Ugrás a tartalomhoz

Környezetstratégia

Dr. Fekete Jenő György (2011)

15.2 Trendszámítás

15.2 Trendszámítás

Ahhoz, hogy jó stratégiai tervet tudjunk készíteni, ismernünk kell mind a mikrokörnyezeti, mind makrokörnyezeti jelenségek időbeli alakulását. Pl. árvizek levonulása, vízállások, vízhozamok, szennyezések változása, pénzforrások növekedési vagy csökkenési tendenciái, a lakosság odafigyelésének változása, érdekeltségek alakulása stb.

A jelenségek egy része sztochasztikus, más része valamilyen időbeli szabályozottságot mutat. A stratéga munkájában mindig használ idősorokat, és azokat statisztikai módszerekkel elemzi. Három alapesetet különböztetünk meg.

  1. Az idősor alapirányzata a trend, a tartósan tapasztalható tendencia.

  2. Periódikus, idényszerű változások. Ilyenek a meteorológiai ciklusok, vagy egy-egy gazdasági ciklus változásai.

  3. Véletlenszerű változások, melyek figyelembevételét elsősorban a kockázati számításoknál kell szorgalmazni más eszközökkel, mint a determinált folyamatoknál. Ezeknél alapvetően az eredő, a végeredmény a meghatározó.

Egy adott idősor trendjének meghatározására három módszert mutatok be.

Ez a három módszer:

  1. grafikus eljárás,

  2. mozgó átlagok módszere,

  3. analitikus módszer.

a.) Trend meghatározása grafikus módszerrel:

Az idősor alapirányzata, azaz a trend meghatározása az esetek többségében a legegyszerűbb módon grafikus módszerrel történhet. Vegyünk alapul egy idősort, mely egy üzem hulladék-kibocsátására vonatkozik. Példaként tekintsük a 15.2. táblázat adatait:

15.2. táblázat -

Évek 199519961997199819992000
Keletkező hulladék

(t), (m3 )

50829570100120


Ábrázoljuk ezt egy koordinátarendszerben, majd a feltüntetett és összekötött értékekre fektessünk rá egy görbét, esetleg egyenest, mely trendvonal alatt és fölött lévő területek összege egyenlő, vagy legalábbis közel egyenlő (15.7. ábra)

15.7. ábra: Trend grafikus meghatározása

15.7. ábra: Trend grafikus meghatározása

b.) Trend számítása a mozgó átlagok módszerével:

Talán ez a leginkább elterjedt módszer, egyszerű, gyors, de egyáltalán nem tekinthető primitívnek. Hátránya, hogy a kiegyenlített idősor kevesebb adatot tartalmaz, mint az eredeti, és nem kapunk eredményként analitikusan elemezhető és megfogalmazható görbét.

A mozgó átlagolás módszere azon alapul, hogy a trendet az eredeti idősor tagjainak dinamikus átlagonként állítjuk elő. A mozgó átlagolás módszere elsősorban a szezonális változások értékelésére alkalmas, pl. egy nyaralótelep szennyvízkibocsátásának idősorát ezzel a módszerrel jól lehet értékelni.

Nézzük meg először a módszert a 15.3. táblázat szerint.

Az idősor értékei t=1-n időpontokban y1….yn. Ezek az un. első trendértékek. Ezekből a trendértékekből képezzünk 3-5-7 stb. tagú csoportokat, melyeket átlagolva kapjuk meg - második trendértéket - a mozgó átlagokat. Ugyanezt a módszert követve haladhatunk tovább, és nagyon sok első trendérték (pl. több ezer adat) esetén, akár harmadik, vagy negyedik trendértékeket is képezhetünk.

15.3. táblázat -

Időszak

v. időpont

t

Idősor adatai

yt

Mozgó összegek

öt

Mozgó átlagok

t

1y1--
2y2ö2 = y1 + y2 + y322/3
3y3ö3 = y2 + y3 + y4 33/3
............
n-1yn-1ön-1 = yn-2 + yn-1 + yn n-1n-1/3
nyn--


Minél több tagú a mozgó összeg, annál pontosabb a számítás, de a trend eleje és vége hiányos és meghatározhatatlan lesz. A trendértékekben gyakran érezhetők véletlenszerű adatok. Ezek kiszűrésére a mozgó átlagolás alkalmas.

Ugyancsak alkalmas a periodikus változások hatásának kiszűrésére is, ha az átlagokat a periodika szerint képezzük (15.8. ábra).

15.8. ábra. Trendszámítás mozgó átlagolással

15.8. ábra. Trendszámítás mozgó átlagolással

c.) Trend számítása analitikus módszerekkel:

A lineáris és a nem lineáris trendek számítására analitikus módszerek is vannak. Gyakorlatunkban leginkább a lineáris trendek analitikus módszerét alkalmazzuk, azaz meghatározzuk annak az egyenesnek az egyenletét, amely megítélésünk szerint a tartós irányzat jellegét a legjobban közelíti meg. Ez egy matematikai feltételnek, a „legkisebb négyzetek” elvének tesz eleget.

A legkisebb négyzetek elve alapján a trendfüggvény a következő feltételt elégíti ki:

minimum

ahol:

yi: az eredeti idősor értékei
yi': a trendfüggvénnyel kiegyenlített idősor értékei
n: az idősor tagjainak száma

15.9. ábra. Lineáris trendszámítás

Az 15.9. ábrán lévő trendfüggvény

ahol:

a – az y tengelyből kimetszett szakasz

b – az egységnyi x-re eső meredekség (y)

x – az idő

A feladat az egyenes egyenletének meghatározása, azaz „a” és „b” értékek meghatározása. A feltételrendszerbe behelyettesítve a trendfüggvényt.

minimum

A szélső érték létezésének szükséges feltétele, hogy a parciális deriváltak értéke legyen. Azaz

és

A deriválás elvégzése után a következő normál egyenletekhez jutunk:

15.1. egyenlet -


Az egyes pontok értékének ismeretében az összegeket táblázatosan számítjuk a 15.4 táblázat szerint:

 i   xi  yi xiyixi2
1 x1 y1 x1y1x12
2 x2 y2 x2y2x22
...............
 Σi Σ yi Σ xi yi Σ xi2

A koordinátarendszert – a számítás egyszerűsítésére – eltoljuk úgy, hogy Σxi = 0 legyen. Ez azt jelenti, hogy az idősorok egyenesét „x” tengely mentén, azzal párhuzamosan eltolom, hogy pozitív és negatív irányban is azonos számú elem legyen (15.10. ábra)

15.10. ábra. xi = 0 transzformáció

15.10. ábra. xi = 0 transzformáció

Ha Σ xi = 0, akkor

Σ yi = n*a

Σ xiyyi = bΣxi2

Ebből a két egyenletből

és

A trendvonalnak ez a legegyszerűbb, és számításainkba leggyakrabban előforduló formája. A lineáris trenden kívül exponenciális, hiperbolikus, parabolikus és logisztikus trendeket is ismerünk. A teljesség igénye nélkül ezekről csak néhány szót említek.

Az exponenciális trend a relatív változás állandóságát fejezi ki. Az első tag értéke yo, a másodiké yo •b, a harmadiké: yo•b2, azaz minden tag az előzőtől egy „b” tényezőjű szorzattal különbözik. Általános alakja Y = abx.

A parabolikus trend (másodfokú, harmadfokú stb.) általános alakja: Y=a+bx+cx2. Másodfokú parabolával jellemezhető, ha a fejlődés intenzitása fokozatosan változik.

A logisztikus trendvonallal jellemezhető, pl. egy ország lakosság számának növekedése. Megrajzolásához tapasztalati adatok alapján kijelölnek három függvényértéket, és egy azokon átmenő, inflexiós ponttal rendelkező görbét állítanak elő alapján, ahol m = ea+bx.

„k” az az érték, amely felé a harmadik szakaszban egyre lassabban közeledik az idősor értéke, x = idő, a lineáris függvény pedig „a” és „b” paraméterekkel jellemezhető.