Ugrás a tartalomhoz

Környezeti transzportfolyamatok

Dr. Gribovszki Zoltán (2011)

Turbulencia és elkeveredés értelmezése

Turbulencia és elkeveredés értelmezése

Az 1800-as évek vége felé egy Osborne Reynolds nevű angol fizikus a csőben áramló víz jellemzőit vizsgálta nyomjelző anyagot használva. Ez volt az első, úttörő jellegű turbulenciával foglalkozó kísérlet és az elemzései során kidolgozott dimenzió nélküli számot róla a Reynolds szám (Re) elnevezéssel látták el. Érdekes észrevétel, hogy az első turbulenciával foglalkozó kutatás tulajdonképpen a szennyezőanyag terjedés példáján került előtérbe, ezért nem is véletlen, hogy a turbulenciát a szennyezőanyag transzportfolyamatok esetében egy fontos befolyásoló faktornak tételezzük fel.

Az eredeti kísérleti elrendezéshez hasonló látható a 3.1. ábrán, amely szerint az ábrázolt tartályból szabályozható mennyiségű sűrűségű (ρ) és viszkozitású (μ, dinamikai viszkozitás) víz áramlik ki. A d átmérőjű, üvegből készült kifolyócső tengelyébe egy másik, vékonyabb csöven keresztül megfestett folyadékot (nyomjelzőt) vezetünk be. Ha a folyadék sebessége kicsi, a festett folyadékszál végighúzódik a folyadék tengelyében, jól megkülönböztethetően az átlátszó víztől (3.1. ábra felső kép) és ahogy a sebességet növeljük az áramlásban a nyomjelző egy sebességhatár átlépése után gomolyogni kezd, majd a gomolyás erőteljesebb lesz (3.1. ábra lefelé haladva) és az elkeveredés rövid távon belül bekövetkezik.

3..1. ábra - A Reynolds-féle kísérlet szemléltetése

3.1. ábra A Reynolds-féle kísérlet szemléltetése (felső ábra kísérleti elrendezés, felső cső laminális áramlás, majd lefelé haladva a turbulencia hatása egyre erősödik). Lajos 2008 és Reynolds 1883 nyomán


Reynolds 1883-as eredeti cikkében az alábbiakat írja:

A kísérletet három csövön végeztem. Mindegyik egyenként 4 láb és 6 inch (1,37 m) hosszú volt, és a bemeneti oldalukon egy trombita fúvókájához illesztettem őket, a zavarás kiküszöbölése céljából. A vizet egy nagy üvegtartályból adagoltam, amelybe a csövek belemerültek, az elrendezés olyan volt, hogy az erősen színezett vízből származó festékcsík vagy csíkok a csövekbe a vízzel együtt léptek be.

A kísérlet általános eredményei a következők voltak:

1. Amikor a sebességek megfelelően alacsonyok voltak, a színezett csík egy jól kivehető egyenes vonal formájában húzódott végig a csövön.
2. Ha a tartályban lévő víz nem lenne eléggé nyugodt, megfelelően alacsony sebességeknél, a festékcsík eltolódna, de nem jelentkeznének kanyarulatok (gomolygás).
3. Ahogyan a sebességeket kis lépésekben növelte, egy bizonyos pontján a csőnek, mindig egy jelentősebb távolságra a fúvókától, a festék sáv egyszer csak elkeveredett a környező vízzel és betöltötte az áramló keresztmetszet egészét a használt színanyaggal. Bármilyen mértékű növelése a sebességnek az áttörési pont közeledését okozta a szívóka felé, de nem volt olyan alkalmazott sebesség, amivel sikerült volna elérni a fúvókát. A csöveket elektromos szikrával megvilágítva, a keskeny színcsík többé-kevésbé pontosan leírható gomolygása vált láthatóvá, örvényességet mutatva.

Az első esetben leírtak az alacsony sebességeknél kialakuló lamináris áramlásra vonatkoztak. A vízrészecskék ebben az esetben párhuzamos sávokban mozognak egymáshoz képest és a zavarásokat a viszkozitás megszünteti. Az egyetlen lehetőség, amellyel a színezőanyag laterálisan szét tud terjedni a lamináris áramlásban az a molekuláris diffúzió. Így sokkal hosszabb csőre lenne szükséges ahhoz, hogy a molekuláris diffúzió egyenletesen szét tudja oszlatni a cső keresztmetszetében egyenletesen a nyomjelző anyagot.

A 2. és 3. pont szerinti nagyobb sebességeknél az áramlás turbulens, a folyadékrészek instabillá válnak, az örvények méretskálája kezd kifejlődni, és a zavarások az instabilitás szerint kezdenek növekedni. A nyomjelző anyag, amelyik passzívan többé-kevésbé követi a folyadékrészek mozgását, az örvények növekedésének megfelelő gyorsasággal elkeveredik a keresztszelvény mentén és turbulens áramlással tölti meg a csövet. Az elektromos szikrával végzett kísérletek megmutatták, hogy a nyomjelző az örvények alakját jól mutatja. Egy bizonyos idő múlva azonban az örvények növekednek és széttöredeznek, mivel a továbbiakban nem áll fenn már az-az erős koncentráció gradiens, amely az örvényekben lévő és közvetlenül mellettük elhelyezkedő folyadékrészek között kezdetben jellemző. Ebben az időpillanatban a nyomjelző anyag már jól elkeveredett és az elkeveredés többé-kevésbé véletlenszerűvé vált (annak ellenére, hogy még mindig az egyes diszkrét örvények által vezérelt).

Reynolds összefoglalva az eredményeit, megállapította, hogy az áramlásnak az előbbiekben bemutatott karakterisztikus változása egy dimenziónélküli számmal jellemezhető: Re=u∙l/ν, ahol az u a csőbeli áramlás sebessége, l a cső átmérője és ν a folyadékra jellemző kinematikus viszkozitás. A turbulencia pedig a magasabb Re értékeknél jellemző. A turbulencia fő következménye, hogy hatására növekszik az impulzus és az anyag transzportja.

A turbulencia matematikai leírása

Sok kutatást végeznek a turbulencia tématerületén, ezek összefoglalást és az itt következők részletesebb leírását megtalálhatjuk pl. Lajos 2008, Kundu-Cohen 2002, stb.

Ebben az alfejezetben a turbulencia egy speciális esetét a homogén turbulenciát tárgyaljuk. A homogén kifejezés jelentése, hogy az áramlás statisztikai jellemzői állandóak (stacionerek), persze az áramlás ettől még lehet nagymértékben szabálytalan. Ezek a homogén statisztikai jellemzők általában a mért sebességek segítségével leírhatók a turbulens áramlási tér egy pontjában (ez az Euler-i szemléletmód). Hogy megérthessük a turbulencia Euler-i szemléletmóddal leírt tulajdonságait, hasznos, ha először a Lagrange-i koordinátarendszerhez kötött szemléletmódot alkalmazva követünk egy folyadékrészecskét (Sokolofsky-Jirka 2005).

Hogy jobban megértsük a két szemléletmód közötti különbséget nézzük röviden az egyes megközelítéseket:

A Lagrange-féle szubsztanciális módszer egy kiválasztott folyadékrészecske helyzetét adja meg a kezdőhelyzet és az idő függvényében:

ahol, 0 annak a pontnak a helyzetvektora, amelyen a folyadékrészecske valamely t0 időpontban áthalad, pedig ugyanazon részecske helyzetvektora az általános t időpontban (3.2. ábra). Megjegyzendő, hogy az anyagi pont mechanikájában ez az általánosan alkalmazott módszer. A sebesség () és a gyorsulás () megadása e szemléletmód szerint a következő:

A Lagrange-féle tárgyalásmód azonban a folyadékok mozgásának tárgyalására többnyire nehézkes.

3..2. ábra - A Lagrange-féle szubsztanciális tárgyalásmód elve a folyadék mozgásának leírására

3.2. ábra. A Lagrange-féle szubsztanciális tárgyalásmód elve a folyadék mozgásának leírására (forrás Haszpra 1989)


Az Euler-féle módszer a hely és az idő függvényében a sebesség és a sűrűség eloszlását adja meg. Ezzel jobban kiszolgálja a mérnöki szemléletet és az igényeket, mert a kiválasztott folyadékrészecskék pillanatnyi holléte vagy pályája többnyire kevésbe érdekes, mint az áramlás egészét jellemző sebesség és sűrűség (továbbá más dinamikai mennyiségek), amelyek eloszlása tetszőleges időpontban igen fontos (Haszpra 1989). Az Euler-féle leírás alapvető egyenletei tehát:

Skalárisan a következőképpen néznek ki:

Turbulens áramlásban nagyméretű örvények formálódnak folyamatosan majd szétesnek kisebb örvényekre, így mindig különböző méretű örvények spektruma van jelen az áramlásban. Amikor a nagyméretű örvények sok kisebb méretű örvénnyé esnek szét, nagyon kevés kinetikai energia veszik el, ezt úgy mondjuk, hogy az energia hatékonyan adódik át a különböző méretű örvények kaszkádján. Végül, amikor az örvények elég kicsivé vállnak, a viszkozitás szerepet kap, a kinetikus energia szétoszlik és hővé alakul át. Ezt a konverzióját a kinetikus energiának hőenergiává a kis örvényméretek skáláján disszipációnak (ϵ) hívjuk és a következő egyenlettel jellemezhetjük.

ahol, Ekin, a disszipált kinetikus energia, t az idő és az ϵ dimenziója [L2T-3]. Mivel a kinetikus energia hatékonyan átadódik lefelé a kisebb méretű örvények skálájára, a hővé disszipált kinetikus energia egyenlő kell, hogy legyen az áramlás összes turbulens kinetikus energiájával. Ez azt jelenti, hogy a keletkezése és a disszipációja a turbulens kinetikus energiának egy homogént turbulens áramlásban kiegyenlített. Az előbbieket szemlélteti a 3.3. ábra, amely az óceánban keletkező jellemző örvények energiaspektrumát mutatja be. Az ábrán jól látható az energia lefelé kaszkádolása (átadódása) a kisebb méretű örvények felé, amelyet a hullámszám 5/3-os kitevőjű függvényével (K-5/3) jellemezhetünk.

3..3. ábra - Az ócenánban jellemző örvények energiaspektuma, ahol K, a hullámszám, S pedig a hullámszám spektruma

3.3. ábra Az ócenánban jellemző örvények energiaspektuma, ahol K, a hullámszám, S pedig a hullámszám spektruma (Kundu-Cohen (2002).


Az a hossz skálája (mérete) az örvényeknek, amelyen a turbulens kinetikai energia hővé konvertálódik a Kolomogorov-felé LK méretskála. Milyen nagy ez az LK? Használjuk a dimenzió analízist, hogy megválaszoljuk ezt a kérdést. Vegyük észre, hogy az LK függ az energia disszipációs rátától ϵ és a viszkozitástól ν (itt kinematikus viszkozitás), mivel a súrlódás alakítja át a kinetikus energiát hővé. Hozzuk létre egy hossz skálát ezekből a paraméterekből, és így megkapunk egy arányosságot LK–ra, ami a turbulencia egy fontos méretskálája.

Összefoglalva a Lagrange-i szemléletmódot, ha követünk egy folyadék részecskét, amely kezdetben rákerül egy nagy örvényre és aztán vándorol örvényről örvényre, ahogy a nagy örvények kisebbekre esnek szét, de megőrzik kinetikus energiájukat a lefelé kaszkádolása során. Végül a részecske egy olyan kisméretű örvénybe kerül be (az LK mérettartományban), hogy a viszkozitás disszipálja a kinetikus energiáját hővé. Ez a kis örvény azonban szintén része egy nagy örvénynek, tehát az örvények mindegyik mérettartománya jelen van folyamatosan az áramlásban.

Mivel nehéz a folyadékrészecskét követni egy sebességmérő műszerrel (ez az egyébként, amit a részecskekövető sebességmérés (Particle Tracking Velocimetry - PTV) során próbálunk megtenni), a turbulens sebességre vonatkozó méréseket ezért egy ponton végezzük és a turbulenciát az Euler-i közelítéssel írjuk le. Örvények egész spektruma halad át a sebességmérés helyén, az áramlás átlagsebessége által szállítva. A nagyméretű örvények egy hosszú periódusidejű fluktuációt, míg a kisméretű örvények egy rövid periódusidejű fluktuációt indukálnak a sebességmérésnél, és ezek a méretskálák folyamatosan megjelennek az áramlásban. A 3.4. ábra egy példát mutat a turbulens sebességek egyik sebességkomponensének, egy adott ponton történt mérése alapján. Ha megvizsgáljuk a sebességmérési idősor egy rövidebb darabját, azt látjuk, hogy abban az időben egymást követő sebességek jól korrelálnak (összefüggenek) és determinisztikusnak (korábbi sebességek alapján számíthatónak) tűnnek. Ha viszont a sebesség-idősor távolabbi részeit hasonlítjuk össze, a sebességek teljesen korrelálatlannak és véletlenszerűnek tűnnek. Azt az időskálát, amelyen a sebességek az idősorban elkezdenek egymástól függetlenné és véletlenszerűvé válni integrál időskálánk nevezzük, tI. A Lagrange-i keretek között, ez az-az idő, amikor a vizsgált folyadékcsomag már kezdi elfelejteni az ő kezdeti sebességét. Az időskála meghatározható a mérésekre illesztett autokorrelációs függvény alapján (3.5. ábra). Ez az időskála szintén leírható szintén leírható egy karakterisztikus hosszal és sebességgel, erre az ún. integrál skálára vonatkoztatva: uI és lI.

3..4. ábra - A turbulensen fluktuáló sebesség egy ponton történő mérése, ahol u̅ az átlagsebesség és az u’(t) a fluktuáló komponens

3.4. ábra. A turbulensen fluktuáló sebesség egy ponton történő mérése, ahol u ̅ az átlagsebesség és az u’(t) a fluktuáló komponens (Sokolofky-Jirka 2005 nyomán).


3..5. ábra - A mérésekre illesztett autokorrelációs függvény és az integrál időskála összefüggése

3.5. ábra. A mérésekre illesztett autokorrelációs függvény és az integrál időskála összefüggése (Kundu-Cohen 2002 nyomán)


Reynolds javaslatára a tI-nél hosszabb időintervallumot véve, az xi pontban mért sebesség felbontható egy átlagsebességre i és az attól való eltérésre ui'.

A sebességnek ezt a felbontását nevezzük Reynolds féle dekompozíciónak. A tI ebben az esetben egy nem túl rövid, de nem is túl hosszú időszak, amelynek hossza közel azonos azzal az időtartammal, ami alatt az már közel állandóvá (konstanssá) válik.

Egy másik fontos jelzőszáma a turbulenciának a sebesség fluktuációk négyzetének átlagából képzett négyzetgyök (rms: root mean square).

amely, mivel a kinetikus energia arányos a sebesség négyzetével, az áramlás turbulens kinetikai energiájának egy mérőjegye (megjegyzendő, hogy az áramlás átlagos kinetikai energiája ebben a tagban nem szerepel, mivel az ui' az átlagtól való eltérés).

A turbulens advektív diffúziós egyenlet

Az advektív diffúziós egyenlet turbulens körülmények között alkalmazható formájának leírásához, helyettesítsük be a Reynolds-féle dekompozíciót a normál advektív diffúziós egyenletbe és elemezzük az eredményt. Mielőtt azonban ezt megtesszük, végezzük el a Reynolds-féle dekompozíciót a koncentráció esetében a sebességek analógiájára.

Mivel csak a szennyezőanyag (vagy nyomjelző) felhő hosszú-távú (hosszú összehasonlítva a tI-vel) átlagos viselkedésére vagyunk kíváncsiak, szintén egy időbeli átlagolást fogunk alkalmazni. Példaként vizsgáljuk meg az időben átlagolt tömeg fluxust x irányban a sebességmérés helyén, (u∙C)̅.

Ahol a felülvonás időbeli átlagot jelöl.

ahol, tI a korábban megfogalmazott integrál időskála, ami hosszabb, mint egy jellemző nagy örvény áthaladási ideje a mérési ponton.

Homogén turbulencia esetére a fluktuáló sebességek és koncentrációk időbeli átlagai nullát kell, hogy adjanak, vagyis i' = C̅' = 0. Így a 3.15. egyenletből a következő marad vissza:

Az előbbi egyenlet jobb oldali első tagjánál elhagytuk a kettős felülvonást (kétszeres átlagolás), mivel egy átlagnak az átlaga az csak az átlagot adja. Érdemes kiemelni azonban, hogy a jobb oldal második tagjának keresztszorzatáról (ui'∙C' ) ̅ nem feltételezhetjük annak zérus voltát.

Az előbbiekben kifejtett tagok ismeretében, most már készek vagyunk arra, hogy behelyettesítsük a Reynolds-féle dekompozíciót a vezérlő advektív diffúziós egyenletünkbe (amelyben molekuláris diffúziós tagok szerepelnek).

A következő lépésben integráljuk az egyenletet a tI integrál időskála időtartamban.

Vegyük észre, hogy az (u̅i∙C' ) ̅ , az (ui'∙C̅ ) ̅ és a C̅' tagok zérus értékűek. Átmozgatva az (ui'∙C' ) ̅ tagot a jobb oldalra a következő egyenlet marad vissza.

Ha a vizsgált xi irányban a sebesség áltagos értéket állandónak tekintjük a bal oldali második tagból az i kiemelhető a differnciáljel elé.

Hogy valóban használhassuk az előbbi egyenletet (3.21.) a gyakorlatban az (ui'∙C' ) ̅ tagra valamilyen modellt kell felállítanunk. Mivel ez a tag u∙C alakú, tudjuk róla, hogy valami tömeg fluxust jelképez. Mivel a szorzat mindkét komponense az átlag körüli változást (fluktuációt) jelképezi, a szorzatuk által képezett tömeg fluxus a turbulenciával kell, hogy kapcsolatos legyen. Reynolds ezt a turbulens komponenst minőségileg egy gyors elkeveredést jelképező tényezőként írta le, így ezek alapján analógiát vonhatunk a molekuláris diffúzióval. Taylor 1921-ben (in Sokolofsky-Jirka 2005) egy részét levezette ennek az analógiának, azáltal, hogy analitikusan követte egy nyomjelző részecskékből álló felhő útját egy turbulens áramlásban és számította a Lagrange-i autokorrelációs függvényt. Az eredményei azt mutatták, hogy a tI-nél nagyobb időkre, a nyomjelző részecske felhő nagysága lineárisan nő az idővel. Fischer et al. (1979) ezt az előbbi eredményt használta fel a molekuláris diffúzióval kapcsolatosan felállított analógia igazolására. Érdemes azonban rámutatni, hogy Taylor az analógia alkalmazásában nem ment ilyen messzire. A diffúzióval kapcsolatos analógia esetében az átlagos turbulens diffúziós időskála ∆t=tI, és az átlagos turbulens diffúziós hosszmérték ∆x=uI∙tI=lI, innen következik, hogy a modell csak tI-nél nagyobb időkre érvényes. A Fick-féle törvény alakjához hasonló kapcsolatot alkalmazva a turbulens diffúzióra adódik:

ahol, Dt értékét a következő összefüggés adja meg.

Behelyettesítve ezt a modellt az átlagos turbulens diffúzív transzportot megadó 3.21.-es egyenletbe és elhagyva az átlagolást jelző felülvonásokat a következőt kapjuk.

Amint látni fogjuk a következő szakaszban, a turbulens diffúziós tényező (Dt) általában sokkal nagyobb, mint a molekuláris diffúziós tényező (Dm), így az előző egyenlet utolsó tagját általában el is hanyagoljuk.

Turbulens diffúzió egy szobában

Azért, hogy a turbulens diszperzió jelenségét egy zárt helyiségben demonstráljuk, fecskendezzünk ki pontszerű forrásként parfümöt egy előadóterem elülső részén. A helyiség hosszdimenziói 10 m, 10 m és 5 m és 50 ember tartózkodik benne. Mennyi ideig tart, míg a parfüm turbulens diffúzióval szétterjed a helyiségben?

Hogy ezt a kérdést megválaszoljuk szükséges, hogy megbecsüljük a levegő sebességének skáláját a helyiségben. Minden egyes ember egy 60 W-os hőforrás, innen kijelenthető, hogy a levegő áramlása szempontjából a domináns folyamat a konvekció. a vertikális felhajtóerőből (sűrűségkülönbség) származó sebesség w dimenzióanalízissel a következőképpen adható meg.

ahol, B a felhajtóerőből származó fluxus egységnyi területen [L2T-3] és L [L] a szoba vertikális dimenziója (5 m). A levegő felhajtóereje a hőmérséklet növekedésével növekszik a kiterjedés miatt. A nettó felhajtóerőből származó fluxus egységnyi felületen a következőképpen adható meg.

ahol, β a hő okozta expanziót jellemző tényező (0,00024 K-1 a levegőre), H a látens hő fluxus egységnyi területen, ρ a közeg sűrűsége (1,25 kg/m3 a levegőre) és cv egy konstans térfogatnál értelmezett fajhő (1004 J/(kg∙K) a levegőre).

Az előbbi problémára a H értéke a következő:

Ezen H érték alapján az egységnyi területre érvényes felhajtóerő fluxus 5,6∙105 m2/s2 és a vertikális sebesség w∗=0,07 m/s.

Most már megvannak a szükséges távolság és időskáláink a turbulens diffúziós tényező becsléséhez a 3.23. egyenlet alapján. Vegyük, hogy az uI∝w és lI∝h, ahol h a helyiség magassága. A Dt érték becslése tehát a következő:

amely, nagyságrendekkel nagyobb a molekuláris diffúziós tényezőnél (összehasonlítva a molekuláris diffúziós tényező értéke a levegőre Dm=10-5m2/s).

Az elkeveredés ideje a felhő szélességnek szóródása alapján számítható.

A vertikális elkeveredés esetéreL=5m a tmix kb. 1 perc, a horizontális elkeveredésre L=10m a tmix kb. 5 perc. Ezen eredmények alapján eltart néhány percig (de nem egy-két szekundumig és nem órákig) amíg a teremben lévők elkezdik megérezni a parfüm illatát.