyenlet szerepel a megoldás annak két elsőrendű differenciálegyenletté alakításával lehetséges.

Legyen a másodrendű differenciálegyenlet a következő alakú:

A (17) egyenletek megoldására az ismertetett Euler-integrálási módszeren kívül léteznek más explicit megoldások, például a trapéz-integrálási technika, amelyet részleteiben itt nem ismertetünk. Az integrálási technikák pontossága annak a függvénye, hogy alkalmazásuk során mekkora „csonkítási”, „elhanyagolási” hibával terheltek. Ebből a szempontból a trapéz-integrálási technika az Euler-integrálási módszernél pontosabb.

Azokat a modelleket, amelyekben a folyamatok leírása a hangsúlyos, folyamat-modelleknek nevezik. A termés-modellek folyamatos modellek, amelyekben az állapotváltozók időben lassan, folytonosan változnak. A diszkrét modellekben az állapotváltozók diszkrét, egész értékkel változnak. Következik ebből, hogy a termés-modellek differenciálegyenletek rendszerének tekinthetők. Az alkalmazott differenciálegyenlet-rendszer a modell szerkezetét és a rendszert alkotó elemek kapcsolatrendszerét is tükrözi.

A modellezett folyamatok három kategóriát alkotnak, így a transzportot (áramlást), a transzformációt (átalakulást) és a tárolást (felhalmozást). A három folyamatkategóriát két változótípus írja le az extenzív, és az intenzív. Az extenzív változók olyan mennyiségekkel kapcsolatosak, mint pl. a tömeg, a térfogat, az elektromos töltés, az erő- és a hőáramok. A termés-modellek intenzív változói energia-intenzitás vagy potenciál dimenziójúak.

3. ábra. A modellezés körfolyamata