Ugrás a tartalomhoz

Környezeti transzportfolyamatok

Dr. Gribovszki Zoltán (2011)

A hosszirányú diszperzió értelmezése

A hosszirányú diszperzió értelmezése

Az előző részben láthattuk, hogy a sebesség turbulens fluktuációja egy véletlenszerű elkeveredést okoz, ami a Fick-féle diffúziós egyenlet segítségével leírható, a molekulárisnál nagyobb ún. turbulens diffúziós tényezőt figyelembe véve. Ebben a részben azt akarjuk megvizsgálni, hogy milyen a sebességek eltéréseinek a hatása térben, a nem egyenletes sebességmegoszlásnak, vagy nyíróáramlásnak, sebességprofilnak a szennyezőanyagok terjedésére.

A 3.7. ábra sematikusan mutatja be, hogy mi történik egy nyomjelzőanyag felhővel, hogyan változik annak mintázata egy olyan nyíróáramlásban, ami a nyílt felszínű csatornákban jellemző.

• Vegyük egy vízfolyás átlagos, egységnyi széles hosszirányú metszetét. Ha beinjektálunk egy jelzőanyagot (ami pl. egy szennyezőanyagot szimbolizál) az áramlás (a.) szektorába keresztszelvény mentén egyenletesen elosztva, akkor a bebocsájtás pillanatában nem lesz jelen vertikális koncentráció gradiens (keresztirány sem, de azt most nem vizsgáljuk). Mivel nincs koncentráció gradiens, nem lesz diffúziós fluxus sem az adott bebocsájtási pont vertikális függélyében.
• A jelzőanyag mintázata azonban advekciós mozgással folyásirányban elmozdul és közben szét is húzódik a vertikálisan eltérő advekciós sebességek következtében előálló nyírás miatt. Egy rövid távolságra lefelé tehát a jelzőanyag felhő mintázata a (b.) szelvényben láthatóhoz lesz hasonló. Ebben a pontban egy erős vertikális koncentráció gradiens lesz jellemző, aminek következtében nagy nettó diffúziós fluxus jelentkezik vertikális irányban.
• Ahogy a széthúzódó mintázat folyásirányban lefelé mozog tovább, a (turbulens) diffúzió ki fogja simítani a vertikális koncentráció gradienst, és elegendő távolságra lefelé, a jelzőanyag felhő mintázata a (c.) pontban rajzolthoz válik hasonlóvá.

Az a jelzőanyag mennyiség, ami a lent fekvő, (c.) szelvényig jellemzően széterjedt azonban jóval nagyobb, mint ami a hosszirányú (turbulens) diffúziós folyamatok kizárólagos (a keresztirányú (itt most nem vizsgált) és a vertikális turbulens diffúziót elhagyva) figyelembe vételével szétterjedhetett volna. Ezt a kapcsolt megjelenését a diffúziós (itt most vertikális) és advekciós folyamatoknak hívjuk diszperziónak.

3..7. ábra - A hosszirányú diszperzió folyamatának sematikus ábrája.

3.7. ábra. A hosszirányú diszperzió folyamatának sematikus ábrája. Egy nyomjelzőt injektálunk a keresztszelvényben egyenletesen elosztva az áramlási tér (a.) pontjában, amely a nyíróáramlás sebességprofilja következtében széthúzódik a (b.) helyen. A (c.) szelvényben a vertikális diffúzió már homogenizálta a koncentráció gradienst és egy mélység átlagolt Gauss féle normális eloszlás formájában várható a hosszirányban vett koncentráció profil megjelenése (Socolofsky-Jirka 2005 nyomán).


Ha három dimenzióban oldjuk meg a transzport egyenletet, megfelelő molekuláris vagy turbulens diffúziós tényezőket felhasználva, akkor nem szükséges semmi speciálisat tennünk, hogy a sebességprofil fent említett széthúzó hatását pontosan lekövethessük. A diszperzió ugyanis implicit módon benne van a háromdimenziós transzport modellben.

ahol, C a koncentráció (ML-3), t az idő (T), x, y és z a hossz-, kereszt-, és függőleges irányú koordináta [L]; u, v és w az áramlási sebesség [LT-1], Dx, Dy és Dz a diffúziós tényezők [L2T-1] a megfelelő koordinátatengely szerinti irányokban.

A gyakorlati feladatok többségénél az u, v és w sebesség-összetevők, valamint a Dx, Dy és Dz (turbulens) diffúziós tényezők nem ismertek kielégítő pontossággal ahhoz, hogy érdemes lenne, különösen, ha a matematikai nehézségeket is figyelembe vesszük, a turbulens diffúzió előbbi (3.46.) egyenletének három dimenzióban történő megoldása. Vízfolyások esetében az előbbi egyenlet vízmélység (h [L]) illetve szelvényterület (A [L2]) szerint vett integrál alakjainak, azaz a turbulens diszperzió egyenleteinek az alkalmazása szokásos (Somlyódy 1985).

A vízmélység szerint vett integrál alak a következő:

ahol, a felülvonás a sebességek és a koncentráció esetében a mélység menti átlagot jelöli, a Dx* és a Dy* pedig a kétdimenziós egyenlet hossz- és keresztirányú turbulens diszperziós tényezői. A (h) mélység értékével, ha a vizsgált szakaszon kereszt- és hosszirányban állandónak vehető egyszerűsíthetünk.

A keresztszelvény szerint vett integrál alak így írható fel:

ahol, a kettős felülvonás a sebesség és a koncentráció esetében a keresztszelvény területre vonatkozó átlagot jelöli, a DL pedig az egydimenziós egyenlet hosszirányú turbulens diszperziós tényezője [L2T-1]. A (A) kereszt-szelvényterület értékével, ha a vizsgált szakaszon hosszirányban állandónak vehető egyszerűsíthetünk. A kettős felülvonást a későbbiekben nem fogjuk használni, hanem csak szóban utalunk az összefüggés keresztszelvény mentén átlagolt voltára.

Az előbbiek szerint tehát diszperzió alatt azt a térbeli egyenlőtlenségekből adódó valójában advektív transzportot értjük, amely az átlagolás eredményeként jelenik meg (a vízrészecskék előresietnek, illetve elmaradnak az átlagos elmozduláshoz viszonyítva), és amely a diffúzióhoz hasonlóan a koncentráció kiegyenlítődését idézi elő. A turbulens diszperziós tényező a diffúzív és diszperzív transzportot együttesen jellemzi és alapvetően a sebességtér függvénye. Értéke tehát annál nagyobb, minél szabálytalanabb jellegű a vízfolyás, illetve egy adott vízfolyás esetén, minél nagyobb az átlagolás alapjául szolgáló felületelem kiterjedése (Dx < Dx* < DL). Megjegyzendő, hogy előbbi zárójeles tagból a Dx még nem a diszperziós, hanem a sima diffúziós tényező.

A diszperzió egyenleteinek alkalmazásához még az alábbi korlátozások megtétele is szükséges:

A (3.47.) vízmélység szerint vett integrál egyenlet nem használható a szennyező anyag felhő azon kezdeti szakszára, amely szakaszon belül a koncentráció jelentős mélység szerinti gradienssel rendelkezik, vagyis jelentős a koncentráció változása a mélységgel (sekély vízfolyások esetében ez a szakasz általában elhanyagolható hosszúságú).
A (3.48.) keresztszelvény szerint vett integrál egyenlet a szennyezőanyag felhőnek (csóvának) csak arra, a szennyezőanyag bebocsájtástól távolabbi szakaszára érvényes, amelynek keresztszelvényein belül a koncentráció már többé-kevésbé kiegyenlített. A 3.48. egyenlet használata ezért általában nem ajánlott széles vízfolyásokra (Somlyódy 1985).

Vizsgáljuk a továbbiakban a transzportegyenlet szelvényterület mentén vett integrál alakját részletesebben. A továbbiakban ki szeretnénk használni annak az előnyét, hogy a koncentráció megoszlása a (c.) szelvényben lényegében csak egydimenziós, mivel y keresztirányban (előbbiekben nem vizsgált) és z vertikális irányban a vizsgált anyag már jól eloszlott (nincs jelentős koncentráció gradiens). Az előbbieken kívül a koncentráció eloszlása a (c.) pontban a Gauss-féle normális eloszlást követi, így alkalmazható a Fick-féle diffúziós törvény. Taylor elemzése a diszperzióra, ezt a későbbiekben bemutatjuk, egy olyan módszer, ami a diszperzió anyagfelhő széthúzó hatását egy egydimenziós modellbe helyezi el. Az eredmény egy egydimenziós transzport egyenlet egy jelentősebb hosszirányú elkeveredési tényezővel, amit hosszirányú elkeveredési tényezőnek nevezünk.

Amint Fischer et al. (1979) már rámutatott, a következőkben bemutatandó G. I. Taylor által leírt elemzés, amely a hosszirányú diszperziós tényező számítására vonatkozik a nyíró sebesség profil alapján egy külön érdekes példája G. I. Taylor géniuszának.

Az advektív diszperziós egyenlet levezetése

Hogy levezethessük a hosszirányú diszperzióra vonatkozó egyenletünket, használjuk a Reynolds féle dekompozíció előző fejezetben levezetett változatának módosított formáját a turbulencia kezelésére. A 3.8. ábra mutatja a sebességvektor egyik komponensének turbulens dekompozícióját, ahol megvan az átlagos sebesség (u̅(xi)), ami a háromdimenziós tér xi pontjában konstans és a sebesség fluktuáció (u'(xi,t)), ami változik az időben, egyenlettel kifejezve:

A nyíróáramlás dekompozíciója (itt egy logaritmikus vertikális sebességprofilt látunk egy folyóban) esetében van egy mélység szerint átlagolt sebességünk (), ami egy konstans értéket képvisel és egy deviációs (ettől eltérő) sebességünk (u'(z)), ami a mélység szerint különböző mértékben tér el az átlagtól, egyenletszerűen a következőképpen.

Explicit módon feltételezzük, hogy az és az u’(z) független az x-től. A fő különbség ezek között az egyenletek között, hogy míg a 3.49.-ben egy véletlenszerűen fluktuáló sebességkomponens u'(xi,t) van, addig a 3.50.-ben egy determinisztikus, nem véletlenszerű (és jellegében teljes mértékben ismert) eltérést kifejező „fluktuációs” komponens u’(z), amit inkább hívhatunk deviációsnak, mint fluktuációsnak.

3..8. ábra - A Reynolds féle dekompozíció összehasonlítása egy (adott ponton mért) turbulens áramlás (baloldal) és egy (térben változó) nyíróáramlás (jobboldal) sebességértékeinek esetére

3.8. ábra. A Reynolds féle dekompozíció összehasonlítása egy (adott ponton mért) turbulens áramlás (baloldal) és egy (térben változó) nyíróáramlás (jobboldal) sebességértékeinek esetére (Sokolofsky-Jirka 2005)


Amint a turbulens diffúzió esetében tettük, a koncentrációkra szintén alkalmazhatjuk a Reynolds-féle dekompozíciót.

amely, szintén függ az x-től, és amelyre C'(x,t) ismeretlen.

Felszerelkezve az előbbi ismeretekkel, készek vagyunk a Taylor-féle elemzést követni és alkalmazni egy nyílt felszínű csatornában kialakuló áramlás esetében a hosszirányú diszperzióra. A levezetéshez tételezzünk fel lamináris áramlást és végtelenül széles csatornát (medret) egy alsó és felső áramlás szempontjából záró határral, így a v=w=0. A h mélység a csatornában legyen, mind hossz- mind keresztirányban állandó és a Dx és Dz tényezők is legyenek konstansok a vizsgált szakaszon. A nyomjelző anyagot egy felület mentén juttattuk be így elhanyagolható az y keresztirányú diszperzió (∂C/∂y=0). A vezerlő, advektív.diffúziós egyenletünk így a következő formát ölti:

Az előbbi egyenlet a fent említett feltételek mellett három dimenzióban érvényes és tartalmazza a diszperziós hatásokat. A diffúziós tényezők lehetnek molekulárisak vagy turbulensek, attól függően, hogy lamináris vagy turbulens áramlásra alkalmazzuk az egyenletet. Helyettesítsük be a nyíróáramlásra vonatkozó Reynolds-féle dekompozíciós összefüggést az előbbi (3.52.) egyenletbe.

Mivel már korábban megállapítottuk, hogy a hosszirányú diszperzió sokkal nagyobb, mint a hosszirányú diffúzió, ezért el fogjuk hanyagolni a Dx-es tagot az egyenlet rövidebbé tétele céljából (ezt később bármikor később visszaadhatjuk, egy additív diffúziós tagként). Szintén célszerű észrevenni, hogy a nem függvénye a z-nek, így a jobb oldali utolsó, Dz-re vonatkozó tagból kihagyható.

Amint korábban tettük, egyszerűbb kezelni az egyenletet egy átlagos advekciós sebességgel mozgó koordinátarendszerhez rögzítetten. Az előbbi célból vezessük be tehát a következő koordináta-transzformációt.

A láncszabályt felhasználva a differenciáloperátorok a következőképpen alakulnak át.

Az előbbi transzformációkat behelyettesítve a 3.54. egyenletbe, amelyen már alkalmaztuk a korábban említett egyszerűsítéseket a következő egyenlet adódik.

Ez az egyenlet az, amely Taylor analízis effektív kiinduló pontját képezi.

Az előbbi diszkusszió már megmutatta, hogy a vertikális értelemben létező koncentráció és sebességgradiens az, ami a felelős a megnövekedett hosszirányú diszperzióért. Így ezen a ponton azt szeretnénk elérni, hogy eltávolítsuk a fluktuációt nem mutató tagokat (amelyeken nincs vessző) az előbbi 3.61.-es egyenletből. Ez a lépés nagy bátorságot és alapos körültekintést igényel, hiszen azt jelenti, hogy éppen a ∂C̅/∂t tagot dobjuk el, ami pont az a mennyiség, amit végül is szeretnénk előrejelezni (Fischer et al. 1979). Amint látni fogjuk azonban, pontosan ez az, ami képessé tesz majd minket, hogy egy összefüggést határozzunk meg a diszperziós tényezőre vonatkozóan.

Abból a célból, hogy eltávolítsuk az állandó komponenseket a 3.61. egyenletből, számítsuk ki az egyenlet mélység mentén vett átlagát és vonjuk ki ezt az átlagolt formát az eredeti egyenletből. A mélységi átlagolást kifejező operátor a következő:

Alkalmazva, tehát a mélység menti átlagolást a 3.61. egyenletre a következőt kapjuk.

mivel, a C’ és az u’ mélység mentén átlagolt értéke is zérus, de az u’∙C’ keresztszorzata már nem lehet az. Ez az előbbi egyenlet tulajdonképpen az-az egydimenziós vezérlő egyenlet, amit keresünk. Vissza is fogunk térni tehát ehhez az egyenlethez, amint megtaláltuk az (u'∙C' ) ̅ tagra vonatkozó összefüggést. Kivonva tehát a korábbi 3.61. egyenletünkből a most megkapott 3.63.-at a következő adódik.

amely összefüggés megadja nekünk a koncentráció eltérésekre (deviációkra) vonatkozó vezérlő egyenletünket. Ha ezt az előbbi 3.64. egyenletet meg tudjuk oldani C’-re, akkor vissza tudjuk helyettesíteni a megoldást a 3.63.-ba, hogy megkapjuk a -ra vonatkozó óhajtott összefüggést.

Mielőtt megpróbáljuk megoldani a 3.64. egyenletet, vegyük fontolóra minden egyes tag nagyságrendjét és a nagyságrendek alapján döntsük el vajon szükséges–e mindegyik tag figyelembevétele az egyenletben. Ezt az eljárást hívják scale (lépték vagy nagyságrend) analízisnek. A 3.7. ábra (c.) pontjára keresünk megoldásokat. Ebben a pontban egy részecskét a csóvában a sebességprofil mentén vizsgálva megállapítható, hogy C'≪C̅. Így a következő nagyságrendi relációk adódnak az egyes tagok között.

Az előbbiek alapján a 3.65. és 3.66. egyenlőtlenségek bal oldalán lévő tagokat elhanyagolhatjuk és a 3.64.-ből a következő összefüggés marad vissza.

Ha megnézzük ezt az összefüggést a következő meglepő dolgot vehetjük észre. A turbulens diffúziós esetre, a (u'∙C' ) ̅ keresztszorzat volt az, amelyik a turbulens diffúziós taggá vált. Most meg éppen eldobtuk ezt a tagot. Turbulens mozgásnál (ami itt a diszperzióra is a jellemző körülmény lesz), az előbbi keresztszorzat reprezentálja a fluktuáló sebességek miatt előálló anyagtranszportot. De nézzük csak meg egy kicsit közelebbről a 3.67. egyenlet középső tagját. Ez az elem egy advekciós tag, amely az átlagkoncentráción () dolgozik, de a nem véletlenszerű vertikális sebességeltérések (u’(z)) szerint. Így tehát ez egy transzport tag, ami a nyíró sebességprofil működését reprezentálja.

A következőkben nézzünk meg egy másik Taylor által elkészített éles elméjűségre valló egyszerűsítést. A diszperziós folyamat kezdeti szakaszában (a 3.7. ábra (a.) és (b.) pontjában) a koncentráció fluktuációja változó (unsteady). De lefelé haladva (a (c.) pontban), miután a sebességprofil hatása már mindenhol érvényesült, a vertikális koncentráció fluktuáció el fog érni egy állandósult (steady-state) állapotot (az anyagok vertikális irányú transzportja ekkor kiegyenlített lesz), amely egy konstans (idő invariáns) diszperziós tényező esetét reprezentálja. Ebben az állandósult állapotban a 3.67. egyenlet leegyszerűsödik (a koncentráció fluktuáció időbeli változását reprezentáló tag kiesik).

amely, összefüggésben, az előbbihez ( 3.67.) képest, egy nem állandó Dz tényezőt tételeztünk fel.

Kétszeres z szerinti integrálással C’-re megoldva az előbbi egyenletet a következőt kapjuk.

amely egyenlet ígéretesnek látszik, de még mindig tartalmaz egy ismeretlen –ra vonatkozó tagot.

Lépjünk vissza egy pillanatra és vegyük fontolóra mennyi a hosszirányban értelmezett tömeg-fluxus. A mozgó koordinátarendszerünkben csak egy sebességünk van, így az advektív tömeg-fluxus (qa) a következő kell, hogy legyen:

Hogy megkapjuk az integrált tömeg fluxust (kereszt-szelvényre vonatkozó anyagáramot) számítsuk ki 3.70. összefüggés mélység szerinti átlagát (vigyázzunk az átlagos fluxus, még nem a keresztszelvényre vonatkozó anyagáram).

Az előbbi egyszerűsítésnél felhasználtuk, hogy u'∙C̅ szorzat mélység szerinti átlaga zérus.

Behelyettesítve a 3.69.-es, C’-re vonatkozó megoldást az előbbi (3.71.) összefüggésünkbe, a mélység mentén átlagolt tömegfluxusra adódik.

A (∂C̅)/∂ξ tagot kivehetjük az integrál jel elé, mivel független a z-től. A kapott összefüggésre a Fick-féle törvény tömeg-fluxusra vonatkozó alakját alkalmazva kapjuk a következőt.

ahol, a DL tag jelentése:

Mivel a DL tagra vonatkozó összefüggésünk csak a mélység és a sebességprofil függvénye (meg Dz paraméteré, de az szintén az előbbiek alapján adható meg lásd. 3.33., 3.40., 3.41. és 3.42. összefüggéseket) DL értékét bármilyen sebességprofilra számíthatjuk integrálással. Az előbbiek szerint tehát sikerült egy analitikus megoldást kapnunk a hosszirányú diszperziós tényezőre.

Az utolsó lépés, hogy behelyettesítsük a kapott eredményünket a mélység szerint átlagolt (3.63.-as) vezérlő egyenletünkbe. Vegyük észre azonban, hogy a 3.63.-as egyenletünk nemcsak mélység szerint átlagolt, hanem keresztirányban is, hiszen a kiindulási feltételek között szerepelt, hogy a keresztirányú koncentráció gradiensünk zérus volt.

Az előbbi egyenlet az eredeti, álló koordinátarendszerre visszatranszformálva megadja az egydimenziós advektív diszperziós egyenletet.

amelyben, a DL a 3.74. egyenlet szerint definiált (Socolofsky-Jirka 2005).

Hosszirányú diszperziós tényezők számítása

Az előző részben megadott analitikus megoldás (3.74.) alapján próbáljunk meg számítási módszereket találni gyakorlati problémák megoldásához. Valódi vízfolyások esetében, általában inkább a keresztirányú (y koordinátatengely iránya) nyíróáramlás inkább, mint a vertikális (z) irányú nyírás játszik sokkal fontosabb szerepet. A keresztirányú nyíróáramlás esetére Fischer et al. (1979) az előző részben leírthoz hasonló elemzés alapján vezette le a következő összefüggést:

ahol, A a keresztszelvény területe [L2] (korábban már definiált), W pedig a szélessége [L] a vizsgált vízfolyásnak. Függetlenül attól melyik összefüggést választjuk, a kérdés még mindig fennáll, hogy hogyan tudjuk ezeket az integrálokat a legjobban kiszámítani.

Analitikus megoldás

Lamináris áramlások esetére létezhetnek analitikusan megadható sebesség profilok és a 3.74.-es összefüggés analitikusan is számítható. Fischer et al. (1979) példáját követve, a legegyszerűbb áramlás a két végtelen felületű lap közötti áramlás, ahol a felső lap U relatív sebességgel mozog az alsó laphoz képest. Erre az esetre DL értékre adódik:

ahol, d a két lap közötti távolság [L].

Hasonlóan megadható a csőben kialakuló lamináris áramlás esetére a DL.

Turbulens áramlásokra az elemzés hasonló ahhoz, amit a turbulens diffúzióval foglalkozó alfejezetben végrehajtottunk és az eredmény a 3.74.-es összefüggés szerinti formáját tartja meg. Az összefüggésbe a turbulens diffúziós tényezőt és az átlagos turbulens nyírósebesség profilt helyettesítjük be a Dz és az u’ helyére. Ezek alapján egy csőben beálló turbulens áramlás hosszirányú diszperziós tényezője a következő.

ahol, u [LT-1] a már korábban definiált nyíró vagy más néven fenékcsúsztató sebesség.

Egy különös fontossággal bíró eredmény egy végtelen széles, h mélységű nyílt felszínű csatornára érvényes összefüggés. Logaritmikus sebességprofilt használva (3.33.) a Kármán-féle konstanst 0,4-nek véve a 3.74.-es összefüggés alapján a diszperziós tényező a következőképpen számítható.

Összehasonlítva az eredményt a hosszirányú turbulens diffúzióra kapott összefüggéssel az előző fejezetből (Dt,x=0,15∙h∙u*) láthatjuk, hogy a DL-re vonatkozóan hasonló alakú összefüggést kapunk (∝h∙u*), azonban a DL valójában sokkal nagyobb, mint a hosszirányú turbulens diffúziós tényező. Valódi nyílt felszínű csatornák esetére, ahol a két part közötti keresztirányú nyírósebesség profil dominánssá válik, a DL-re vonatkozó szorzótényező 5 és 7000 között változhat (Fischer et al. 1979).

Numerikus integrálás

Számos gyakorlati mérnöki alkalmazás esetében, a változó medergeometria lehetetlenné teszi, hogy egy analitikus nyíró sebesség profilt becsüljünk. Ebben az esetben egy alternatív lehetőség, hogy a vízfolyás keresztszelvényét szektorok sorozatára bontjuk szét, minden egyes szektorban egy jellemző függély mentén, több helyen megmérjük a sebességet (klasszikus forgószárnyas sebességmérés esete). A sebességekből szektoronként átlagot számolunk, így a keresztirányú sebességprofil rendelkezésre áll, ezután számítjuk a vízfolyás keresztszelvényre vonatkozó átlagsebességétől való eltéréseket. A sebesség eltérések alapján a 3.77.-es összefüggés segítségével numerikus integrálást alkalmazva számítjuk a diszperziós tényező értékét.

Mérnöki becslés

Amikor csak durva mérések állnak rendelkezésre, akkor is valahogyan szükséges egy mérnöki szempontból okszerű becslése a hosszirányú diszperziós tényezőnek. Hogy ezt megtehessük, írjuk fel a 3.77.-es összefüggésünket dimenziónélküli formában.

ahol, a felülvonások keresztszelvény menti átlagot jelentenek.

Amint már elmondtuk a vízfolyások hosszirányú diszperzióját a keresztirányú nyíró sebesség profilok határozzák meg dominánsan. Ez az amiért y és Dy van a 3.77. egyenletben feltüntetve. Az előbbi tagokat dimenziómentes formában behelyettesítve a 3.77. egyenletbe, a következőt kapjuk.

ahol,

Vigyázzunk itt a dy* nem a keresztirányú diszperziós tényezőt jelöli, hanem a Dy keresztirányú diffúziós tényező dimenziómentes formáját. Fischer et al. (1979) kimutatta, hogy a legtöbb gyakorlati esetben megfelelő, ha az I-t a 0,01-0,1 tartományban vesszük fel.

Egy lépéssel továbbmenve, további nagyságrendi becsléseket vezetünk be Fischer et al. (1979) mérései alapján. Kísérletek és terepi mérések alapján megállapítható, hogy az u̅'2/ u̅2 arány 0,2±0,03 között vehető fel. Szabálytalan vízfolyásokra a (Dy ) ̅=0,6∙h∙u* adható meg a korábbiak szerint. Ezeket az értékeket behelyettesítve a 3.83.-ba az I=0,033 értéket felvéve adódik.

amely összefüggés egy négyszeres szorzón belül volt érvényes a vizsgálatok alapján. Az eltérések elsődlegesen az elemzés során egyes faktorok figyelembe nem vételéből adódtak, ilyen tényezők például a recirkulációk (visszaforgások) és holt zónák.

Geomorfológiai alapú becslés

Deng et al. (2001) az előbbiekben tárgyalt mérnöki becsléshez hasonló megközelítést publikáltak a diszperziós tényezők egyenes vonalvezetésű vízfolyások esetében történő becslésére a jellemző geomorfológiai paraméterek alapján. Az általuk megadott kifejezés a következő alakú.

ahol, ϵt0 egy dimenziónélküli szám, amely a következőképpen adható meg.

Ezek az egyenletek stabil medrű folyók hidraulikájának és geometriájának kapcsolatán alapulnak, azzal a feltételezéssel, hogy az egyenletes áramlásra vonatkozó formula érvényes helyi mélység szerint átlagolt változókra. Deng el al. (2001) az előbbi összefüggés (3.86.) által megadott becslést összehasonlította a 3.85. egyenlettel számított becsléssel és 73 db terepi méréssorozat adataival. Több, mint 64%-a az előbbi, 3.86. egyenlettel történt becslésnek a mérésekből származó értékekkel összehasonlítva a 0,5≤DL,becslés/DL,mérés≤2 tartományon belülre esett. Ez a pontosság átlagban jobb, mint ami a 3.85. alapján adódott, azonban néhány egyedi esetben a 3.85. egyenlet jobb becslést adott.

Nyomjelzős vizsgálatok használata

Az egyik leginkább megbízható módja a diszperziós tényezők számításának nyomjelzős vizsgálatok végzése, amint ezt a következő részben be is fogjuk mutatni egy alkalmazáson keresztül. Fontos figyelni arra, hogy mivel a DL a sebességprofiltól függ, tehát általában a vízhozamnak is függvénye. Így a nyomjelzős vizsgálattal egy adott vízhozamnál meghatározott diszperziós tényező nem szükségszerűen alkalmazható egy másik helyzetre eltérő vízhozam-tartományban. Az ilyen esetekben valószínűleg az adja a legjobb megoldást, hogy nyomjelzős mérések sorozatát végezzük el különböző vízhozam tartományokban. Egy másik megoldás egyetlen nyomjelzős vizsgálat esetében, hogy annak eredményét összehasonlítjuk pl. a 3.85. egyenlet alapján történő becsléssel, acélból hogy az összevetés alapján az egyenletet alkalmasabbá tehessük a más vízhozam-tartományokban (vagy egyéb körülmények között) történő becslésre.

Elkeveredés vizsgálata vízfolyásokban

Egy elkeveredési jellemzők becslésre végzett nyomjelzős vizsgálat részeként egy diák egy pontszerű forrásként nyomjelzőt adagol folyamatosan egy felszíni vízfolyásba, a keresztszelvény középső részén. Tárgyaljuk meg a lezajló elkeveredési folyamatokat és azokat a hossz skálákat, amelyek a bejuttatott nyomjelző útját befolyásolják.

Bár a bejuttatott nyomjelző kezdeti vertikális impulzusa általában jó függély menti elkeveredést idéz elő, tételezzük fel most azt, hogy a diák nagyon óvatosan csak a felszínre juttatja ki a nyomjelzőt. Ebben az esetben a vertikális turbulens diffúzió fogja elkeverni a nyomjelzőt a mélység szerint és a „vertikális elkeveredés egy vízfolyásban” című alfejezet példájából tudjuk, hogy a bejutatott anyag vertikálisan teljesen elkeveredettként kezelhető a bebocsájtási ponttól.

ahol, h a vízfolyás mélysége [L].

Amint az anyagfelhő (csóva) lefelé mozog, folyásirányban a keresztirányú turbulens diffúzió elkeveri a nyomjelzőt keresztirányban (Sokolofsky-Jirka 2005).

Amennyiben arra vagyunk kíváncsiak, hogy mennyi az a távolság, ami alatt a vízfolyás sodorvonalában (az előbbiek a keresztszelvény középvonalát említettük, ami kanyarulatmentes szakaszon megegyezik a sodorvonallal) permanens formában bebocsátott szennyezőanyag (mélység mentén átlagolt jellemzőkkel) csóvájának széle mikor éri el a vízfolyás partját először definiálnunk kell a csóva szélét (3.9. ábra). Ezt tegyük meg a keresztirányú szórás (σy) segítségével, amely a csóva keresztirányú eloszlására a Gauss-féle normális eloszlás analógiája, amely a , mélység mentén átlagolt koncentráció eloszlását adja meg.

alapján a következőképpen írható.

ahol, a hosszirányú sebesség átlaga [LT-1], Dy* a keresztirányú turbulens diszperziós tényező, x pedig a hossz menti koordináta [L]. A csóva szélét definiáljuk most úgy, hogy ahhoz a legnagyobb koncentráció bizonyos rögzített százaléka tartozik. Amennyiben ez 10%, akkor y=2,15∙σy, és így a csóva a szélessége (Wcs [L]) a szimmetria figyelembevételével a következő:

A W≈Wcs feltételből, ahol W a vízfolyás szélessége, a part élek eléréséhez szükséges távolság az elkeveredés egyik fontos jellemzője a következő.

ahol, L1 az úgynevezett első elkeveredési távolság [L].

A 3.92. egyenlet alapján viszont az alábbi lényeges következtetések vonhatóak le.

• Az L1 egyenesen arányos a sebességgel és fordítottan arányos a diszperziós tényezővel.
L1 a szélesség négyzetével nő. Ez magyarázza azt, hogy míg értéke pl. Sajó nagyságú vízfolyásoknál néhány száz méter, addig a Duna esetében 100 km-t is elérhet.

A koncentráció szelvényen belüli teljes elkeveredéséhez (kiegyenlítődéséhez) szükséges távolság (L2 úgynevezett második elkeveredési távolság) jelentősen nagyobb, mint az L1, de a 3.89. egyenletből nem vezethető le, mivel a megoldás a part élek hatását nem veszi figyelembe. Ha a part élek hatását is figyelembe vesszük, de a bevezetés parti, a L2 távolság durván az L1 háromszorosának adódik.

3..9. ábra - Szennyezőanyagok permanens elkeveredésének szemléltetése keresztirányban

3.9. ábra. Szennyezőanyagok permanens elkeveredésének szemléltetése keresztirányban (középvonalban történő bevezetés esete), Somlyódy 1985 nyomán.


Egy másik megközelítés szerint újra a „vertikális elkeveredés egy vízfolyásban” című alfejezet okfejtését segítségül híva a nyomjelzőt keresztirányban teljesen elkeveredettnek vehetjük a bebocsájtási ponttól.

ahol, W a vízfolyás szélessége [L]. Ez az egyenlet tehát egy más megközelítésből ad becslést a L2 [L], úgynevezett második elkeveredési távolságra.

A bebocsájtási pont és az Lz távolság között az csóva teljes mértékben háromdimenziós mozgású és nem kell egyszerűsítéseket tennünk a transzport egyenletben. Az Lz távolságon túl a csóva vertikálisan elkeveredetett és a hosszirányú diszperzió fogalma használható. Az Ly-nál kisebb távolságokra azonban kétdimenziós modellt célszerű használni pl. a 3.47. egyenlet szerint, ahol keresztirányú és hosszirányú diszperziós tényezőket célszerű használni a mélységi átlagolás miatt. Az Ly távolságon túl az egydimenziós hosszirányú diszperziós modell alkalmazható (keresztszelvény szerint átlagolt jellemzőket használva).