Ugrás a tartalomhoz

Geodézia 4., Vízszintes helymeghatározás

Gyenes Róbert (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

4.6 A magassági szögmérés szabályos hibaforrásai

4.6 A magassági szögmérés szabályos hibaforrásai

A magassági szögmérés hibaforrásai és ezek hatásai egyes esetekben sok hasonlóságot, esetleg teljes egyezőséget mutatnak a vízszintes szögmérés szabályos hibaforrásainál bemutatott hibaforrások hatásával. Részleteiben ezért nem foglalkozunk azok tárgyalásával, amelyek jellegükben a zenitszögmérés eredményére ugyanolyan hatást gyakorolnak, mint a vízszintes szögmérésre. A magassági szögmérésnél is megkülönböztetünk műszerhibákat, a műszer felállításából és a külső körülményekből eredő szabályos hibaforrásokat.

A vízszintes szögmérésnél megismert kollimáció hiba és a fekvőtengely merőlegességi hibája nem okoz mértékadó hibát a zenitszögben, ezért ezekkel a hibaforrásokkal nem kell foglalkoznunk. Egyébként ez matematikailag is könnyen bizonyítható a (4.16. egyenlet) és a (4.22. egyenlet) összefüggések alapján.

Az irányvonal külpontosságát a zenitszög mérésekor a fekvőtengelyre vonatkoztatjuk. Hatása a zenitszögre ugyanaz, mint a vízszintes szögmérésnél az állótengelyre vonatkozó külpontosság, így hatása és kezelése megegyezik a 4.5.1.3.1 fejezetben leírtakéval. Ugyanez mondható el a magassági kör külpontossági és merőlegességi hibájával kapcsolatban is. Az előbbi azt jelenti, hogy a fekvőtengely külpontos a magassági kör középpontjára vonatkozóan, az utóbbi pedig, hogy a magassági kör síkja nem merőleges a fekvőtengelyre. A vízszintes szögmérésnél tett megállapítások itt ugyanúgy érvényesek: a magassági körnél is diametrálisan elhelyezett indexdiódákat alkalmaznak, valamint a magassági kör merőlegességi hibája is elhanyagolható. A magassági kör osztáshibáira szintén érvényesek a vízszintes kör osztáshibáinál leírt szempontok.

A pontraállás hibája magassági szögmérésnél más értelmezést kap, ezért ezzel részletesebben is foglalkozunk, hasonlóan az állótengely ferdeségi hibájának a hatásával.

A légköri sugártörés a magassági szögmérésre nézve veszélyes hibaforrás, ezért ezt részleteiben is tárgyaljuk. A jel megvilágítottságára és alakjára vonatkozó megállapítások szintén megegyeznek a 4.5.3.3. fejezetben leírtakéval.

4.6.1 Műszerhibák – az indexhiba

A 4.4.11 fejezetben ismertettük a magassági kör szerkezetét és a kompenzátorok működési elvét. A kompenzátor a beállás pontosságának a következtében nem mindig ugyanazon a helyen képezi le az indexvonás képét, az indexvonás képének helyzetétől függően „alul” vagy „túl” kompenzál. Az index képe így a 4-68. ábranak megfelelően nem a helyi függőleges irányában helyezkedik el. Az ábrán ezt a szögeltérést Δk-val jelöltük, amelyet a kompenzátor kompenzálási hibájának nevezünk. Mivel a távcsövet és a magassági kört egymáshoz ékelik, további követelmény, hogy a 0˚-180˚ osztások által meghatározott irány a geodéziai távcső irányvonalával essen egybe. Műszerszerkesztési okokból ez a feltétel nem teljesül maradéktalanul, hanem úgynevezett ékelési hiba lép fel. Az ékelési hibát a 4-68. ábran Δé-vel jelöltük. A kompenzálási és az ékelési hiba együttes következményeként nem a tényleges zenitszöget mérjük, hanem attól kis mértékben eltérőt.

4-68. ábra A kompenzátor kompenzálási hibája és az ékelési hiba

Tételezzük fel, hogy sem kompenzálási hiba, sem ékelési hiba nem áll fenn (4-69. ábra). Ebben az esetben az első távcsőállásban a ζI szöget mérjük. Ez az eset látható a 4-69. ábra bal oldalán. Ha a távcsövet áthajtjuk és átforgatjuk, akkor második távcsőállásban a ζII-vel jelölt szöget mérjük. Könnyű belátni, hogy a két távcsőállásban végzett leolvasások összegének 360˚-nak kell lenni:

4.47. egyenlet

4-69. ábra A két távcsőállásban végzett zenitszögmérés szemléltetése

Ez a feltétel azonban a kompenzálási és az ékelési hiba következtében nem teljesül. A valódi zenitszöget így a leolvasás, a kompenzálási hiba és az ékelési hiba összegeként írhatjuk fel. Első távcsőállásban (4-70. ábra):

4.48. egyenlet

Az áthajtás és átforgatás után a második távcsőállásban:

4.49. egyenlet

Képezve (4.48. egyenlet) és (4.49. egyenlet) összegét, (4.47. egyenlet) alapján:

4.50. egyenlet

Amiből:

4.51. egyenlet

A két távcsőállásban végzett leolvasások összegéből tehát a kompenzálási hiba és az ékelési hiba előjeles összegét meg tudjuk határozni. Valójában tehát az egyedi értékük ismeretére nincsen szükségünk. A kompenzálási és az ékelési hibát együttesen indexhibának nevezzük:

4.52. egyenlet

Az indexhiba (4.52. egyenlet) alapján történő számítását követően a tényleges zenitszöget megkapjuk, ha (4.52. egyenlet)-et előjelhelyesen hozzáadjuk az első távcsőállásban végzett mérés eredményéhez:

4.53. egyenlet

Látható tehát, hogy a két távcsőállásban végzett méréssel az indexhiba hatása kiküszöbölhető. Ezen kívül megállapítható az is, hogy az indexhiba független a mért zenitszög értékétől, így az állásponton mért irányokra vonatkozóan – a mérési hibáktól eltekintve – az indexhiba értéke elvileg ugyanaz. Azért fontos kihangsúlyozni, hogy elvileg, mert az alhidádé forgatásának és az ismételt beállás pontosságának következtében ez nem teljes mértékben igaz. De ez az eltérés figyelmen kívül hagyható. Ez a tény lehetővé teszi az indexhiba számítással történő figyelembevételét, ha azt a mérések előtt már meghatároztuk és értékét a műszerben tároltuk. Az indexhiba vizsgálatára a 4.7.3 fejezetben még visszatérünk.

4-70. ábra A kompenzálási hiba és az ékelési hiba figyelembevétele

4.6.2 A műszer felállításából származó hibák

4.6.2.1 A műszermagasság hibája

Zenitszögmérésnél a vízszintes pontraállás hibája nem játszik szerepet, azonban figyelembe kell vennünk, hogy a zenitszögmérést tulajdonképpen külpontosan végezzük, azaz a zenitszög csúcsa nem a központra vonatkozik, hanem a központ felett a fekvőtengely magasságára. A magasságok meghatározásához tehát ismernünk kell a fekvőtengely központ feletti magasságát, az úgynevezett műszermagasságot. Leggyakrabban a műszermagasságot közvetlenül mérőszalaggal mérjük. A fekvőtengelyt az alhidádé oszlopon műszertől függően egy kis furat, vízszintes vonal vagy egyéb jel jelzi. Ha azonban a jel a műszer szerkesztési hibája következtében nem pontosan a fekvőtengely meghosszabbításában helyezkedik el, akkor tulajdonképpen a zenitszög csúcsát nem a megfelelő helyre vonatkoztatjuk. Ez gyakorlatilag analóg a vízszintes szögmérésnél az optikai vetítő igazítási hibája következtében végzett hibás pontraállással. A műszermagasság hibája elsősorban nagy pontosságú mérnökgeodéziai alkalmazásokban zavaró, ahol a műszermagasságot néhány tizedmilliméter pontossággal kell ismerni. Ilyenkor a műszermagasságot más, később tanulandó közvetett mérési módszerrel határozzuk meg. Ennek részletes ismertetésére későbbi tanulmányaink során még visszatérünk.

4.6.2.2 Az állótengely ferdeségi hibája

Az állótengely ferdeségének a térbeli irány függőleges síkjába eső vetülete a zenitszögmérésre jelentős hibahatást gyakorol. A 4-71. ábran az állótengely térbeli irány függőleges síkjába eső vetületét V’-vel jelöltük. Az állótengely ferdesége következtében ezért a ζ ’-vel jelölt szöget mérjük ζ helyett. A 4.6.2.2. fejezetben levezettük a térbeli irány egységnyi helyvektorának koordinátáit az állótengely dőlésének és a dőlés irányának a függvényében, amelyeket a (4.38. egyenlet) által adott koordináták fejeznek ki. Egységvektorról lévén szó a Z(α) koordináta nem más, mint a dőlés következtében mért ζ ’ zenitszög koszinusza, azaz (4.38. egyenlet) alapján:

4.54. egyenlet

4-71. ábra Az állótengely ferdeségi hibájának a hatása

A ζ ’szög koszinusza viszont a növekményeként kapott függvényérték, így alkalmazhatjuk az analízisből jól ismert differenciális összefüggést:

4.55. egyenlet

A (4.54. egyenlet) és (4.55. egyenlet)-es összefüggések egyenlősége következtében írhatjuk, hogy:

4.56. egyenlet

Viszont:

4.57. egyenlet

Így (4.56. egyenlet), miután -t mindkét oldalból kivonjuk, a következőképpen alakul:

4.58. egyenlet

Egyszerűsítve -val, végeredményben:

4.59. egyenlet

Vagy

4.60. egyenlet

A (4.60. egyenlet)-es összefüggés alapján látható, hogy az állótengely ferdeségi hibájának a hatása maximális, ha amikor a mért irány éppen a dőlés síkjába esik. Ezt az esetet szemlélteti valójában a 4-71. ábra is. A dőlés hatása nulla, ha vagy , amikor a térbeli irány függőleges síkja a dőlés síkjára merőleges. Az is látható, hogy a dőlés hatása független a zenitszög értékétől.

Az állótengely ferdeségi hibájának a hatása mérési módszerrel nem küszöbölhető ki. Hatása csökkenthető az állótengely gondos függőlegessé tételével, valamint (4.59. egyenlet) összefüggés alapján valós idejű számítással figyelembe vehető, miután a kompenzátor meghatározta a dőlés nagyságát és irányát.

4.6.3 Külső körülményekből adódó hibák – a magassági refrakció

A 4.5.3.2 fejezetben ismertettük a légköri sugártörés vízszintes szögmérésre gyakorolt hatását. A légkör fizikai állapotának és annak változásának következtében a refrakció zenitszögmérésre gyakorolt hatása számottevőbb, mint a vízszintes szögmérésre vonatkozóan. Zenitszögméréskor a refrakció következtében a refrakciógörbe térbeli irány függőleges síkjába eső érintőjét mérjük (4-72. ábra). A valódi és a mért térbeli irány által bezárt szög a refrakciószög, vagy más néven refrakciós szög, amelyet δ-val jelöltünk. A refrakciószög függ a levegő hőmérsékletétől, a légnyomástól, a levegő páratartalmától, valamint helyi, időben gyorsan változó körülményektől, például a szél erősségétől. A refrakciós szög és a meteorológiai változók közötti kapcsolatot közvetett úton, a levegő törésmutatójának ismeretében lehet megadni.

4-72. ábra A magassági refrakció szemléltetése

A fizikából jól ismert a Fermat-elv, amely kimondja, hogy az elektromágneses hullámok, így köztük a fény is, terjedésük során a legrövidebb utat teszik meg. Mivel a közeg sűrűsége nem homogén, ezért a fénytörés törvényének megfelelően a törésszög pontról pontra változik, de a törésmutató és a beesési szög - amely esetünkben nem más, mint a zenitszög – szinuszának a szorzata a görbe mentén állandó. Két különböző, n1 és n2 törésmutatójú közeg esetén tehát:

4.61. egyenlet

Vagy általánosabb formábban

4.62. egyenlet

Ez pedig lehetőséget ad arra, hogy megvizsgáljuk a zenitszög változása és a törésmutató közötti összefüggést, amely pedig már a meteorológiai jellemzők függvénye. Képezzük (4.62. egyenlet) teljes differenciálját. Mivel a jobb oldalon konstans szerepel, így annak deriváltja nulla, azaz:

4.63. egyenlet

4-73. ábra A légköri sugártörés két különböző törésmutatójú közeg határán

Tételezzük fel, hogy ismerjük az n törésmutató térbeli változását leíró vektort, a törésmutató gradiens vektorát, amely merőleges egy adott réteg elemi felületére. Jelöljük ezt a gradiens vektort -vel (olvasva: nabla n). Hasonlóan a potenciálkülönbség meghatározásánál leírtak szerint, ha a térben egy elemi ds vektor mentén elmozdulunk a gradiens vektorral ζ szöget bezáró irányban, akkor a törésmutató dn változása a ds vektor mentén a gradiensvektor és az elmozdulásvektor skalár szorzataként határozható meg (4-74. ábra):

4-74. ábra A törésmutató változásának meghatározása tetszőleges irányban

4.64. egyenlet

A (4.64. egyenlet)-at (4.63. egyenlet)-be helyettesítve, és az egyszerűbb olvashatóság érdekében az abszolút értékek jeleit elhagyva:

4.65. egyenlet

Amiből:

4.66. egyenlet

A (4.66. egyenlet) által adott differenciálhányados megadja a zenitszög út szerinti változását a törésmutató, a törésmutató változása és a zenitszög függvényében, amely a differenciálgeometriában tanultak szerint nem más, mint az r sugarú refrakciógörbe görbülete:

4.67. egyenlet

A refrakciógörbe alakját a vizsgálatok során körnek tételezik fel (4-75. ábra). A refrakciógörbe érintőjének az eltérése az irányzott P pontnál megegyezik a PP’ szakasz hosszával, amely, tekintettel arra, hogy a δ refrakciószög kicsi, közelítőleg egyenlő a Δ=PP’’ szakasz hosszával. Jelöljük t-vel a térbeli távolságot a fekvőtengely H pontja és az irányzott P pont között. Szintén közelítésekkel élve, a HP’’ szakasz hossza azonosnak tekinthető a t térbeli távolsággal, így alkalmazva Pitagorász tételét:

4.68. egyenlet

4-75. ábra A refrakciószög meghatározása adott térbeli irány és távolság alapján

Kifejtve:

4.69. egyenlet

Mivel Δ kis érték, ezért négyzete másodrendűen kicsiny mennyiség, így (4.69. egyenlet)-ből rendezés után írhatjuk, hogy:

4.70. egyenlet

Viszont Δ kifejezhető a refrakciószög függvényében, mivel

4.71. egyenlet

Így (4.69. egyenlet) és (4.70. egyenlet) alapján:

4.72. egyenlet

Behelyettesítve a g refrakciógörbe (4.67. egyenlet) által adott összefüggését (4.72. egyenlet)-be, kapjuk, hogy:

4.73. egyenlet

A (4.73. egyenlet)-as összefüggés jelentősége abban van, hogy az eredeti célkitűzésünknek megfelelően a refrakciószöget kifejeztük a törésmutató és annak változása függvényében adott zenitszögű és térbeli távolságú irány esetén. Ezáltal kapcsolat állítható fel a geodéziai szempontból fontos geometriai mennyiségek és a fizikai jellemzők között.

A legtöbb gyakorlati alkalmazásban a törésmutatót elegendő a szárazlevegő paraméterei alapján meghatározni. A λ = 590 nm hullámhosszúságú látható fényre az n törésmutatót a T hőmérséklet és a p légnyomás ismeretében a következőképpen számíthatjuk (Gottwald, 1985):

4.74. egyenlet

ahol .

A (4.74. egyenlet)-es összefüggésben a hőmérsékletet Kelvinben, a légnyomást hektopascalban kell behelyettesíteni. A törésmutató változását elsősorban a törésmutató H magasság szerinti változása határozza meg. Ennek értéke:

4.75. egyenlet

A (4.74. egyenlet) és (4.75. egyenlet) összefüggések felhasználásával a (4.73. egyenlet)-al adott refrakciószög számítható. A (4.75. egyenlet)-ben szereplő a hőmérséklet magasság szerinti változását, a hőmérsékleti gradienst jelöli. A hőmérsékleti gradiens értékét ˚C/m vagy K/m dimenzióban szokás megadni. Átlagos értékét -0.006-0.001 K/m-nek szokás felvenni. Geodéziai alkalmazás szempontjából a törésmutató talajközeli változása a mértékadó. A homogén, egyenletesen napsütött talaj felett a hőmérsékleti gradiens elérheti a 0.25 K/m értéket is (Flach, 2000).

A refrakciógörbe, valamint a refrakciószög vizsgálatára vonatkozóan számos tanulmány látott napvilágot. Magyarországon kiemelkedő Horváth Kálmán több tanulmánya, a külföldiek közül pedig Kukkamäki és Brocks munkássága.

A refrakciógörbe alakját az egyes rétegek sűrűsége (törésmutatója) határozza meg. A gyakorlatban legtöbbször előforduló esetben mind a műszerállás, mind az irányzott pont a labilis alsó rétegben található, azaz amikor a melegebb levegő helyezkedik el alul, és a hőmérséklet a talajfelszíntől távolodva csökken. Ennek a rétegvastagságnak a középértéke 20-25 méter körüli, de elérheti a 30-35 métert is. A refrakciógörbe ebben a rétegben felülről nézve homorú görbe, mivel a hidegebb és sűrűbb rétegek felül helyezkednek el (4-76. ábra).

4-76. ábra A refrakciógörbe alakja a labilis alsó rétegben

A talaj közelségére való tekintettel, a hőmérsékleti gradiens értéke a refrakciószöget jelentősen befolyásolja. A hőmérséklet napi alakulásának a következményeként általában a 10-15 óra között végzett mérések a legalkalmasabbak magassági szögmérésre, ugyanis a refrakció időbeli változása ekkor a legkisebb. Későbbi tanulmányaink során látni fogjuk, hogy a refrakciószög helyett egy másik mennyiséget, a refrakciós együtthatót fogjuk bevezetni a magasságkülönbségek meghatározásakor.