Ugrás a tartalomhoz

Fotogrammetria 13., Légiháromszögelés

Dr. Jancsó Tamás (2010)

Nyugat-magyarországi Egyetem

13.3 Légiháromszögelési módszerek

13.3 Légiháromszögelési módszerek

A légiháromszögelési módszerek sokkal változatosabb képet mutatnak, mint ahogyan mi itt tárgyaljuk. A lehetséges módszerek közül azt a kettőt választottuk ki, melyek a gyakorlatban leginkább elterjedtek.

13.3.1 Független modelleken alapuló tömbkiegyenlítés

A módszer lényege, hogy az összetartozó képpárokból relatív tájékozással egymástól független modelleket alkotunk, és ezeket a független modelleket egy közös kiegyenlítési folyamatban transzformáljuk át a geodéziai koordinátarendszerbe. A mérés során a pontok modell koordinátáit rögzítjük, és ezek alapján hajtjuk végre a hasonlósági transzformációt a modell- és a geodéziai koordinátarendszer között. A feladat kétféleképpen is végrehajtható, attól függően, hogy csak a sík, X,Y koordinátákkal dolgozunk vagy mind a három térbeli koordinátát (X,Y,Z) felhasználjuk. Ennek megfelelően a tömbkiegyenlítés matematikai alapja a sík-, ill. a térbeli Helmert transzformáció lesz. A 13-5. ábra a vízszintes tömbkiegyenlítés elvét mutatja (Kraus K. 1998). Az ábrán látható, hogy az illesztőpontok mellett (1-4. sz. pontok), a modelleket összekötő kapcsolópontokra is szükség van (5-9. sz. pontok).

13-5. ábra Vízszintes tömbkiegyenlítés független modellekkel

A vízszintes tömbkiegyenlítésnél a kiinduló egyenlet a sík Helmert transzformációs alapképlete:

13-1. egyenlet Sík Helmert transzformáció alapképlete

Jelölések:

: geodéziai koordináták, kapcsolópontok esetén ezek meghatározandók

: modell koordináták

: transzformációs állandók

A fölös mérések miatt a paraméterek kiszámítása a legkisebb négyzetek módszere szerint, kiegyenlítéssel történik. Egy oldalra rendezve a 13-1. egyenlet, és bevezetve a javításokat, minden mért pontra a következő javítási egyenletpár írható fel:

13-2. egyenlet Helmert transzformáció javítási egyenletei

A 13-2. egyenletekben az koordináták illesztőpontok esetében a tisztatag vektorba kerülnek, kapcsolópontok esetén a tisztatagok 0-val egyenlők.

A létrejövő egyenletrendszer az ismeretlenekre nézve lineáris és közvetlenül megoldható (13-3. egyenlet).

13-3. egyenlet Sík tömbkiegyenlítés javítási egyenletrendszere mátrix alakban

Jelölések:

: illesztőpontokhoz tartozó együttható mátrix. Ebbe a mátrixba kerülnek a modellek transzformációs paramétereihez () tartozó együtthatók illesztőpontok esetén. Ezen együtthatók (13-2. egyenlet alapján) értékei koordináták esetén - sorrendben - a következők lesznek: koordináták esetén az együtthatók - sorrendben - a következők lesznek:. A felsorolt értékeket modellenként haladva töltjük fel az együttható mátrixba.

: kapcsolópontokhoz tartozó együttható mátrix. Ebbe a mátrixba kerülnek a modellek transzformációs paramétereihez () tartozó együtthatók kapcsolópontok esetén. Ezen együtthatók (13-2. egyenlet alapján) értékei koordináták esetén - sorrendben - a következők lesznek: koordináták esetén az együtthatók - sorrendben - a következők lesznek:. A felsorolt értékeket modellenként haladva töltjük fel az együttható mátrixba.

: a modellek transzformációs paramétereit () tartalmazó oszlopvektor, melynek hossza , ahol a modellek száma.

: a kapcsolópontok ismeretlen geodéziai koordinátáit () tartalmazó oszlopvektor, melynek hossza , ahol a kapcsolópontok száma.

: tisztatag vektor. Illesztőpontok esetén értéket írjuk ide, kapcsolópontok esetén a tisztatag értékét 0-nak vesszük. Az oszlopvektor hossza , ahol a kapcsoló- és illesztőpontok előfordulásainak száma az összes modellen együttvéve.

: javítások oszlopvektora, melynek hossza , ahol a kapcsoló- és illesztőpontok előfordulásainak száma az összes modellen együttvéve.

A megoldáshoz a 13-3. javítási egyenletrendszert át kell alakítani normál egyenletrendszerré:

13-4. egyenlet Sík tömbkiegyenlítés normál egyenletrendszere

Jelölések:

Figyelembe véve, hogy a 13-4. egyenletben , kiküszöböléssel és meghatározható (13-5. és 13-6. egyenlet):

13-5. egyenlet Modellekhez tartozó transzformációs állandók kiszámítása

13-5. egyenlet Kapcsolópontok geodéziai koordinátáinak kiszámítása

Ezután számítható a súgyegység középhiba (13-7. egyenlet) és ennek, valamint a mátrix átlós elemeinek felhasználásával az ismeretlenekhez tartozó középhibák is számíthatók (13-9. egyenlet).

13-7. egyenlet Súgyegység középhiba sík Helmert transzformációnál 4 közös pont esetén

Jelölések:

: a kapcsoló- és illesztőpontok előfordulásainak száma az összes modellen együttvéve.

: a modellek száma.

: a kapcsolópontok száma.

13-8. egyenlet Helmert transzformáció paramétereinek középhibái kiegyenlítés után

A térbeli tömbkiegyenlítés a 10-4.2 alfejezetben leírt térbeli hasonlósági transzformáció számítási folyamatával kapcsolt kiegyenlítéssel végezhető el kiterjesztve a feladatot minden modellre és minden kapcsolópontra, vagyis a modellekhez tartozó javítási egyenleteket egy közös egyenletrendszerbe szervezzük. A kiinduló egyenletünk a következő alakban adható meg:

13-9. egyenlet A 7 paraméteres térbeli hasonlósági transzformáció alapképlete

Jelölések:

: a terepi pont geodéziai koordinátái.

: méretarány tényező.

: forgatási mátrix, melyet a forgatási szögekből képzett irány koszinuszok alkotnak.

: a modell eltolási paraméterei a geodéziai koordinátarendszerhez képest.

: a terepi pont modell koordinátái.

Annak érdekében, hogy a kiegyenlítés pontosságát és geometriai megbízhatóságát magassági értelemben növeljük, a vetítési centrumokat, mint kapcsolópontokat is bevonjuk a kiegyenlítésbe. A vetítési centrumok modell koordinátái a relatív tájékozás eredményéből képezhetők. Ezzel csak a sorok mentén tudjuk a stabilitást növelni, a sorokra merőleges irányban a magassági megbízhatóság növeléséhez újabb magassági illesztőpontokat kell bevonni (Kraus K. 1998).

13-6. ábra Térbeli tömbkiegyenlítés elve

13.3.2 Sugárnyalábi kiegyenlítés

A légiháromszögelés feladata a centrális vetítés alapegyenlete alapján is megoldható. A kollineár egyenletek segítségével a képkoordináták alapján számíthatók a képek külső tájékozási elemei, vagyis a képek abszolút helyzetét megadó vetítéséi középpontok koordinátái () és a képek háromirányú elfordulását megadó forgatási szögek (). Ugyanakkor az egyenletek segítségével a kapcsoló- és egyéb új pontok koordinátái is kiszámolhatók, ha azokat is ismeretleneknek tekintjük (13-10. egyenlet).

13-10. egyenlet Kollineár egyenletek

Jelölések:

: a képfőpontra redukált képkoordináták.

: terepi koordináták.

: vetítési centrum koordinátái.

: irány koszinusz, ahol

: kamera állandó, ismertnek vesszük.

A 10.5 alfejezetben leírt külső tájékozás feladatát egészítsük ki a kapcsoló- és egyéb új pontok koordinátáinak meghatározásával. Első lépésként meg kell határoznunk az ismeretlenek közelítő értékeit. Ezek a külső tájékozási elemekre nézve:, a kapcsoló és egyéb új pont geodéziai koordinátáira nézve pedig a értékeket kell ismernünk. A közelítő értékeket és az illesztőpontok geodéziai koordinátáit () behelyettesítve 13-10. egyenletbe, megkapjuk a számított képkoordinátákat (), ezeket kivonva a mért képkoordinátákból () megkapjuk a javítási egyenletek tiszta tagjait. A javítási egyenletrendszer együttható mátrixa tartalmazza a parciális deriváltakat minden mért képpontra vonatkozóan. Bármely j-edik kép, bármely i-edik pontjára vonatkozóan a kiegyenlítés alapjául szolgáló javítási egyenletek a következők lesznek (Kraus K. 1998):

13-11. egyenlet Külső tájékozás javítási egyenletei

Jelölések:

A 13-10. egyenletpár első () egyenletéből képzett parciális derivált szerint. A parciális deriválás során az ismeretlenek előzetes értékeit helyettesítjük be a 13-10. egyenletpárba. Analóg módon adódik a többi parciális derivált is, melyeket az együttható mátrixban tárolunk.

: Az előzetesen ismert tájékozási elemek javításai, melyeket az oszlopvektorban kapunk majd meg.

: kapcsoló- és egyéb új pontok előzetes koordinátáinak javításai, melyeket az oszlopvektorban kapunk majd meg.

: tisztatagok, melyeket a számított és mért képkoordináták különbségeként képzünk és az oszlopvektorban tárolunk.

: javítások, melyeket a kiegyenlítés végén a oszlopvektorban kapunk meg.

A javítási egyenletrendszer mátrix alakban felírva:

Ennek megoldása -re:

13-12. egyenlet Javítási egyenletrendszer megoldása X-re

Az oszlopvektorban kapott megoldásokat hozzá kell adnunk a külső tájékozási elemek és a kapcsolópontok koordinátáinak közelítő értékeihez és meg kell ismételnünk a számítási folyamatot. Minden egyes lépés, iteráció végén ismételten elvégezzük a pontosítást, más szóval az előzőleg pontosított tájékozási elemeket és az ismeretlen pontok koordinátáit a következő iterációban tovább pontosítjuk. Ezt a folyamatot mindaddig végezzük, amíg az ismeretlenek értékes tizedes jegyben már nem változnak. Végeredményül az oszlopvektorban megkapjuk az ismeretlenek kiegyenlítéssel pontosított értékeit.

Ezután számítható a súgyegység középhiba a 13-13. egyenlet szerint, ahol : összes mért pont száma, : képek száma, : kapcsolópontok száma) és ennek, valamint a mátrix átlós elemeinek felhasználásával bármely n-edik ismeretlenhez tartozó középhiba is számítható (13-14. egyenlet).

13-13. egyenlet Súgyegység középhiba külső tájékozásnál 4 illesztőpont esetén

13-14. egyenlet Külső tájékozás paramétereinek középhibái kiegyenlítés után

A légiháromszögelés pontossága tovább növelhető, ha egyéb hibákat is figyelembe veszünk a kiegyenlítés során (pl. az objektív elrajzolási hibái, Földgörbületből eredő hiba, az atmoszféra refrakciós hibája, stb.).