Ugrás a tartalomhoz

Geodézia 4., Vízszintes helymeghatározás

Gyenes Róbert (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

4.5 A vízszintes szögmérés szabályos hibaforrásai

4.5 A vízszintes szögmérés szabályos hibaforrásai

A 4.4.7 fejezetben ismertetett irányértéket és a 4.3 fejezetben definiált zenitszöget csak akkor kapjuk meg helyesen, ha a teodolit a 4.4 fejezetben ismertetett tengelyfeltételeket kielégíti. Részben a műszer szerkesztésekor előforduló kis mértékű konstrukciós hibák, részben pedig a műszer használata következtében egyes tengelyfeltételek nem teljesülnek maradék nélkül. Ha a pontraállást sem körültekintően végezzük, akkor az állótengely meghosszabbítása nem megy át a mérendő szög csúcsán, vagy nem lesz függőleges. A mérés helyén és idején lévő időjárási és egyéb körülmények szintén hatással vannak a mért mennyiségekre.

Legyen akár szó a műszer szerkezeti hibájáról, a műszer felállításának vagy a külső körülmények következtében előforduló hibákról, mindegyikben közös, hogy azonos jellegű, úgynevezett szabályos hibát okoznak. Ennek következtében a tényleges irányérték vagy zenitszög helyett kisebbet vagy nagyobbat mérünk, attól függően, hogy az egyes hibaforrásoknak milyen a hatása. A szabályos hibák kiküszöbölésére vagy hatásuk csökkentésére az alábbi lehetőségeink vannak:

  • megfelelő mérési módszert választunk,

  • függvénykapcsolatot állítunk fel a hibaforrás és annak keresett mennyiségre gyakorolt hatása között, azaz számítással vesszük őket figyelembe,

  • a műszer megfelelő szerkezeti elemeinek igazításával megszüntetjük a hibaforrás okát.

Az elektronikus teodolitok megjelenése és elterjedése előtt a szabályos hibák kiküszöbölésére, kevés speciális mérési feladattól eltekintve, az első és a harmadik megoldást választották. A műszerekben lévő mikroszámítógépek azonban lehetővé teszik a szabályos hibák számítással történő figyelembe vételét, így a mai mérnöki gyakorlatban ezt a módszert részesítjük előnyben. Meg kell jegyeznünk azonban, hogy egyes szabályos hibák kezelésére nem alkalmazható mindhárom módszer, azaz valamelyik csak a műszer igazításával, vagy csak mérési módszerrel küszöbölhető ki. Tisztában kell lennünk azzal is, hogy mi az egyes hibaforrások hatásának a mértéke, így annak birtokában tudunk dönteni arról, hogy milyen mérési módszert válasszunk a kezelésükre, vagy hogy egyáltalán figyelembe kell-e őket venni vagy sem.

A vízszintes szögmérést terhelő szabályos hibaforrások közül elsőként a műszer szerkezeti megoldásából adódó szabályos hibákat, majd a műszer felállításából és a külső körülményekből eredő szabályos hibaforrásokat és hatásukat mutatjuk be. Az egyes hibaforrások és hatásuk elemzése érdekében azok tárgyalásakor feltételezzük, hogy egyszerre csak egy hibaforrás létezik, és annak hatását vizsgáljuk egyedileg. A valóság természetesen nem ez, de ez az út a könnyebben járható: az eredő hibahatást az összetevőire bontjuk, és az egyes komponensekből következtetünk majd azok együttes hatására.

A szabályos hibák igazítással történő megszüntetéséhez fontos megjegyeznünk, hogy az igazításokat lehetőleg bízzuk a műszert forgalmazó cég képviseletének a szervizére. Ennek egyik oka, hogy a felhasználók nem rendelkeznek a megfelelő laboratóriumi háttérrel, és egyes munkák megkövetelik a műszerek rendszeres és hiteles vizsgálatát. Ezért a műszerek hiteles vizsgálatára és azok igazítására csak erre a célra akkreditált laboratóriumok jogosultak. A szabályos hibák ismertetésekor a felhasználó számára a legfontosabb, hogy tudja a hiba létezésének vizsgálati módszereit, ha pedig a szabályos hiba számítással történő figyelembevételére lehetőség van, akkor azt az adott műszer szoftveresen miként oldja meg. Ezen kívül, a hiteles vizsgálat és igazítás garanciális szolgáltatás, így ha a felhasználó nem szakszerűen, saját maga próbálja ezeket elvégezni, akkor a szakszerűtlen végrehajtás mellett a garancia elvesztésével is számolnia kell, amelynek súlyos anyagi következményei is lehetnek.

4.5.1 Műszerhibák

4.5.1.1 A szálferdeség

Szálferdeségről akkor beszélünk, ha a szállemez a diafragma gyűrűben úgy helyezkedik el, hogy az állószál nem merőleges a fekvőtengelyre (Hiba! A hivatkozási forrás nem található.). A szálferdeség, a következő pontban tárgyalandó kollimáció hibával együtt azt eredményezi, hogy az álló iránysík nem merőleges a fekvőtengelyre.

4-51. ábra A szálferdeség igazítás előtt és igazítás után

A szálferdeséget a szállemez igazításával szüntetjük meg, bár hatása számítással is figyelembe vehető, de ez a megoldás a gyakorlatban nem terjedt el. A szálferdeség fennállásáról úgy győződhetünk meg, ha megirányzunk egy távoli vagy pontszerűen jól irányozható objektumot a szálkereszt középpontjával, majd a magassági irányítócsavar forgatásával a távcsövet a fekvőtengely körül addig forgatjuk, amíg a pont képe a látómező alsó vagy felső szélébe kerül. Ha a pont képe az állószálról nem mozdult le, akkor az állószál a fekvőtengelyre merőleges. A szálferdeség annak a következménye, hogy a szállemez a saját síkjában elfordult. Ezért ha a pontokat a szálak metszéspontjával irányozzuk, akkor ez a hibahatás kiküszöbölhető. Ha a szálak metszéspontja helyett az irányzást a fekvőszál felett végezzük, akkor a 4-52. ábra szerinti elrendezés alapján könnyű belátni, hogy a ténylegesnél nagyobb irányértéket mérünk. Ha a távcsövet áthajtjuk a fekvőtengely, majd átforgatjuk az állótengely körül 180˚-kal ismételten megirányozva a pontot, de most a fekvőszál alatt ugyanakkora távolságra, mint az áthajtás és az átforgatás előtt felette, akkor így a ténylegesnél kisebb irányértéket kapunk. A két eltérés azonos nagyságú, de ellentétes előjelű, így az áthajtás előtti és utáni leolvasások középértékét képezve a szálferdeség hatása kiküszöbölhető.

Azt a szögmérési módszert, amikor egy pontot ismételten megirányzunk úgy, hogy előtte a távcsövet a fekvőtengely körül áthajtjuk, majd az állótengely körül átforgatjuk, két távcsőállásban történő mérésnek nevezzük. Röviden fogalmazva tehát a szálferdeség hatása két távcsőállásban végzett méréssel is kiküszöbölhető, ha az irányzást nem a szálak metszéspontjával, hanem a fekvőszálhoz képest szimmetrikusan ugyanakkora távolságban végezzük. Mint látni fogjuk, a két távcsőállásban végzett mérési technológiának további szabályos hibák kiküszöbölésében is fontos szerepe van.

4-52. ábra A szálferdeség kiküszöbölése két távcsőállásban történő méréssel

A szálferdeséget a diafragma gyűrűben lévő igazítócsavarok segítségével lehet megszüntetni (4-53. ábra). Az igazítás végrehajtásához egy igazítótüske tartozik, amelyek az igazítócsavarokba illeszthetők.

4-53. ábra A diafragmagyűrű négy igazítócsavarja: egy felül, egy alul, valamint egy-egy a bal és a jobb oldalon

4.5.1.2 A kollimáció hiba

4-54. ábra A kollimáció hiba szemléltetése

A kollimáció hiba azt jelenti, hogy a geodéziai távcső irányvonala nem merőleges a fekvőtengelyre. A 4-54. ábrán a vízszintes kört felülnézetben látjuk. Kollimáció hiba-mentes esetben az I irányvonal merőleges a h fekvőtengelyre. A P pont irányzását követően az index az iI helyzetben látható, az ehhez tartozó leolvasás LI. Hajtsuk át képzeletben a távcsövet, majd forgassuk át pontosan 180˚-kal. Ekkor az index az iI helyzettel átellenes i’I helyzetbe kerül. A P pont ismételt irányzásához második távcsőállásban az alhidádét az ábra szerinti elrendezésben még 2·Δ szöggel az óramutató járásával egyező értelemben el kell forgatni. Ennek eredményeként az i’I index az iII helyzetet foglalja el, a két távcsőállásban végzett leolvasás így 180˚+2·Δ szögértékkel tér el egymástól. A 4-54. ábrának megfelelően hibátlan leolvasást akkor kapnánk, ha az alhidádét még Δ szöggel az óramutató járásával egyező értelemben elforgatjuk azért, hogy az I kollimáció hiba-mentes irányvonal a P pontba mutasson, azaz:

4.9. egyenlet

A második távcsőállásban viszont az alhidádét az óramutató járásával ellentétesen kell Δ szöggel elforgatni ahhoz, hogy az I hibátlan irányvonal a P pontba mutasson. A hibátlan leolvasás a második távcsőállásban tehát:

4.10. egyenlet

A (4.9. egyenlet) és (4.10. egyenlet) két összefüggésekből könnyű belátni, hogy a két leolvasás összege mentes a kollimáció hibától:

4.11. egyenlet

Ha tehát a méréseket két távcsőállásban végezzük, akkor a két távcsőállásban végzett leolvasások számtani középértéke is mentes lesz a kollimáció hibától, az L irányérték tehát

4.12. egyenlet

Ha a méréseket csak egy távcsőállásban végezzük, akkor ismernünk kell a kollimáció hiba irányértékre gyakorolt hatását, így számítással lehetőségünk van figyelembe venni az értékét. Ennek megértéséhez tekintsük a 4-55. ábrát. Vegyünk fel egy olyan térbeli matematikai koordinátarendszert, ahol az X tengely a fekvőtengely irányával, a Z tengely pedig az állótengely irányával esik egybe. A térbeli irányt jelöljük egységnyi hosszúságú l egységvektorral. Jelölje ε a kollimáció hibát 90˚-os zenitszög mellett, valamint Δ a kollimáció hiba hatását egy tetszőleges ζ zenitszögű térbeli irány esetén. Ha a mért irány zenitszöge 90˚, akkor az benne fekszik az X és Y tengelyek által kifeszített síkban. Legyen ez a vektor l (ε), amelynek koordinátái:

4.13. egyenlet

Mivel ε kis szög, ezért és , így

4.14. egyenlet

4-55. ábra A kollimáció hiba hatása

A térbeli irányt jelölő l(Δ) vektor az l(ε) vektor α szöggel történő és X tengely körüli negatív értelmű forgatásaként állítható elő. Ehhez a következő forgatómátrix tartozik:

4.15. egyenlet

A (4.14. egyenlet) és (4.15. egyenlet) összefüggések alapján:

4.16. egyenlet

A 4-55. ábra alapján:

4.17. egyenlet

Alkalmazva (4.16. egyenlet)-ot és (4.17. egyenlet)-et:

4.18. egyenlet

Mivel Δ kis szögérték, ezért , így viszont (4.18. egyenlet) mindkét oldalát ρ’’-cel szorozva, az ε kollimáció hiba Δ hatása adott zenitszög esetén:

4.19. egyenlet

A (4.19. egyenlet) összefüggés alapján elmondható, hogy adott ε kollimáció hiba hatása 90˚-tól eltérő zenitszög esetén mindig növekszik, de hatása 90˚-nál a legkisebb, mivel .

4.5.1.3 A fekvőtengely merőlegességi hibája

A fekvőtengely merőlegességi hibája alatt azt értjük, ha a fekvőtengely nem merőleges az állótengelyre. A fekvőtengely merőlegességi hibájának hatását szemlélteti a 4-56. ábra, amelyet szintén egy olyan térbeli matematikai koordinátarendszerben vizsgálunk, ahol az X tengely a fekvőtengellyel, a Z tengely pedig az állótengellyel esik egybe.

4-56. ábra A fekvőtengely merőlegességi hibájának hatása

Ha a fekvőtengely merőlegességi hibája nem áll fenn, akkor a ζ zenitszögű térbeli irány az Y és Z tengelyek által kifeszített síkban helyezkedne el és egységvektorának koordinátái:

4.20. egyenlet

Az ε nagyságú fekvőtengely merőlegességi hibája felfogható a koordinátarendszer Y tengely körüli ε szöggel történő forgatásának. Ehhez (1.27.) alapján a következő forgatómátrixot rendelhetjük:

4.21. egyenlet

A (4.20. egyenlet) és (4.21. egyenlet) alattiakat alkalmazva:

4.22. egyenlet

Hasonlóan (4.17. egyenlet)-hez, írhatjuk, hogy:

4.23. egyenlet

Mivel kis szögértékekről van szó, ezért végeredményben:

4.24. egyenlet

A (4.24. egyenlet)-es összefüggésben a negatív előjel a (4.21. egyenlet) által adott forgatás forgatási értelméből következik, és azt mutatja, hogy a mért irányértéket ennek az értelmezésnek megfelelően csökkenteni kell ahhoz, hogy a fekvőtengely merőlegességi hibájától mentes értéket kapjuk. Egyes szakirodalomban a negatív előjel feltüntetésétől el szoktak tekinteni. Ha a mérést két távcsőállásban végezzük, akkor a második távcsőállásban a fekvőtengely dőlése ellentétes előjelű lesz, így adott zenitszög mellett a hibahatás is ellentétes előjelű lesz (4.24. egyenlet)-hez képest. Két távcsőállásban végzett méréssel tehát a fekvőtengely merőlegességi hibája kiküszöbölhető.

A (4.24. egyenlet)-et elemezve látható, hogy a fekvőtengely merőlegességi hibájának a hatása 90˚-os zenitszög esetén nulla, más esetben pedig a zenitszög kotangensével arányosan növekszik, éppen ezért veszélyes hibaforrás lehet, ha a méréseket csak egy távcsőállásban végezzük, de nem ismerjük a merőlegességi hiba nagyságát, vagy nem megfelelő pontossággal. A fekvőtengely merőlegességi hibájának az igazítását ma kizárólag laboratóriumokban végzik.

4.5.1.3.1 Az irányvonal külpontossági hibája

Az irányvonal külpontossági hibája azt jelenti, hogy az irányvonal nem metszi az állótengelyt. Gyakran ezt a hibát a távcső külpontossági hibájának is szokás nevezni. A 4-57. ábra felülnézetben mutatja a külpontossági hiba esetét, ha az irányvonal az e külpontosság következtében nem metszi a V állótengelyt, így a VP külpontossági hibától mentes irány helyett az első távcsőállásban az EIP, a második távcsőállásban az EIIP irányt mérjük. Ennek megfelelően az első távcsőállásban εI szögértékkel nagyobbat, a másodikban pedig εII értékkel kisebb szöget mérünk. A hiba hatása azonos nagyságú, de ellentétes előjelű, így két távcsőállásban végzett méréssel ez a hibahatás kiküszöbölhető.

4-57. ábra Az irányvonal külpontossági hibája

A külpontosság következtében az EIP és az EIIP irányok az e külpontosságnak megfelelő sugarú kör érintői, így ha ismerjük az irányzott pont t távolságát, akkor tekintettel arra, hogy a külpontosság mértéke és az ε szög kicsi, ezért:

4.25. egyenlet

Az irányvonal külpontosságának a hatása tehát az irányhossznak is a függvénye, így egy távcsőállásban végzett méréssel ismeretlen t távolság esetén ez a hibahatás nem küszöbölhető ki. A külpontosság és a távolság ismeretében viszont (4.25. egyenlet) alapján számítással figyelembe vehető.

A 4-1. táblázatban e=0.1 mm-es külpontosság és 100, 500 valamint 1000 m-es irányhosszak esetén tüntettük fel a külpontossági hiba hatását. A táblázatban szereplő értékekből jól látható, hogy a mérnöki gyakorlat 1’’-5’’ pontossági igényeinek megfelelően a hibahatás nem számottevő, így az irányvonal külpontossági hibájától egy távcsőállásban végzett méréskor is el szoktunk tekinteni.

4-1. táblázat -

t (m)

ĺ

100

0.21’’

500

0.04’’

1000

0.02’’


4.5.1.4 A vízszintes kör külpontossági hibája

A vízszintes kör külpontossági hibája azt jelenti, hogy az állótengely nem esik egybe a vízszintes kör középpontjával (4-58. ábra). A hiba hatása kiküszöbölhető, ha nem egy, hanem két, egymástól 180˚-ra elhelyezkedő indexet alkalmaznak. A külpontosság következtében ugyanis az i1 index a vízszintes körhöz viszonyítva az i’1 helyzetbe kerül, így a 4-58. ábrának megfelelően az L’1 leolvasásból a külpontosság következtében fellépő Δ hibahatást le kell vonni, a helyes szögérték tehát:

4.26. egyenlet

4-58. ábra A vízszintes kör külpontossági hibájának hatása

Az átellenes indexen azonban Δ-val kisebb szögértéket olvasunk le, így ott a leolvasáshoz a Δ szöget hozzá kell adni:

4.27. egyenlet

A két indexen tett leolvasások összege, így számtani középértékük is, a limbuszkör külpontossági hibájának a hatását már nem tartalmazza. A körleolvasások éppen ezért nem egy, hanem két átellenes, úgynevezett diametrális indexdiódán történik (4-59. ábra). A limbuszkör külpontossága számottevő hibaforrás, mert például egy R=40 mm sugarú vízszintes kör esetén mm külpontosságot feltételezve a hibahatás értéke:

4.28. egyenlet

4-59. ábra Diametrálisan elhelyezett érzékelők

4.5.1.5 A vízszintes kör merőlegességi hibája

A vízszintes kör merőlegességi hibája azt jelenti, hogy a vízszintes kör síkja nem merőleges az állótengelyre (4-60. ábra). A 4-60. ábran az OM pontok által meghatározott egyenes mutatja az elméleti és a merőlegességi hiba következtében keletkező körök metszésvonalát. Az ε merőlegességi hiba Δ hatása függ az indexnek az OM metszésvonallal bezárt szögétől. Ezért az i index úgy tekinthető, mintha az a merőlegességi hiba következtében az i’ pontba kerülne. A hibahatás nagyságának vizsgálatához vegyünk fel egy térbeli koordinátarendszert úgy, hogy az Y tengely essen egybe az OM metszésvonallal, a Z tengely pedig az állótengellyel. Jelöljük L betűvel az index metszésvonallal bezárt szögét. A választott koordinátarendszerben az i indexnek, mint helyvektornak a koordinátái:

4-60. ábra A vízszintes kör merőlegességi hibájának hatása

4.29. egyenlet

A merőlegességi hibát úgy tekintjük, mintha a vízszintes kört az Y tengely körül ε szöggel elforgatnánk. Ezek alapján a következő forgatómátrixot írhatjuk:

4.30. egyenlet

Az i vektor transzformált koordinátái pedig

4.31. egyenlet

A Δ hibahatást az i’ és i vektorok vektoriális szorzatából kapjuk. Mivel a hibahatás szempontjából csak az XY síkban bezárt szög értéke az érdekes a számunkra, ezért (4.31. egyenlet)-ban a harmadik komponenst nullának tekintjük, így írhatjuk, hogy:

4.32. egyenlet

Mivel a Δ szög kicsi, ezért (4.32. egyenlet)-ből a hibahatás másodpercben kifejezve:

4.33. egyenlet

Vizsgáljuk meg most a hibahatás szélsőértékeit adott merőlegességi hiba mellett. Könnyű belátni, hogy (4.33. egyenlet) nullával egyenlő, ha L = 0˚, 90˚, 180˚, 270˚, valamint maximális, ha L a 45˚,135˚,225˚,315˚ értékeket veszi fel. A 6.2. táblázatban három különböző merőlegességi hibához tartozó és a (4.33. egyenlet) alapján számított maximális hibahatások vannak feltüntetve. Látható, a hibahatás értéke még 10’ merőlegességi hiba esetén sem éri el a 0.5 szögmásodpercet. A műszer szerkesztésekor a vízszintes kör és az állótengely merőlegességét a megfelelő pontossággal biztosítják, így a vízszintes kör merőlegességi hibájának a hatását figyelmen kívül hagyhatjuk.

4-2. táblázat -

ĺ’’

Ä(L=45˚)

5’

-0.11’’

10’

-0.44’’

20’

-1.75’’

30’

-3.93’’


4.5.1.6 A vízszintes kör osztáshibái

A vízszintes kör osztáshibái alatt a névleges és a tényleges osztás szögtartománya közötti eltérést értjük. Az indexdióda szerkezeti felépítéséből adódóan a kódok leolvasása és összehasonlítása abszolút módszer esetén több, például a Leica műszereknél 60 helyen, a diametrális elhelyezés miatt így összesen 120 helyen történik (ld. 4-37. ábra). A nagyszámú kódkiolvasás következtében az esetleges osztáshibák hatásának az összege az indexdióda egy adott helyzetében gyakorlatilag nullának tekinthető. Ha a csonkaleolvasás fázisinterpolációval történik, akkor az osztáshiba az interpoláció elvéből adódóan nincsen hatással a csonkaleolvasás értékére.

4.5.2 A műszer felállításából származó hibák

4.5.2.1 A pontraállás hibája

A pontraállás hibáját, az észlelőtől függő személyi hibáktól eltekintve, az optikai vetítő és a lézervetítő pontossága és igazítottsága együttesen határozza meg. Igazított optikai vetítő esetén a pontraállás 0.5-1 mm, lézervetítő alkalmazása esetén 1-3 mm pontossággal végezhető el. Optikai vetítő esetén az igazítási hiba azt jelenti, hogy a szálkereszt vagy a szálkör középpontjának tükörképe és az objektív optikai középpontja nem esik az állótengelyre. Az utóbbi hatása műszerszerkesztési szempontok következtében elhanyagolható.

Ha a szálkereszt S’ tükörképe nem esik az állótengelyre, akkor az optikai vetítő irányvonala a körbeforgatása során egy hengerpalástot, vagy kúppalástot, esetleg egy hiperboloid felületet ír le, amely felületeknek az állótengelyre merőleges síkmetszetei körök lesznek (4-61. ábra).

4-61. ábra Az optikai vetítő igazítási hibája

Az állótengely függőlegessé tétele után mindig ellenőrizzük az optikai vetítő igazítottságát úgy, hogy az alhidádét 180˚-kal átforgatjuk és ellenőrizzük, hogy a szálkereszt vagy a szálkör középpontja a ponton maradt vagy sem. Ha nem, akkor az optikai vetítő igazítatlan. Az optikai vetítő igazítására a 4.7.5 fejezetben még visszatérünk, de elöljáróban megemlítjük, hogy a pontraállás közel igazított optikai vetítővel is elvégezhető a következőképpen. Először elvégezzük a pontraállást a 4.4.12 fejezetben leírtaknak megfelelően igazított optikai vetítőt feltételezve. Ezt követően az alhidádét 180˚-kal átforgatjuk és megállapítjuk a szálkereszt középpontja és a pont közötti távolságot, majd a műszert az optikai vetítőbe nézve az állványfejezeten óvatosan elcsúsztatjuk úgy, hogy a szálkereszt középpontja az eltérés felezőpontjába kerüljön. Rögzítjük a műszert az állványfejezethez, majd az optikai vetítőbe nézve az alhidádét lassan körbeforgatjuk. Helyes végrehajtás esetén a szálkereszt középpontja kört ír le az álláspont központja körül.

A pontraállás hibájának körleolvasásra gyakorolt hatása függ a pontraállás hibájának nagyságától, azaz a külpontosságtól, valamint a külpontosság irányától, vagy más néven a külpontosság szögétől. A 4-62. ábran a pontraállás hibája következtében a V állótengely nem az A központban helyezkedik el. Az e pontraállás hibájának hatása a 4-62. ábra alapján a következőképpen számítható:

4.34. egyenlet

Tekintettel arra, hogy a pontraállás hibája igazítatlan vetítő esetén legfeljebb néhány mm, ezért az ω külpontosság szögének meghatározása gyakorlatilag kivitelezhetetlen. Éppen ezért ez hibahatás a vetítő igazításával vagy a fentebb leírt pontraállás végrehajtásával küszöbölhető ki.

4-62. ábra A pontraállás hibája és hatása

4.5.2.2 Az állótengely ferdeségi hibája

Az állótengelyt sem csöves, sem elektronikus libellával nem lehet tökéletesen függőlegessé tenni, így az állótengely függőlegessel bezárt szögével, az állótengely ferdeségi hibájával mindig számolnunk kell. A hiba hatásának a vizsgálatához vegyünk fel egy olyan térbeli derékszögű koordinátarendszert, ahol a Z tengely egybeesik a helyi függőlegessel, az YZ sík pedig a vízszintes kör képzeletbeli nulla osztásához tartozó helyi függőleges síkkal (4-63. ábra). A ferde állótengelyt V-vel, dőlésszögét α-val jelöltük, valamint a dőlés síkjához tartozó irányértéket Lα-val. Legyen l egy tetszőleges ζ zenitszögű térbeli irány helyvektorának egységvektora. Az állótengely dőlése felfogható két egymást követő forgatás eredőjeként előálló helyzetnek, ahol a forgatást először a Z tengely körül végezzük az óramutató járásával egyező értelemben Lα , majd pedig az X tengely körül szintén az óramutató járásával egyező értelemben α szöggel. Mivel a koordinátarendszer forgatása és a vektor forgatása egyenértékű művelet, ezért a koordinátarendszer forgatására vonatkozóak igazak a vektor forgatására is, így a fentebb leírt műveletek eredményeként az l vektor forgatásaként az l(α) vektort kapjuk. Így az állótengely dőlésének a hatása az l és l(α) vektorok vízszintes vetületei által bezárt szög értékében mutatkozik meg, amely a 4-63. ábran az a’-a szögek különbségét jelenti. Az l vektor koordinátái a Z tengely körüli lα szöggel elforgatott koordináta rendszerben:

4.35. egyenlet

4-63. ábra Az állótengely ferdeségének a hatása

A dőlés következtében az l vektort elforgatjuk a dőlés síkjára merőleges tengelykörül α szöggel. Ez egy X tengely körüli forgatásnak felel meg, amelynek forgató mátrixa (1.64.) alapján:

4.36. egyenlet

Az elforgatott vektor koordinátái:

4.37. egyenlet

Mivel alfa kis szögérték, ezért:

4.38. egyenlet

Az alfa’ szög tangense tehát:

4.39. egyenlet

Írjuk fel az a’ és az a szögek különbségét addíciós tétel alkalmazásával tangens szögfüggvényt alkalmazva:

4.40. egyenlet

Elvégezve a kijelölt műveleteket, (4.39. egyenlet) tovább írható a következőképpen:

4.41. egyenlet

Tekintettel arra, hogy a dőlés szögértéke kicsi, ezért (4.41. egyenlet) nevezőjének második tagja közelítőleg nullának tekinthető. Ezért összeségében írhatjuk, hogy

4.42. egyenlet

Ha összevetjük a (4.42. egyenlet)-es összefüggést a (4.24. egyenlet) által adott fekvőtengely merőlegességi hibájával, akkor láthatjuk, hogy az állótengely ferdeségi hibája egy változó nagyságú fekvőtengely merőlegességi hibának felel meg, az arányossági tényező sin a, azaz a mért irány függőleges síkjának és a dőlés síkja által bezárt szög szinusza. Abban az esetben, ha a zenitszög 90˚, akkor az állótengely ferdeségi hibájának a hatása (4.42. egyenlet) alapján nulla. Szintén nulla a hibahatás, ha a mért irány a dőlés síkjában fekszik, mert akkor a=0, és így sin a = 0. Adott ζ zenitszög mellett a hibahatás akkor maximális, ha a mért irány álló iránysíkja merőleges a dőlés síkjára, azaz ha vagy és így sin a = 1 vagy – 1.

Az állótengely ferdeségi hibája mérési módszerrel nem küszöbölhető ki, mert a (4.42. egyenlet)-tel adott korrekció az α szöget mindig tartalmazza, akár első, akár második távcsőállásban mérünk. Az állótengely ferdeségi hibáját tehát csakis az állótengely gondos függőlegessé tételével küszöbölhetjük ki.

Az elektronikus teodolitok és a mérőállomások kompenzátorai miután meghatározták a dőlés nagyságát és irányát, a vízszintes körleolvasást (4.42. egyenlet) alapján javítással látják el, így tulajdonképpen a hibahatás valós időben történő számítással figyelembe vehető. A műszer kijelzőjén tehát már az állótengely ferdeségi hibájától mentes szögérték látható.

4.5.3 Külső körülményekből adódó hibák

4.5.3.1 A műszerállvány elcsavarodásából származó hiba

A műszerállványok anyaga fa vagy fém, amelyek elsősorban az egyenlőtlen felmelegedés hatására kis mértékben elcsavarodhatnak. Ez bekövetkezhet hirtelen időjárás változás következményeként is, ha például erősebb szél éri a műszerállványt. Tapasztalatok szerint az állványelcsavarodás többé-kevésbé egyenletesnek tekinthető rövid idő alatt.

Ha az elcsavarodást egyenletesnek tételezzük fel, akkor a mért irányértékek az idő haladtával kisebbek és kisebbek lesznek, ha az állványelcsavarodás az óramutató járásával egyező értelemben történik, ellentétes értelmű elcsavarodás esetén pedig nagyobbak (4-64. ábra). Nézzük meg, hogy ennek a hibahatásnak az értékét hogyan lehet csökkenteni, esetleg kiküszöbölni.

4-64. ábra Az állványelcsavarodás hatása

Tételezzük fel, hogy a 4-64. ábrának megfelelően egy állásponton négy irányt mérünk, legyenek ezek 1, 2, 3, és 4 számokkal jelölve. Tételezzük fel ezenkívül azt is, hogy két egymást követő irány mérése között pontosan azonos idő telik el, amely alatt az állvány Δ szöggel elcsavarodik. Ezenkívül az irányokat az óramutató járásával egyező sorrendben mérjük az első távcsőállásban 1-2-3-4 sorrendnek megfelelően. Azért, hogy az állványelcsavarodásról meggyőződjünk, az első pontot az első távcsőállás végén ismételten megmérjük. A hibátlan irányértékek, valamint a mért irányértékek és a Δ elcsavarodás között első távcsőállásban az alábbi összefüggések írhatók fel:

4.43. egyenlet

A (4.43. egyenlet) utolsó egyenletében H indexszel különböztettük meg az első irány ismételt mérését. Hajtsuk át a távcsövet és ismételjük meg a pontok mérését, kezdve megint az 1-es számú ponttal, majd a többit is megirányozva, de az óramutató járásával ellentétesen. Ekkor a második távcsőállás mérési eredményei az irányzás sorrendjének megfelelően a következők:

4.44. egyenlet

Képezzük most minden irányra a két távcsőállásban végzett leolvasások középértékét:

4.45. egyenlet

Látható, hogy a középértékek tartalmazzák az állványelcsavarodás hatását, de képezve bármely két irány különbségét, ez a hatás kiesik, azaz az irányok egymáshoz viszonyított helyzete mentes a hiba hatásától. Az állványelcsavarodásból származó hibát tehát két távcsőállásban végzett méréssel kiküszöbölhetjük, ha az első távcsőállásban a pontokat az óramutató járásával egyező értelemben, a másodikban pedig azzal ellentétes sorrendben irányozzuk. Az irányok két távcsőállásban történő mérését fordulónak nevezzük. A fordulóban történő mérés másik jellemzője, hogy a kezdőirányt az adott távcsőállásban ismételten megmérjük. Ezt nevezzük horizontzárásnak. A horizontzárás eredményeként kapott értéket általában az állványelcsavarodás vizsgálatára használjuk, a további feldolgozásban a horizontzárás eredménye nem vesz részt. A (4.43. egyenlet)...(4.45. egyenlet) összefüggések alapján szintén igazolható, ha horizontzárást nem végzünk, akkor is mentes lesz az irányok relatív helyzete az állványelcsavarodás hatásától, mert Δ értéke független a horizontzárás mérési eredményétől.

Ha az irányokat fordulóban mérjük, akkor a feltételezésnek megfelelően, törekedjünk a mérések egyenletes és megfelelő sebességű végrehajtására. Mivel az elcsavarodás mértéke csak feltételezett és csak jó közelítéssel igaz, ezért az állványelcsavarodás szabatos értelemben nem küszöbölhető ki teljesen, de hatása a fentebb leírtaknak megfelelően csökkenthető. A műszerállvány egyoldalú felmelegedése ellen úgy védekezhetünk, ha a műszert műszerernyővel védjük.

Az egy fordulóban végzett mérés esetén a horizontzárás eredménye nem mutatja egyértelműen az elcsavarodás fennállását vagy annak időbeli alakulását. Ezért figyelni kell a két távcsőállásban kapott leolvasások különbségének az alakulását is. A 4-3. táblázatban négy irány egy fordulóban történő mérési eredményei láthatók. Feltételezzük természetesen itt is, hogy további hibahatások a mérés során nem léptek fel.

4-3. táblázat -

I. távcsőállás

II. távcsőállás

II.-I.

1

14˚ 16’ 30’’

184˚ 16’ 21’’

-9’’

2

75˚ 42’ 19’’

255˚ 42’ 12’’

-7’’

3

163˚ 18’ 13’’

343˚ 18’ 08’’

-5’’

4

254˚ 06’ 07’’

74˚ 06’ 04’’

-3’’

1

14˚ 16’ 26’’

14˚ 16’ 25’’

-1’’


A táblázat utolsó oszlopa tartalmazza a két távcsőállás mérési eredményeinek a különbségét. Látható, a mérés előrehaladtával a különbségek egyre nagyobbak, amely egyértelműen az állványelcsavarodásra utal. Természetesen ez a valóságban nem jelentkezik ilyen jellegzetesen, de a példával akartuk szemléltetni, hogyan kell vizsgálni az állványelcsavarodás időbeli alakulását.

A gyakorlatban ma legtöbbször egy távcsőállásban mérünk, így elcsavarodást kimutatni csak akkor van lehetőségünk, ha horizontzárást is végzünk, és esetleg számítással vesszük figyelembe a mért irányokhoz tartozó javításokat. Ha egy állásponton részletmérést is végzünk egyidejűleg, akkor előfordulhat, hogy az állásponton hosszabb időt töltünk. Ilyenkor lehetőség szerint 30 percenként mérjünk ismételten távoli, jól irányozható azonos pontokat.

4.5.3.2 A légköri sugártörés hatása – az oldalrefrakció

A fizikából jól ismert, hogy a fény csak homogén közegben végez egyenes vonalú terjedést. A légkör azonban nem homogén, eltérő összetételű a vízpára és a porszemcsék következtében, valamint különbözik a részecskék mozgásállapota is. A légkört alkotó részecskék optikailag apró prizmák halmazának tekinthető, amely a fényt megtöri. Ezt a jelenséget nevezzük refrakciónak. A refrakció következtében a tárgypontokat a refrakciógörbe érintője mentén látjuk, azaz az irányvonal tulajdonképpen megegyezik a refrakciógörbe álláspontbeli érintőjével. A refrakciógörbe egy térgörbe, amelynek vízszintes vetülete a vízszintes, függőleges síkvetülete pedig a magassági szögmérésre van hatással. Az előbbit oldalrefrakciónak, az utóbbit magassági refrakciónak nevezzük. A 4-65. ábra az oldalrefrakciót szemlélteti. A refrakciógörbe érintője és a húrja által bezárt szöget refrakciós szögnek (δ) nevezzük.

4-65. ábra Az oldalrefrakció

A gázok egyesített gáztörvénye alapján a p nyomás, a T hőmérséklet és a ρ sűrűség között a

4.46. egyenlet

összefüggés áll fenn. Ez azt jelenti, hogy a melegebb légrétegek sűrűsége kisebb, a hidegebbeké nagyobb. A refrakciós szöget a légrétegek hőmérséklete, légnyomása és páratartalma határozza meg elsősorban, valamint oldalrefrakció esetén ezek vízszintes értelmű változása, amelyek általában nagyságrendekkel kisebbek, mint a függőleges értelmű változásuk.

Az oldalrefrakció elsősorban a klasszikus háromszögelésen alapuló hálózatok mérésekor játszott szerepet, ahol a mért irányok hossza néhány kilométertől 20-30 kilométerig is terjedt. Az oldalrefrakciót elsősorban a hőmérséklet vízszintes értelmű változása befolyásolja. A vízszintes szögmérésre a hőmérséklet oldalirányú változása akkor van hatással, ha az irányvonal erősen változó hőmérsékletű felület felett halad. Ilyen fordul elő szélesebb vízfelületeken való átméréskor. Nappal ugyanis a vízfelület felett a hőmérséklet alacsonyabb, így a vízfelület közeli rétegek kisebb áramlásoktól eltekintve, sűrűbbek. Ilyen esetekben, ha lehetőség van rá, a pontokat úgy válasszuk meg, hogy a vízfelület felett az irányvonal a lehető legrövidebb legyen (4-66. ábra). Belterületen elsősorban a felmelegedett épületek okozhatnak jelentősebb oldalrefrakciót. Ilyenkor kerüljük az olyan eseteket, amikor az irányvonal az épületek falához közel haladna, a pontokat a falsíkoktól távolabb állandósítsuk akkor, ha a méréseket alappont-meghatározás céljából végezzük. Tekintettel arra, hogy a refrakció elsősorban a magassági szögmérésnél jelentős, ezért ennek tárgyalására még visszatérünk.

4-66. ábra Mérési elrendezés az oldalrefrakció hatásának csökkentése érdekében: mérés szélesebb vízfelület felett (bal), valamint belterületen az épületek falsíkjaitól távolabb (jobb)

4.5.3.3 A jel megvilágítottságának és alakjának a hatása

Az irányzás pontosságát alapvetően meghatározza az alkalmazott jeleknél fellépő fényviszonyok, valamint a jelek alakja. A fényviszonyokat a Nap állása, a fényerősség és a különböző árnyékhatások határozzák meg. Ha az irányvonal közelítőleg a Nap irányába esik, akkor az objektívet érő napsugarak a pont képének a kontrasztját jelentősen megváltoztatják, bizonytalanabbá téve az irányzást. Ez ellen a távcsőre az objektív felőli oldalra könnyen felhelyezhető napellenzőt használjunk. Zavaró, ha az irányzott jel nem emelkedik ki a hátteréből. Ilyen helyzet fordul elő, ha például a jel hátterében erdő található és a Nap is közel ebben az irányban helyezkedik el. Ilyenkor a hátteret gyakorlatilag szürkének látjuk, és függetlenül a jel színétől, nem érzékeljük a szükséges kontraszt különbségeket.

Prizmákra történő irányzás 150-200 méter feletti távolságok esetén bizonytalan. Rövid irányok mérésekor is zavaró, ha a jelre árnyék vetődik. Ilyen esettel belterületen mindig számolnunk kell, ahol az épületek és a fák kiterjedt és időben gyorsan változó fényerősségű árnyékot vetnek. Prizma esetén mindig használjunk prizmára erősíthető jeltáblát.

A jelek alakja akkor megfelelő, ha azok szimmetrikusak. A geodéziában különböző ék alakú jeleket alkalmaznak (4-67. ábra). Az ék alakú jelek kialakítása olyan, hogy azok mind a vízszintes, mind a magassági értelmű irányzás helyét egyértelműen jelölik. Egyes jeltárcsák mögé izzót lehet elhelyezni, így azok hátulról megvilágíthatók.

Döntő tényező a jelek színe. A jelek általában piros-fehér, fekete-fehér, piros-sárga vagy fekete-sárga összeállításúak. Legcélszerűbb fluoreszkáló jeleket alkalmazni, mert ezek a környezetüktől jól eltérnek és könnyű őket észrevenni, illetve pontosan irányozni.

Magaspontok irányzásakor szintén döntő szempont a jel kiterjedése és környezetétől való megkülönböztethetősége. Tornyok esetén kedvezően lehet irányozni világos színűre festett toronysisakkal rendelkezőket. Mivel a Nap állása mindig jelentősen befolyásolja az irányzás pontosságát, ezért nagy pontosságú mérések időbeli tervezésénél mindig vegyük figyelembe a fentebb leírt szempontokat.

4-67. ábra Különböző típusú jeltáblák önállóan és prizmára erősítve