Ugrás a tartalomhoz

Topográfia 2., Vetületi alapfogalmak

Mélykúti Gábor (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

2.3 Térképi vetületek alapfogalmai

2.3 Térképi vetületek alapfogalmai

Térképi vetület két matematikailag definiált felület között számítással teremtett kapcsolat. A számítás minden esetben egy tárgyfelület és egy képfelület között történik úgy, hogy a tárgyfelületen lévő alakzatot vetítjük rá a képfelületre. A tárgyfelület rendszerint a térképezéshez választott alapfelület. A vetítést geometriai vagy matematikai törvények szerint hajtjuk végre.

2.3.1 A geometriai vetítés alapelemei

Vetítéskor egy tárgyfelület pontjait vetítősugarak segítségével vetítjük egy képfelületre .

A vetítősugarak sorozója (közös pontja) a vetítési pont.

Ha a vetítési pont a

  • végesben van - centrális vetítés ről, ha a

  • végtelenben van - párhuzamos vetítés ről beszélünk.

Párhuzamos vetítés esetén ha a vetítősugarak

  • a képfelületre merőlegesek - ortogonális a vetítés, ha

  • a képfelülettel általános szöget zárnak be - ferde (klinogonális) vetítés jön létre.

2-2. ábra Geometriai vetítés típusai a vetítési pont és a vetítősugarak helyzetétől függően

2.3.2 Vetületek tulajdonságai

A vetületeket több tulajdonság szerint is csoportosíthatjuk.

Vetítés módja szerint megkülönböztetünk:

  • valódi vetület et: a vetítést matematikailag is leírhatjuk és geometriailag is megszerkeszthetjük, (ezeket a vetületeket perspektív vetületeknek is nevezzük). pl. sztereografikus vetület

  • képzetes vetület et: a tárgy és a képfelület között geometriailag nem ábrázolható matematikai kapcsolatot létesítünk.

Magyarországon a geodéziai célra alkalmazott minden vetület, a sztereografikus vetületen kívül, képzetes vetület.

Képfelület szerint megkülönböztetünk:

  • sík : síkvetület,

  • síkba fejthető felület , olyan felület, melyet egy alkotója mentés „felvágva” síkba teríthető. Ilyen lehet a:

  • henger vetület

  • kúp vetület

Speciális esetben a gömb is lehet képfelület. Amikor az ellipszoidról , mint tárgyfelületről először a következő szintű alapfelületre, mint képfelületre, a gömbre vetítünk, majd ezt követően egy következő lépésben tekintjük tárgyfelületnek a gömböt, és erről vetítünk síkra , vagy síkba fejthető felületre. Magyarországon ezt a vetítést alkalmazzuk az Egységes Országos Vetületi rendszer használatakor, az ellipszoid és egy síkvetület között. Ezt az eljárást KETTŐS VETÍTÉS- nek nevezzük.

A tárgy- és a képfelület egymáshoz viszonyított helyzete szerint lehet:

  • ÉRINTŐ helyzetű : a képfelület érinti a tárgyfelületet.

  • METSZŐ elhelyezésű : a képfelület belemetsz a tárgyfelületbe. (ezt a helyzetet nevezzük süllyesztett, vagy redukált vetületnek is.)

  • LEBEGŐ : a képfelület a tárgyfelületen kívül helyezkedik el

2-3. ábra Tárgy és képfelület elhelyezkedése

A tárgy- és képfelület tengelyeinek egymáshoz viszonyított helyzete szerint lehet KÚP, VAGY HENGER VETÜLETEK esetén:

  • NORMÁLIS elhelyezésű: a képfelület forgástengelye egybeesik a tárgyfelület forgástengelyével;

  • TRANSZVERZÁLIS elhelyezésű: a képfelület forgástengelye merőleges a tárgyfelület forgástengelyére, a képfelület forgástengelye a tárgyfelület egyenlítő síkjában fekszik;

  • FERDETENGELYŰ: a képfelület forgástengelye 0–90 fok közötti szöget zár be a tárgyfelület forgástengelyével;

2-4. ábra Tárgy és képfelület elhelyezkedése

A ferde és a horizontális elhelyezés jelentése megegyezik.

A tárgy- és képfelület tengelyeinek egymáshoz viszonyított helyzete szerint lehet SÍK VETÜLET esetén:

  • POLÁRIS elhelyezésű: a sík normálisa az érintési pontban egybeesik a tárgyfelület forgástengelyével, a sík az alapfelületet a É-i, vagy a D-i pólusában érinti;

  • EGYENLÍTŐI (TRANSZVERZÁLIS) elhelyezésű: a sík normálisa a tárgyfelület egyenlítőjének a síkjában fekszik, az egyenlítő egy pontjában érinti a sík a tárgyfelületet;

  • HORIZONTÁLIS (ferde) elhelyezésű: a sík normálisa 0 – 90 fok közötti szöget zár be az alapfelület forgástengelyével, a sík párhuzamos a vetületi kezdőpont horizont síkjával.

Vetületi torzulások szerint:

Egy görbült felületnek a síkra vetítését torzulás mentesen nem lehet elvégezni. A képfelületen a tárgyfelülethez képest torzulnak az alakzatokon a hosszak, a szögek és a területek.

Meg lehet azonban határozni olyan vetületi egyenleteket (matematikai függvényeket), melyek a vetületi torzulások közül a szög-, vagy a területtorzulást megszünteti.

Így lehet:

  • SZÖGTARTÓ vetület: Ez azt jelenti, hogy egy tárgyfelületi pontból és a neki megfelelő vetületi (térképi) pontból ugyanazon két másik pontra menő irányok által bezárt szög egyenlő. Földmérési térképek készítéséhez mindig szögtartó vetületet alkalmazunk.

  • TERÜLETTARTÓ vetület: Amikor a tárgyfelületen mért és a képfelületen mért területek arányai nem változnak. Területtartó vetületeket elsősorban a földrajzi térképeken alkalmazzák.

  • ÁLTALÁNOS TORZULÁSÚ vetület: Amikor mindhárom elem, a hosszak, a szögek és a területek is különböznek a tárgy- és a képfelületen. Az általános torzulású vetületeket a földrajzi térképeken (atlaszokban) alkalmazzák.

Olyan vetület nem létezik, mely egy görbült felületet síkra úgy vetítene, hogy minden irányban a távolságok a tárgyfelületen és a képfelületen megegyeznének ( hossztartó vetület NINCS! ). Egy vetületen csak hossztartó vonalak lehetségesek speciális esetben és csak kitüntetett irányokban, pl. ha a két felület érinti egymást, akkor az érintési vonal, vagy ha a két felület metszi egymást, akkor a metszésvonal hossztartó (hiszen ezek a vonalak mindkét felületnek közös vonalai).