Ugrás a tartalomhoz

Környezeti transzportfolyamatok

Dr. Gribovszki Zoltán (2011)

Az advektív diffúziós egyenlet megoldásai

Az advektív diffúziós egyenlet megoldásai

Az előző fejezetben egy pillanatszerű, pontszerű forrás esetében vizsgáltuk a részletes megoldást lépésről lépésre stagnáló környezetben. A természetben a kezdeti és a határfeltételek sokban különbözhetnek ettől az előbb említett idealizált esettől. Ebben a részfejezetben néhány technikát ismerünk meg azért, hogy más, sokkal általánosabb esetekben is tudjuk kezelni a helyzetet. Amint az advekció és diffúzió folyamata additív, meg fogjuk mutatni, hogy a szuperpozíció elvét használhatjuk, néhány általános megoldási alapesetből kiindulva és azokból építkezve, komplex geometria és kezdeti feltételek esetében is arra, hogy megoldásokat találjunk.

A fejezetben található megoldások hasonló formában fellelhetőek Fischer et al. (1979) könyvében is. A fejezet végén megtalálhatók egyes analitikus megoldások eredményei. Ezek az eredmények elsősorban a fejezetben bemutatott módszerek segítségével jöttek létre. Az alapeseteket összerakva, a megadott egyenletek a problémák széles tartományában alkalmasak megoldások keresésére.

Kezdeti ismert egyenletes koncentráció megoszlás esete

Egy jó példája a szuperpozíciós módszer erősségének bemutatására a kezdeti egyenletes térbeli koncentráció-megoszlás esete. Mivel az advekció mindig bevihető az egyenletbe a mozgó koordinátarendszer alkalmazásával, ezért az egydimenziós stagnáló közeg esetét vizsgáljuk. A vezérlő alapegyenletünk tehát a következő (az egydimenziós diffúziós egyenlet).

Homogén kezdeti koncentráció megoszlást feltételezünk az alábbiak szerint definiálva azt.

ahol, t0=0 és C0 az egységes kiindulási koncentráció, amint azt az 2.3 ábra is mutatja.

2..3. ábra - A kezdeti egyenletes pillanatszerű koncentráció-megoszlás sematikus reprezentációja

2.3 ábra. A kezdeti egyenletes pillanatszerű koncentráció-megoszlás sematikus reprezentációja, a –ξ-ban fekvő dM differenciális elemet ábrázolva. (Sokolofsky-Jirka 2005 nyomán)


Az x=ξ<0 pontban, az infinitezimális tömeg dM=C0∙A∙dξ, ahol A a keresztszelvény terület δy δz. t>0-ra, a koncentráció bármely x pontban a tömeg diffúziós folyamatainak következtében áll elő minden dM differenciális elemet alapul véve. A dC meghatározása, minden dM elemi tömegből kiindulva a 2.33. egyenlet pillanatszerű, pontszerű forrás esetére adott megoldásból áll elő a következőképpen.

A szuperpozíció elvét alkalmazva, minden dM tömegelem hatását összegezve kapjuk.

Az előbbi egyenlet az előbbi problémánk szuperpozíciós megoldása. Azért, hogy az integrált kiszámítsuk, a változókat, ahogy korábban is tettük, meg kell változtatnunk a következőképpen.

Az új változót ζ-t a 2.36. szuperpozíciós integrál egyenlet megoldásába helyettesítve.

Vegyük figyelembe, hogy az előbbi integrál felső határaként a ξ=0-a értéket vettük figyelembe a 2.37. szerint definiálva. Átrendezve az integrált a következő adódik.

A kapott két integrál közül az első megoldható analitikusan, integrál táblázat segítségével, a megoldása √π/2. A második integrál megoldása az úgynevezett hiba függvény (error function), amely a következőképpen definiálható.

ahol, φ=x/√4Dt-vel egyenlő.

A hiba függvény (error function) megoldása általában megtalálható az integrál táblázatokban, vagy a nagyobb matematikai programokban beépített függvényként. Az előbbiek alapján a 2.40. egyenlet megoldása a következő.

A 2.4. ábra a C0=1 esetére növekvő t-re mutatja a kapott függvényalakokat, mint megoldásokat.

2..4. ábra - A féltérben egyenletes (x<0) kezdeti koncentráció-megoszlás (lépcsőfüggvény) pillanatszerű problémájának megoldása C0=1, kiindulási koncentráció esetében.

2.4. ábra. A féltérben egyenletes (x<0) kezdeti koncentráció-megoszlás (lépcsőfüggvény) pillanatszerű problémájának megoldása C0=1, kiindulási koncentráció esetében. (Sokolofsky-Jirka 2005 nyomán)


Az intravénás injekció, mint a diffúziós folyamatok egy példája

Vegyük a következő esetet: egy orvos egy allergiától szenvedő beteg vénájába fecskendez egy allergia elleni gyógyszert. A szer bejuttatása T idő alatt történik meg. A vénákban a vér átlagos sebessége u. Így leegyszerűsítve a kiindulási helyzetet a vér az alapállapotban egy L=u∙T távolságú régióban tartalmazza a beinjektált kemikáliát. A kemikália kiindulási koncentrációja C0 a vérben, az előbbi régióban. A kiindulási helyzetet a 2.5. ábra mutatja be.

2..5. ábra - Az intravénás injekció befecskendezési utáni időpillanat leegyszerűsített, sematikus ábrázolása.

2.5. ábra. Az intravénás injekció befecskendezési utáni időpillanat leegyszerűsített, sematikus ábrázolása.


Kérdés, hogy milyen a kemikália eloszlása a vénákban, amikor az 75 s múlva eléri a szívet?

A példára alkalmazható az előző fejezetben megismert kezdeti ismert egyenletes koncentráció megoszlás esete. Vegyük fel az x=0 pontot a kezdeti feltételezetten egyenletes koncentráció megoszlás közepén és engedjük, hogy a koordinátarendszer az vér átlagos u sebességével mozogjon. Az előbbiek miatt a diffúziós egyenletet kell megoldanunk a következő kiindulási feltételek mellett.

ahol t0=0 a T/2 időpillanatban.

Kövessük az előző fejezetben alkalmazott szuperpozíciós megoldást, amely szerint a következő egyenlet adódik.

Az előbbi egyenlet a következőképpen bővíthető.

A 2.37. és 2.38. egyenletek szerinti koordináta-transzformációt behelyettesítve és az átalakításokat, egyszerűsítéseket elvégezve a következő megoldást kapjuk.

Behelyettesítve a t=75 s-ot az egyenlet megadja a koncentráció eloszlását abban az időpillanatban, amikor az anyagfelhő eléri a szívet.

Ismert állandó koncentráció a peremen

Egy másik tipikus példa, amikor egy fix koncentráció érték adott egy x1 pontban. Ez lehet például egy oxigén koncentráció érték a levegővíz határfelületen. A folyamatot vezérlő paraméterek, amelyek a megoldáshoz szükségesek, a fix koncentráció C0, a diffúziós tényező D, a koordináták (x-x0) és a t idő. Ismét hanyagoljuk el az advekció hatását, mert ez a változó transzformálásán keresztül bevihető az egyenletbe, az x0 értékét pedig vegyül fel zérusnak (x0=0) az egyszerűsítés céljából. Amint a pontszerű forrás esetében tettük használjuk a hasonlóságon alapuló megoldást, egy vezérlő új változó létrehozása céljából, hogy a megoldás formáját megkaphassuk a következőképpen.

Ha definiáljuk a hasonlósági változót η=x/√Dt és ezt behelyettesítjük a 2.33.-as egy dimenziós diffúziós egyenletbe, akkor amint vártuk egy ordináris differenciál egyenletet kapunk f és η szerint.

A határfeltételek az egyenlet esetében a következőek f(0)=1 és f(∞)=0. Sajnos azonban a mi kapott ordináris differenciálegyenletünk nem lineáris. Egy gyors pillantás azonban a 2.4. ábrára lehet, hogy segít nekünk a megoldás megtalálásában. Az ábra szerint az x=0 pontban a fix koncentráció értéke C0/2. Ha a 2.42. egyenletbe C0-át helyettesítünk, mint vezérlő tényezőt (a C0/2 helyett) akkor talán egy lehetséges megoldást kapunk. Behelyettesítve a 2.48.-as differenciálegyenletbe és a határfeltételek meg fogják mutatni, hogy a kapott megoldás korrekt. Vagyis a következő egyenlettel adható meg a megoldás, amelyet keresünk.

A határfeltételekkel történő ellenőrzés eredménye a következő,

amely eredmény megfelel az előzetes várakozásoknak.

A 2.6. ábra mutatja be a C0=1-re vonatkozó megoldást. Fontos megjegyezni, hogy ez a megoldás csak az x>x0 tartományban érvényes.

2..6. ábra - A 2.49.-es egyenlet x=0 pontban C0=1 fix koncentrációjú peremmel megadott megoldása

2.6. ábra. A 2.49-es egyenlet x=0 pontban C0=1 fix koncentrációjú peremmel megadott megoldása (Socolofsky és Jirka 2005 nyomán).


Ismert fix, lezárt (no flow) perem

Az utolsó eset, amit részletesen vizsgálunk ebben a fejezetben a lezárt (un. no flow) perem. No-flux határfeltétel megjelenésére számíthatunk minden olyan felületen, amely az adott, vizsgált (szennyező) anyag számára nem átjárható. Hidrológiai vizsgálatoknál ilyen perem például a vízgyűjtő határa, egy folyóban a szennyezőanyag szétterjedésének vizsgálatánál ilyen perem a folyó partja (y irányban) és medre (z irányban). A kérdéskör tárgyalásánál ebben a fejezetben feltételezzük, hogy a vizsgált határfelületen nem játszódnak le az adott anyagra vonatkozó kémiai reakciók és a felület teljesen átjárhatatlan az adott anyag szempontjából.

Amint előrelátható az első feladatunk annak a módnak a megtalálása, hogyan specifikálhatunk egy no-flux peremet, mint határfeltételt a vezérlő differenciálegyenletünkben. Az előző probléma a Fick-féle törvény alkalmazásával viszonylag egyszerűen megoldható. Mivel a no-flux perem jelentése, hogy a peremen keresztüli fluxus zérus, =0 (D értékét konstansnak véve), a határfeltételek a következőképpen írhatók.

ahol, Sb a határfelszínt leíró függvény (i.e. Sb=f(x,y)) és az a no-flux határ normál egységvektora.

Egy dimenziós esetben a no-flux határfeltétel a következőre redukálódik.

ahol, xb a határ elhelyezkedését adja meg.

Az előbbi egyenletekkel kifejezett tulajdonság nagyon hasznos a koncentráció mérések interpretálásánál, hogy eldöntsük egy adott határ esetében, ami lehet pl. egy tó aljzata, hogy az a határ áteresztő vagy nem.

Hogy a határral kapcsolatos problematikát tovább fejtsük, és megoldást találhassunk, vegyünk egy pillanatszerű pontszerű forrást az x0-ban elhelyezve, egy no-flux peremmel L távolságra jobbra, amint az a 2.7. ábrán látható.

2..7. ábra - A no-flux perem hatásának ábrázolása egy pillanatszerű pontszerű szennyezőforrás esetében.

2.7. ábra A no-flux perem hatásának ábrázolása egy pillanatszerű pontszerű szennyezőforrás esetében, ahol a baloldalon az eredeti határ nélküli megoldás látható, míg jobbra a határ reprezentálására egy image forrás van elhelyezve. A szaggatott vonal jelöli az egyes forrásokból érkező koncentráció-megoszlást, míg a folytonos vonal a szuperpozíciós megoldást (Socolofsky-Jirka 2005 nyomán).


Az eredeti (perem nélküli) standard megoldásunk megengedi az adott anyagtömegnek, hogy a no-flux peremen túlra diffundáljon (amint azt a 2.7. ábra szaggatott vonallal mutatja is). Azért hogy az elveszett anyagmennyiséget visszahelyezzük, egy image forrást helyezünk el a határtól jobbra (szintén L távolságra). Ennek az image forrásnak a hatására ugyanaz az anyagmennyiség fog visszajutni a határ bal oldalára, mint amit az eredeti forrásunk a jobb oldalra juttatott. A szuperpozíció elvét alkalmazva a két koncentráció-megoszlásra (összeadva azokat) a határtól balra, megkapjuk a határoló fal leírni kívánt hatását. Amennyiben az előbbiek szerint az image forrást a no-flux határtól jobbra L távolságra helyeztük el, a megoldást a következő egyenlet adja.

ahol, xi=x0+2∙L. Természetesen az előbbiekben megadott egyenlet csak a határtól balra érvényes. A határtól jobbra, a koncentráció mindenhol zérus. Képezzük (házi feladatként) a koncentráció gradiens értékét, a ∂C/∂x-et az x=0 pontban, hogy bebizonyítsuk magunknak, hogy a no-flux határfeltételt kielégítettük.

Az image forrás alkalmazásának metódusa meg komplikáltabbá válik, amikor több határt veszünk figyelembe. A nehézség abban áll, hogy az jobb oldali image forrásból diffundáló anyagtömeg végül eléri a bal oldali határt és ott egy újabb image forrás elhelyezését indukálja. Általában amikor két határunk van, végtelen számú image forrás elhelyezése szükséges. A két oldalon elhelyezett határ esetét a 2.8. ábra mutatja. A gyakorlatban a megoldás rendszerint már néhány image forrás elhelyezése után konvergál (Fischer et al. 1979). Pillanatszerű, pontszerű forrás esetében, amely az origóban van elhelyezve és ±L-ben van határokkal ellátva, Fischer et al. (1979) szerint az image forrásokkal történő megoldás egyenlete a következő.

Nyilvánvalóan a konvergáló megoldáshoz szükséges image források száma függ az idő skálától, amelyen a megoldást érvényesnek tekintjük. Ezt a technikát a következő példákkal és a következő fejezetekben igyekszünk majd sokkal világosabbá tenni.

2..8. ábra - A két oldalon elhelyezett, no flux határ esete, amikor a szuperpozíciós megoldás elvileg végtelen számú image forrást igényel.

2.8. ábra A két oldalon elhelyezett, no flux határ esete, amikor a szuperpozíciós megoldás elvileg végtelen számú image forrást igényel. A szaggatott vonal jelöli az egyes image forrásokból érkező koncentráció-megoszlást, a vékony folytonos vonal a valódi forrásból származó koncentráció-megoszlást határolás nélkül, míg a folytonos vonal a szuperpozíciós megoldást (Fischer et al. 1979 nyomán)


Egy csésze teában feloldódó cukor példája

Egy hideg téli napon kitöltünk egy csésze teát és 2 g cukrot hozzáadunk a teához, úgy hogy az egyenletes eloszlásban terüljön el a csésze fenekén. A csésze átmérője 5 cm, a magassága pedig 7 cm (a tea felszíne a csésze peremével azonos szintben van). Ha nem keverjük fel a teát, mi lesz az-az időpont, amikor a koncentráció-megoszlás széle eléri majd a tea felszínét, és mikorra fog a cukor teljesen feloldódni? Hogyan válaszolhatjuk meg ezeket a kérdéseket abban az esetben, ha megkeverjük a teát?

A cukor koncentrációja fix értékkel a telítettségi koncentráción található a csésze fenekén és a kezdeti időpontban minden más pontban zérus. Ezek a feltételek azonosak az állandó koncentrációjú peremre vonatkozó megoldással, így a cukor eloszlása a z magasságú teaoszlopban a következő egyenlettel adható meg.

ahol, Csat a cukor telítettségi koncentrációja a csésze fenekén.

A koncentráció megoszlás karakterisztikus magassága (ebben az esetben) arányos a σ=√2Dt-vel. Tételezzük fel, hogy a koncentráció megoszlás széle akkor éri el a csésze tetejét, amikor 2∙σ=h=7 cm. Az időre megoldva az előbbi egyenletet, adódik.

Nagyságrendi becslés céljából vegyük fel a diffúziós tényezőre, D~10-9 m2/s értéket, ekkor az előbbi egyenlettel megadott időre a következőt kapjuk.

Ahhoz, hogy meghatározzuk milyen sokáig tart a cukor feloldódása, ki kell számolnunk a cukorra vonatkozó tömegfluxust (anyagáramot) a z=0 pontban. Már korábban kiszámítottuk az anyagáram megadására érvényes hibafüggvény deriváltját az első fejezetben („A víz levegő határrétegen keresztüli diffúziós fluxus példája” című részben). A cukorra vonatkozó anyagáram a z=0 pontban tehát a következő egyenlettel határozható meg:

ahol, az A a csésze keresztmetszeti területe, a Csat pedig a telítettségi koncentráció a fenéken.

A feloldódott cukor teljes mennyisége a tömeg fluxus (anyagáram, Md) időben vett integrálja.

Az előbbi egyenletet integrálva és t-re megoldva a következő adódik.

ahol, td az Md anyagmennyiség feloldódásához szükséges idő.

A kifejezés csak t<tmix,bl esetében érvényes, a tmix,bl időponton túl ugyanis számításba kell vennünk a tea felszínének határként való funkcionálását. Feltételezve, hogy Csat=0,58 g/cm3, a cukor feloldásához szükséges idő td=5∙104s.

A tea megkeverésével jelentősen megnöveljük D értékét. Mivel a D a t-re vonatkozó egyenletben a nevezőben van, a D növelésével csökkenteni fogjuk a cukor feloldódásához és csészében való eloszlásához szükséges időt.

A határok figyelembe vétele

Az előzőekben nem tértünk ki arra az időszakra, amikor a tea felszíne már fellép egy határként és egy image forrást szükséges elhelyeznünk, hogy a jelenséget a továbbiakban helyesen tudjuk leírni. A határokat figyelembe véve a következő helyzet adódik.

A csésze oldalainak a hatását elhanyagolhatjuk, mivel feltételezzük, hogy a cukor egyenletesen oszlik meg a csésze fenekén, így ez az egyenletes koncentráció-megoszlás zérus koncentráció-gradienst eredményez x és y irányban, úgy, mint:

Ezek alapján nincsen diffúziós fluxus a csésze falainak irányában.

Hogy a szabad felszín hatását figyelembe vehessük, egy image forrást kell figyelembe vennünk egy állandó Csat fix koncentrációval valahol a csésze fölött. A csésze fenekét z=0 helyként definiálva, az image forrást z=2∙h magasságban kell elhelyeznünk (h-val definiáltuk korábban a csésze magasságát). Figyelembe véve azt a szabályt, hogy:

A cukor koncentráció megoszlásának szuperpozíciós megoldása a következő lehet: