Ugrás a tartalomhoz

Környezeti transzportfolyamatok

Dr. Gribovszki Zoltán (2011)

2.. fejezet - Advektív diffúziós egyenlet

2.. fejezet - Advektív diffúziós egyenlet

Bevezetés: a fejezetben megtanulandóak elővezetése

A természetben a transzportfolyamatok az advekciós és diffúziós folyamatok kombinációján keresztül valósulnak meg. Az előző fejezetben megismertük a diffúzió folyamatát és levezettünk egy egyfajta stagnáló környezeti feltételek mellett fennálló diffúzív transzport előrejelzésére alkalmas megoldást. Jelen fejezetben a korábban megismert diffúziós egyenletünket kiegészítjük az advekciós taggal (levezetve így az ún. advektív diffúziós egyenletet) és különböző módszerek segítségével oldjuk meg a kapott parciális differenciál egyenletünket különböző geometria és a szennyezőanyagra vonatkozó eltérő feltételek mellett.

Az advektív diffúziós egyenlet levezetése

Mielőtt levezetnénk az advektív diffúziós egyenletet nézzük meg az advekció hatásának a folyamat megértését szolgáló leírását. Az advekció koncepcionális jellemzése céljából vegyük a korábbi csőbeli folyadékkal (víz) kapcsolatos példánkat. A csőben az áramlás hatása nélkül, a beinjektált nyomjelző mindkét irányban egyenlő mértékben terjed, Gauss-féle eloszlást leírva az időben. Ha megnyitunk egy szelepet és engedjük, hogy a víz a csőben áramoljon, azt várjuk, hogy a nyomjelző anyagfelhő tömegközéppontja az átlagsebességgel mozogjon a csőben. Ha a koordinátarendszerünket az átlagsebességgel mozgatjuk és viszkozitás-mentes állapotokat feltételünk, akkor a jelenség kinézete teljesen hasonló lesz az előző fejezetben tapasztalthoz. Az új mozgó koordinátarendszer térbeli koordinátája (η) a következőképpen jellemezhető:

ahol, x0 a nyomjelző befecskendezési helye, u az áramlás átlagsebessége, és u∙t az a felhő középpontja által megtett távolság a t idő alatt.

Ha az η-t behelyettesítjük az x helyébe a diffúziós egyenlet korábbi stagnáló környezeti feltételek melletti megoldásába, akkor a következőt kapjuk.

A megoldásunk tesztelése céljából szükségünk van az advektív diffúziós egyenletünk megoldására és azt a megoldást hasonlíthatjuk majd a most kapotthoz.

Az alapegyenlet általános alakja

Az advektív diffúziós egyenlet levezetése a szuperpozíció elvén alapszik: az advekció és diffúzió összeadhatóak mivel lineárisan függetlenek egymástól. Azt honnan tudhatjuk, hogy az advekció és diffúzió lineárisan független folyamatok? Az egyetlen út, ahogyan függhetnek egymástól, ha az egyik folyamat visszacsatol a másikhoz. Az előző fejezet alapján látható, hogy a diffúzió egy molekuláris mozgásnak megfelelő véletlen folyamat. A diffúziós mozgással, minden egyes molekula δt idő alatt vagy egy lépést jobbra vagy egy lépést balra tesz meg (±δt). Az advekció által minden egyes molekula u∙δt távolságra elmozdul folyásirányban. Ezek a folyamatok tisztán additívak és függetlenek. Az átfolyás nem okoz zavart annak a valószínűségében, hogy a molekula a diffúzív lépést jobbra vagy balra fogja megtenni, inkább csak hozzáad valamit az adott lépéshez. A molekula nettó mozgása a következő azonossággal jellemezhető.

Az x irányban értelmezett fluxus (Jx) beleértve az advektív transzportot és a Fick-féle diffúziót megadható.

Feladatként hagyjuk az olvasóra, hogy ellenőrizze vajon az u∙C a megfelelő forma–e az advekció leírására (hasonlítsuk össze az u∙C és a qx dimenzióját).

Amint az előző fejezetben is tettük kombináljuk egymással a fluxusra vonatkozó összefüggést és az anyagmegmaradás törvényét létrehozva így az advektív diffúziós egyenletet. Vegyünk egy kontrol térfogatot, ahogy korábban is, de most legyen egy keresztirányú sebességünk is, (u,v,w), a 2.1. ábrának megfelelően.

2..1. ábra - Átfolyással rendelkező kontrol térfogat sematikus ábrája

2.1. ábra. Átfolyással rendelkező kontrol térfogat sematikus ábrája (forrás Sokolofsky-Jirka 2005).


Az egyenlet levezetése során ugyancsak Fisher et al. (1979)-es eljárását fogjuk alkalmazni. Az anyagmegmaradás törvényét alkalmazva a kontrol térfogaton keresztüláramló nettó (eredő) fluxus a következőképpen számítható.

Az x irányban megadva ez (2.5. egyenlet) a következő.

Amint korábban is, használjuk a Taylor féle sorfejtést a lineáris tagig és kombináljuk a két fluxust. Először az advekciós tagra.

Később a diffúziós tagra.

Az előbbi tagokat az x irányú anyagáram egyenletébe (2.6.) beírva.

Az y és z irányú anyagáramok hasonlóak, de v és w sebességkomponensek segítségével írhatók fel.

A 2.5. egyenletbe behelyettesítve az előbbieket és M helyébe a C∙δx∂y∂z értéket beírva és az egyszerűsítéseket elvégezve adódik.

Einsteini jelöléseket alkalmazva.

Az előbbi egyenlet a kívánt advektív diffúziós egyenlet (AD). A tananyag későbbi részében gyakran hivatkozunk majd erre az összefüggésre.

Érdemes megjegyezni, hogy az egyenlet implicit módon feltételezi a D konstans voltát, amennyiben azonban változó D-ről beszélünk az egyenlet jobb oldali része a következő alakot ölti.

Pontszerű szennyezés esete, mint egy lehetséges megoldás

Hogy ellenőrizzük vajon az eredeti feltételezésünk (2.2.) helyes volt-e az AD egyenlet (2.13.) megoldásának alakjára vonatkozóan, helyettesítsük a mozgó koordinátarendszerre vonatkozó koordináta-transzformációt a 2.12., AD egyenlet egydimenziós, alább megadott alakjába. Egydimenziós esetben az =(u,0,0) és nincs koncentráció gradiens y és z irányokban.

A mozgó rendszerre vonatkozó koordináta-transzformációnk a következő.

Az előbbi két egyenletet kell behelyettesíteni a 2.15.-be, majd alkalmazni kell a láncszabályt a következőképpen.

A szükséges egyszerűsítéseket (∂τ/∂x=0,∂η/∂x=1,∂τ/∂t=1,u/∂x=1/∂t) elvégezve az egyenlet a következő formára redukálódik.

Az előbbi, 2.19. egyenlet pedig azonos az egydimenziós diffúziós egyenlettel (1.37.), amelynek megoldása az η es τ koordináták mellett pillanatszerű pontszerű forrást figyelembe véve.

Visszakonvertálva az x és t koordinátákat (2.16. és 2.17. visszahelyettesítésével) a 2.2. egyenletet kapjuk.

Tehát az eredeti feltételezésünk a szuperpozíciós megoldásra helyes volt. A 2.2. ábra szemlélteti az AD egyenlet megoldását három különböző egymást követő (t1, t2, t3) időpontban.

2..2. ábra - Az AD egyenlet egy dimenziós megoldásának sematizált megoldása három időpontra.

2.2. ábra. Az AD egyenlet egy dimenziós megoldásának sematizált megoldása három időpontra. A pontozott vonal a maximum koncentrációk értékeit mutatja a szennyezőanyag, fő áramlás szerinti mozgásának irányában. (Socolofsky-Jirka 2005 nyomán)


Összenyomhatatlan folyadékra való értelmezés

Összenyomhatatlan folyadék esetében a 2.13. egyenlet egyszerűsíthető a tömegmegmaradási egyenletnek a környezetben előforduló folyadékra való alkalmazásánál. Összenyomhatatlan folyadék esetében a sűrűség mindenhol állandó és a tömegmegmaradási egyenlet a kontinuitási egyenletre redukálódik (pl. Lajos 2008).

Ha a szorzat deriválási szabálya szerint kifejtjük a 2.12. egyenlet advektív tagját, akkor a követezőt írhatjuk.

A kontinuitási egyenlet ismeretében, a 2.22. egyenletet alkalmazva a jobb oldali első tagra, (∇∙u̅ ) ∙C=0 adódik. Ezek szerint az összenyomhatatlan folyadékra az advektív diffúziós egyenlet a következő formát ölti.

Vagy Einsteini jelöléseket alkalmazva.

Az advektív diffúziós egyenletnek ez az előbbi formája az, amit a leggyakrabban fogunk használni a továbbiakban.

Néhány ökölszabály az alkalmazással kapcsolatban

Álljunk meg egy kicsit az anyag tárgyalásában, hogy néhány észrevételt tegyünk az AD egyenlettel és megoldásaival kapcsolatban.

Elsőként a 2.2. ábrán látható megoldás egy olyan példát mutat, ahol a diffúziós és advektív transzport körülbelül egyaránt fontos. Ha az áramlás erősebb lett volna (nagyobb ), a jelzőanyag-felhőnek kevesebb ideje lett volna, hogy széterjedjen és minden egyes ti-re vonatkozóan az ábrán láthatónál keskenyebb alakot vett volna fel. Fordítva, ha a diffúziós lett volna gyorsabb (nagyobb D), a jelzőanyag-felhő jobban szétterjedt volna két különböző ti időpont között és a koncentrációprofilok jobban átfednének. Az előbbiek alapján látjuk, hogy a diffúzió versus advekció dominancia a t, D és az u függvénye. Fejezzük ki ezt a tulajdonságot a dimenziónélküli Peclet-számmal.

Egy adott folyásirány szerinti helyre (pl. keresztszelvényre egy vízfolyásnál) a következő adódik l=u∙t –t felhasználva.

Ha a Pe≫1, akkor a diffúzió a domináns és a felhő gyorsabban terjed szét, mint ahogy folyásirányban lefelé mozog. Ellenben ha a Pe≪1, akkor a folyamat az advekció által vezérelt és a felhő gyorsabban mozog lefelé, mint ahogy szétterjed. Fontos megjegyezni, hogy a Peclet-szám függ attól, hogy milyen a vizsgált térbeli skála kiterjedése. „Nagy” távolságokra és időkre a Peclet-szám kicsi lesz és advekciós folyamat lesz domináns.

Második szabályként elmondható, hogy a maximum koncentráció csökken áramlási irányban a diffúziós folyamatnak megfelelően. A 2.2. ábra a jelzőanyag felhők maximum koncentrációit is mutatja, ahogy a felhő mozog áramlási irányban lefelé. Ez a maximumokra vonatkozó burkológörbe akkor kapható meg, ha a 2.2. egyenlet exponenciális tagja éppen 1,0 (vagyis az exp függvény hatványkitevőjében 0 van). Egy dimenziós esetben a maximum koncentráció csökkenése a következő arányosság szerint jelenik meg.

Két- és háromdimenziós esetben az összefüggés alakja szintén megadható. Kétdimenziós formula,

és háromdimenziós eset

A harmadik figyelemre érdemes dolog, hogy a diffúziós és advekciós skálákat gyakran használhatjuk arra, hogy egyszerűsítsük az egyenleteket és közelítéseket alkalmazzunk. Az egyik legfontosabb kérdés mérnöki szempontból, hogy: Egy adott egyenlet illetve közelítés mikor alkalmazható? Szennyezőanyag transzport esetében a kérdés általában megválaszolható összehasonlítva a jellemző advekciós és diffúziós hossz és időbeli skálákat az adott probléma hossz és időbeli skáláihoz. Advekció esetében (a alsó indexel), diffúzió esetében (d alsó indexel) jelölve a jellemző skálákat a következőek írhatóak.

Ezek az előbbi skálák használhatók ökölszabályszerű első becslésként ha ismerjük az illető szennyezőanyag bejutásának helyét és idejét egy alsóbb szelvényben annak eldöntésére, hogy melyik összefüggés lesz érvényben, ill. melyik folyamat az erősebb.

Példaként egy pontforrásból származó anyagkibocsátás egy l hosszúságú régión értelmezett és a kibocsátástól ±l/2 távolságra át nem eresztő határok (víz esetében vízzáró határ) találhatók. Ebben az esetben az-az idő, amíg az adott anyagfelhő egyenletesen el nem oszlik a régióban diffúzióval t_d=l^2/(8∙D), a 8-as szorzó az előbbi kifejezésben abból ered, hogy az egyenletes eloszlás feltételeként azt szabtuk meg, hogy ±l/2 távolságra a koncentráció maximumnak (Cmax) legalább 97%-a jelenjen meg. Ezeket a karakterisztikus skálákat (amelyek könnyen levezethetők dimenziós analízis segítségével) memorizálni kellene, és extenzív módon kellene használni őket a transzport problémák első durva, megközelítésekor.

Irodalomjegyzék

Fischer, Hugo B., List, E. John, Koh, Robert C. Y., Imberger, Jörg, és Brooks, Norman H.. Szerzői jog © 1979. 0-12-258150-4. Acadamic Press. Mixing in Inland and Coastal Waters.

Lajos, Tamás. Szerzői jog © 2008. 9789-6306-6382-3. Lajos Tamás dr.. Az áramlástan alapjai.

Nepf, H. M.. Szerzői jog © 1995. Course notes and problem sets, MIT Course 1.77: Water Quality Control.

Socolofsky, Scott A. és Jirka, Gerhard H.. Szerzői jog © 2005. Texas A&M University. Special Topics in Mixing and Transport Processes in the Environment.