Ugrás a tartalomhoz

Térbeli döntéselőkészítés 6., Domborzatmodellezés

Márkus Béla (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

6.2 Interpolációs módszerek

6.2 Interpolációs módszerek

Az adatgyűjtés során a terepfelszín lényeges tárgyairól, tulajdonságairól diszkrét adatokat szerzünk. Ezek az adatok a terep valamely kiválasztott pontjára (támpont, adott pont, mért pont) vonatkoznak. A levezetendő pontokon az információ számításakor a modellező rendszer a támpontokat használja kiinduló adatként, a felületillesztés ezekre támaszkodik (innen a támpont elnevezés). A térbeli interpoláció egy olyan művelet, ami a mintavételezett területeken, a közvetlenül nem mért pontok magasságának vagy egyéb tulajdonságának kiszámítására szolgál.

A feladat a következő: adott egy sor térbeli adat diszkrét pontok formájában, találjuk meg azt a függvényt, ami a legjobban tükrözi a modellezett felszínt, és ami becsli a nem mért pontok értékeit. Az interpolációs módszerek tehát diszkrét pontokból folytonos felület előállítására képesek. Az eddig tanultakból ilyen interpolációs módszer például a Thiessen poligon.

Ebben az alfejezetben általános jellemzést, csoportosítást adunk a pontokon végzett interpolációs módszerekre, a következők szerint:

  • lokális vagy globális,

  • szabatos vagy közelítő,

  • folyamatos vagy szakadásos,

  • determinisztikus vagy sztochasztikus.

Egy adott interpolációs módszer lehet, hogy több kategóriába is besorolható, pl., lehet lokális, szabatos, szakadásos és determinisztikus (mint pl. a Thiessen poligon). Most nézzük meg, hogy mi rejlik a terminológia mögött!

6.2.1 Lokális – globális

A lokális illetve globális fogalom azt fejezi ki, hogy az adott interpolációs technika hogyan választja ki a támpontokat.

A globális interpoláció alkalmazásakor egy funkciót használnak minden levezetendő pontra. Ebben az esetben, akár egy támpontban bekövetkezett változás, hatással van az egész interpolációs folyamatra. A globális interpolátorok igyekeznek olyan felszínt meghatározni, ahol nincs hirtelen változás, mert általában az átlagolás elvét használják. Ez csökkenti az extrém értékek hatását. Ezek a módszerek akkor a legalkalmasabbak, amikor a modellezett felszínnek van egy általános trendje. (pl., a szennyezőanyag egyre kisebb arányban fordul elő, ahogyan távolodunk a szennyező forrástól).

Ha keveset vagy semmit nem tudunk a felszín általános trendjéről, akkor a lokális interpolátorok használata megfelelőbb. A lokális interpolációs technikák ugyanazt a függvényt alkalmazzák ismételten a támpontokra. A felszínt a közeli megfigyelésekre (a környező támpontokra) alapozzák.

A következő ábra bemutatja a lokális és a globális interpolációs technikák közötti különbséget. A globális interpolátorok valamennyi támpontot felhasználják a számításhoz, a lokális interpolátorok csak a környező pontokat.

6.2. ábra. A globális és lokális interpoláció összehasonlítása (Forrás: UNIGIS)

Vitatott kérdés lehet, hogy meddig lokális az interpoláció és mikor válik globálissá. Általában a támpontok alkalmazásának módja dönti a kérdést. Ha kíváncsiak vagyunk Budapest tengerszint feletti magasságára, akkor vehetjük a támpontokat a FÖMI Magyarország digitális domborzatmodelljéből (DDM_100) amit az EOTR szelvényezésű, 1:100 000 méretarányú digitális topográfiai alaptérképeinek szintvonalaiból vezettek le. Szelektáljuk le a Budapest területére eső pontokat, majd vegyük ezek átlagát. Ez a ponthalmaz az országoshoz képest lokális, de a tengerszint feletti magasság kiszámításához valamennyi budapesti pontot felhasználtunk, tehát az interpoláció globális volt (vízszintes síkkal közelítettük a valóságot).

6.2.2 Szabatos – közelítő

A szabatos interpolációs módszerek tiszteletben tartanak minden támpontot, a közelítő módszerek megengednek eltéréseket a támpontokon.

6.3. ábra. A kiegyenlítő egyenes közelítő interpoláció

Az előző ábra egy kétdimenziós példát mutat. Óránként mérjük a hőmérsékletet, de szeretnénk tudni, hogy milyen meleg volt 15 óra 34 perckor. A szabatos megoldásra példa lehet a 15 órai és 16 órai leolvasások közötti lineáris interpoláció, ami tiszteletben tarja támpontokon tett leolvasásokat. Erről a módszerről mondhatjuk egyben, hogy lokális, mert a környező pontokat vette figyelembe. A kiegyenlítő egyenes globális (valamennyi mért pontot figyelembe veszi), de egyben közelítő, mert amint az ábrán látjuk, a támpontokon eltérés mutatkozik.

A szabatos módszereket gyakran akkor használjuk, ha a mérések megbízhatósága nagy, és ezt vissza akarjuk adni. A közelítő interpolátorok a támpontok értékét bizonytalannak tekintik, akkor megfelelőek, ha bizonytalan az adott mintavételi pontokon a megfigyelt érték, meg lehet simítani a felszínt.

Mielőtt rátérünk a következő típusra, tisztáznunk kell az interpoláció és approximáció közötti különbséget. A matematikában alkalmazott definíció szerint az approximáció olyan eljárás, amely hiányos, többnyire tapasztalati adatok alapján, adott helyen, egy adott változóhoz egy becsült értéket rendel. Vagyis valamennyi eddig és ezután tárgyalt felületillesztés approximációs módszer. A matematikában interpoláció ennek szabatos változata, amikor a közelítés során, a támpontokon nincsenek ellentmondások. Mi eddig és a továbbiakban is a térinformatikai definíciót használjuk.

6.2.3 Folyamatos – szakadásos

A folyamatos és a szakadásos interpolátorok a létrehozott felszín folyamatossága szerint különböztethetők meg. A folyamatos interpoláció a kérdéses ponthoz bárhonnan közelítve ugyanazt az eredményt adja. Ismét kétdimenziós ábrán szemléltetünk. A keresztszelvényen balról-jobbra kérdéses ponton Z1, a ponthoz jobbról-balra közelítve Z2 eredményt kapunk.

6.5. ábra. Szakadásos felszín keresztszelvénye

A szakadásos interpolátorok lépcsőzetes felszínt hoznak létre. Egy példa a szakadásos interpolációra lehet az övezetek szerkesztése, egy másik a Thiessen poligonok.

6.6. ábra. Természetes Thiessen poligonok Észak-Írországban (Forrás: http://www.parents-stories.co.uk/info.htm)

Az előző ábra egy szokatlan természeti képződményt mutat, bazaltsziklákat Észak-Írországban. Ez egy példa a természetes Thiessen poligonokra, de nem erre a ritka képződményre akartunk utalni. A Thiessen poligonokkal lényegében a legközelebbi szomszéd elvén interpolálhatunk. Emlékezzünk a definícióra! „Egy adott ponthoz tartozó Thiessen poligon azon pontok mértani helyét jelenti, melyek a kérdéses ponthoz közelebb esnek, mint bármelyik másik mintavételi ponthoz.” A mért adat érvényességi területét a Thiessen poligon írja le. A két pont közötti magasságkülönbség a poligon határán szakadást okoz, ezért a kartográfiában nem alkalmazzák, de tömegszámításra jól használható, mert a nagy számok törvénye[1] következtében a hibák kiegyenlítődnek. A módszerre a következő alpontban visszatérünk.

6.2.4 Determinisztikus – sztochasztikus

Könnyű a dolgunk, ha az új értékeket egy olyan adathalmazból kell interpolálnunk, ahol elég tudomásunk van a természeti folyamatról vagy jelenségről ahhoz, hogy tulajdonságát matematikai funkciókkal le tudjuk írni. Ezt jelentené a tényleges determinisztikus interpoláció. A következő ábra azt mutatja, hogy néhány mérésből, a pattogó labda pályagörbéje pontosan számítható, a fizikai törvények ismeretében.

Sajnos kevés földrajzi jelenséget ismerünk elegendő részletességgel, hogy az lehetővé tegye a tényleges determinisztikus interpolációt, ezért determinisztikus interpolációnak hívjuk azokat az algoritmusokat is, amelyek a környező pontokra valamilyen matematikai függvényt illesztve interpolálnak. A második ábra az interpoláció veszélyeire hívja fel a figyelmet; két pályagörbét mutat, amik ugyan szabatos interpoláció eredményei, de a számított érték nagy hibákkal terhelt.

6.7. ábra. Csillapodó rezgőmozgás (Forrás: UNIGIS)

6.8. ábra. Az interpoláció veszélyei

A sztochasztikus interpoláció nemcsak determinisztikus, hanem statisztikai függvényeket is felhasznál a becslés folyamán. Ezek a módszerek az első lépésben a támpontok közötti statisztikai kapcsolatokat határozzák meg, és ezeket használják a számításokban. A sztochasztikus módszerek (pl. Kriging) előnye, hogy az interpoláció megbízhatóságára is becslést szolgáltatnak. A térbeli interpoláció típusainak elvi áttekintése után rátérünk a domborzatmodellezés interpolációs módszereinek tárgyalására.



[1] A nagy számok törvénye (a valószínűség számítás egyik alapvető tétele) azt mondja ki, hogy egy kísérletet sokszor elvégezve az átlag közel lesz a várható értékhez.