Ugrás a tartalomhoz

Környezeti transzportfolyamatok

Dr. Gribovszki Zoltán (2011)

Az egydimenziós diffúziós egyenlet hasonlósági alapon történő megoldása

Az egydimenziós diffúziós egyenlet hasonlósági alapon történő megoldása

Mivel az 1.41. egyenletnek, mint láttuk kiemelt fontossága van a környezetben lejátszódó transzportfolyamatok terén, a továbbiakban részletesen taglaljuk az összefüggés egy dimenziós esetének egyik megoldási módját. Az 1.41. egyenlet sokféle megoldási lehetősége közül a Fischer et al. (1979) által leírt metódust fogjuk követni. A megoldás az un. hasonlósági analógiát követjük, abból a célból, hogy demonstrálhassuk az anyagban korábban megismert dimenzió analízist (1.1.3. fejezet).

Vegyünk egy az egydimenziós probléma érzékeltetése céljából egy keskeny, végtelen csövet (r sugárral) az 1.8. ábra szerint. M tömegű jelzőanyagot injektálunk a cső A=r2π keresztmetszetébe egyenletes eloszlásban az x=0 pontban a t=0 időpillanatban. A jelzőanyag kiinduló időpillanatban vett szélessége infinitezimálisan (végtelenül) kicsi. A megoldást az időbeli változásokra tekintettel, a molekuláris diffúzió folyamatát egyedül figyelembe véve keressük, a jelzőanyag x irányú szétterjedésnek esetére.

1..8. ábra - Az egydimenziós tiszta diffúzió

1.8. ábra Az egy dimenziós tiszta diffúzió esetének ábrázolása egy végtelen csőben (Socolofsky-Jirka 2005 nyomán).


Mivel egy egydimenziós (∂C/∂y=0 és ∂C/∂y=0) instacionárius (nempermanens) diffúziós problémánk van, a vezérlő egyenletünk az 1.42., aminek a megoldásához szükségünk van két határ és egy kiindulási feltételre.

Határfeltételek:

Igaz ez a feltétel, hiszen nem lehetséges, hogy bármelyik nyomjelző molekula eléri majd a végtelent (definíció szerint ugyanis a végtelen nem elérhető).

A kiindulási feltétel az, hogy a nyomjelző anyagot a keresztszelvényben egységesen eloszlatva juttatják be egy végtelen kicsiny x irányban értelmezett szélességben. Azért, hogy le tudjunk írni egy ilyen kiindulási feltételt, segítségségül kell hívnunk az ún. Dirac-delta függvényt (δ(x)). A kiindulási feltételünk így a következő lesz:

ahol, a δ(x) mindenhol zérus értékű, kivéve az x=0 pontban, ahol végtelen nagyságú, de úgy hogy az integrálja ebben a pontban −∞-től +∞-ig 1-et ad. Előbbiek alapján az összes bejuttatott anyagmennyiség a következő egyenlettel adható meg:

A továbbiakban, hogy használhassuk a dimenzió analízist meg kell vizsgálnunk minden megoldást befolyásoldó paramétert. Az 1.2. táblázat összegzi azokat a függő és független változókat dimenzióikkal, melyek a megoldásra váró egy dimenziós, diffúziós problémánknál megjelennek.

1..2. táblázat - 1.2. táblázat. Az egy dimenziós csőben lejátszódó diffúziót befolyásoló változók és azok dimenziói

 VáltozóDimenzió
Függő változóCML-3

Független változók

M/AML-2
DL2T-1
xL
tT

Az 1.2 táblázat szerint 5 fizikai mennyiségünk (n=5 változónk) van és 3 dimenziónk (r=3 fizikai alapmennyiségünk), ezek alapján a következő két dimenziótlan csoportot képezhetjük.

A dimenzió analízis segítségével a π1=f(π2) függvényt kell meghatároznunk, amely alapján a C-t kifejezhetjük.

ahol, az f egy még ismeretlen függvény π2 argumentummal. Az 1.54. egyenletet hasonlósági megoldásnak hívják, mert C-nek hasonló alakja van x-ben minden t időre (ld. később „A koncentráció profil alakja és az önhasonlóság” alfejezetet). A következő feladatunk, hogy meghatározzuk az f függvény alakját. Mielőtt megtalálnánk formálisan a megoldást, szaladjunk előre egy kicsit és hasonlítsuk össze az 1.54.-es egyenletet az 1.71.-es egyenlet aktuális megoldásával. Az összehasonlítást megtéve láthatjuk, hogy a dimenzióanalízis segítségével milyen messzire juthatunk el egy fizikai probléma megoldásának esetében.

Az f függvényt alapvetően kétféle úton találhatjuk meg.

• Az első esetben kísérleteket kell végrehajtanunk és a kapott π1 és π2 adatokat koordinátapárként használva a leginkább simuló görbe illesztésével juthatunk el az f függvényhez.
• A második lehetőség, hogy az 1.54.-es egyenletet egy differenciálegyenlet megoldásaként használjuk fel és az f függvényt analitikus megoldás alapján határozzuk meg.

Ezt az utóbbi utat fogjuk követni. A hasonlósági megoldás erőssége abban rejlik, hogy a parciális differenciál egyenletet (PDE) egy ordináris differenciál egyenletté (ODE) alakítja át, ami tulajdonképpen mindegyik parciális differenciálegyenlet megoldási módszer célja.

A hasonlósági megoldás (1.54.) valójában csak egy koordináta transzformáció. Meg kell hívnunk egy új hasonlósági változót az η=x/√(D∙t)-t. Ahhoz, hogy az 1.54.-et be tudjuk helyettesíteni a diffúziós egyenletbe, szükségünk van még az η (éta) két deriváltjára.

Elsőként használjuk a lánc szabályt, a ∂C/∂t számításához.

Az utóbbi két megoldást, vagyis az 1.57. és 1.58. egyenleteket a diffúziós egyenletbe behelyettesítve, egy ordináris differenciálegyenletet kapunk η–ra.

Hogy meg tudjuk oldani az 1.59. egyenletet, a határfeltételeket és a kiindulási feltételt át kell alakítanunk az f függvénynek megfelelően.

Az η–t behelyettesítve a határfeltételekbe a következő adódik.

Új határfeltételek:

A kiindulási feltételekkel hasonlóképpen eljárva, η behelyettesítésével a következőhöz jutunk.

Új kiindulási feltétel:

átrendezve a fenti egyenletet

Az egyenlet bal oldala +∞-t ad ha x˃0 és −∞-t ha x˂0. A jobb oldal mindig zérus, hiszen a √(D∙t) tag mindig zérust ad t=0-ra. Az előbbiek szerin a kiindulási feltétel a következőre redukálódik.

Ezek szerint az eredeti parciális differenciálegyenletünk három feltétele (két határ és egy kiindulási feltétel) az f-re felírt ordináris differenciálegyenlet esetében két határfeltételre redukálódik 1.60. és 1.63. szerint.

Egy másik kényszerként lépbe az M tömeg fix értéken tartása, a tömegmegmaradási egyenlet szerint, amelyet az 1.49. egyenlet ír le. A dx=dη ∙√(D∙t) tagot behelyettesítve az 1.49. egyenletbe egyszerűsítések után kapjuk.

Az 1.59. egyenlet megoldása igényel egy kapcsolt integrálást. Először át kell rendeznünk az egyenletet a következő azonosságot felhasználva.

Az előbbit 1.59.-re felhasználva adódik.

Az előbbi kifejezést (1.66.) egyszer integrálva kapjuk:

Látható, hogy C0=0-át szükséges választani a határfeltételek kielégítéséhez. Válasszunk tehát C0=0-át és értékelve a megoldást, azt kapjuk, hogy az egyenletünk így megfelel a határfeltételeknek (ld. a részletesebb levelezetés Sokolofsky-Jirka 2005 Appendix A) vagyis f(±∞) =0.

C0=0 esetre homogén ordináris differenciálegyenlethez jutunk, amelynek a megoldása könnyen megtalálható. Az 1.67. egyenlet bal oldalának második tagját átrendezve kapjuk.

Mivel szeparálható differenciálegyenletről van szó, az összetartozó f és η tagokat azonos oldalra rendelve adódik.

Mindkét oldalt integrálva kapjuk.

Átrendezve és mindkét oldalt exponenciális hatványra emelve adódik.

Ahhoz, hogy C1-et megtaláljuk, használnunk kell az 1.64.-ben megadott feltételünket. Ez azért szükséges, mivel bevezetünk egy M paramétert és azt szeretnénk, ha a koncentráció görbe alatti integrál visszaadná nekünk az összes bejuttatott tömegünket. Ezt a segédfeltételt (1.64.-et, (-∞)(+∞)f(η) dη=1) felhasználva f-re a következő adódik.

Az integrál megoldásához, integrál táblázatban található azonosságot kellene felhasználnunk, ezért még egy transzformációt kell eszközölnünk a változóknál, hogy az ¼-et eltávolítsuk az exponenciális függvény kitevőjéből. Így bevezetjük a ζ (zéta) változót, amely η-val a következőképpen függ össze.

Az 1.72. egyenletbe behelyettesítve az előző koordináta-transzformációt és C1-re megoldva az egyenletet kapjuk.

Az integrál táblázatban a megfelelő azonosságot megkeresve, C1=1/(2∙√π). Ezt az azonosságot 1.71.-ba visszahelyettesítve kapjuk.

Az f függvényt a korábban kapott hasonlósági megoldásba (1.54.) helyettesítve és az η=x/√(D∙t) transzformációt alkalmazva a C-koncentrációra adódik.

Az előbbi összefüggés a környezetben lejátszódó transzportfolyamatok egyik klasszikus egyenlete, amelyet ezen tananyagban számos helyen fogunk használni. Az egyenlet általánosítása három dimenzióra Fischer et al. (1979) szerint a következő.

A megoldáshoz a változók szeparálásának módszerével jutottak.

A maximum koncentráció meghatározása

Az 1.78.-as egyenlettel megadott pillanatszerű és pontszerű szennyezés esetét vizsgálva keressük meg a maximális koncentráció helyét.

A klasszikus megközelítés egy függvény maximumának megkereséséhez, hogy a derivált függvény zérus helyeit keressük. Sok koncentráció eloszlás esetében egyszerűbb azonban, ha alaposan szemrevételezzük az egyenlet funkcionális formáját. A pillanatszerű-pontszerű szennyezés formája a következő.

A C1 ún. amplifikációs (erősítő) faktor független a helytől. Az exponenciális tagnak negatív kitevője van, ami azt jelenti, hogy a maximum akkor jelentkezik, ha az exponenciális kitevőben zérus van. Innen a maximum koncentráció helye adódik.

Az 1.78.-as egyenletre alkalmazva a kapott eredményt.

A maximális koncentráció, abban a pontban jelentkezik ahol az exponenciális tag zérus, ez pedig az előbbi esetben (1.81.) a következő: x (Cmax)=(0,0,0).

Hasonló analízist alkalmazhatunk más koncentráció megoszlások esetére is. Például vegyük figyelembe, kicsit előrevetítve a hiba függvény (error function) koncentráció megoszlást.

A hiba függvény a [-1,1] tartományban változtatja értékét és az argumentuma (erf zárójeles tag) [-∞,∞] tartományban értelmezett. A maximális koncentráció akkor jelentkezik, mikor az error function értéke -1 (erfc()=-1), a maximális koncentráció ebben a helyzetben a következő:

Az előbbiek alapján tehát a Cmax akkor jelentkezik, ha a hibafüggvény argumentuma -∞. T=0 időpontban a maximális koncentráció minden x˃0 pontban jelentkezik, de t˃0 esetében a maximális koncentráció már csak az x=-∞ pontban jelenik meg.

A hasonlósági megoldás interpretációja

Az 1.77. egyenlet ábrázolását egy M=1 és D=1/4 esetére az 1.9. ábra mutatja, amelyen jól látható, hogy a kezdeti elméletileg egy pontban tömörülő anyag hogyan oszlik el a térben az idő függvényében, ill. hogy megfordítva a folyamatokat a Gauss-féle eloszlás milyen gyorsan redukálódik a Dirac-delta függvényre.

1..9. ábra - A Gauss-féle normális eloszlás redukálódása

1.9 ábra. A Gauss-féle normális eloszlás redukálódása a kezdetben egy pontban tömörülő jelzőanyag tömeg „spike” irányába (M=1 és D=1/4 értékek mellett).(Fischer et al. 1979 nyomán)


Az 1.10. ábra az egy dimenziós megoldást mutatja (az 1.78.-es egyenlet) dimenziómentés térben ábrázolva. Összehasonlítva az 1.77.-egyenletet a Gauss-féle normális eloszlás sűrűségfüggvényével kijelenthetjük, hogy az egyenlet ábrázolásával a Gauss féle haraggörbét kapjuk σ szórással, ahol a szórásnégyzet a következő.

Az ön hasonlóság koncepciója az előbbiek alapján most szintén evidensé válik: a koncentráció profil alakja mindig Gauss-i. Dimenziómentes térben ábrázolva az összes profil egy egyszerű alap profilra alakul vissza, így a profilok minden t>0 időre az 1.10. ábra szerinti alakot követik.

1..10. ábra - A pillanatszerű, pontszerű forrás egy dimenziós diffúziójának önazonos megoldása végtelen domainban dimenziómentes formában

1.10. ábra. A pillanatszerű, pontszerű forrás egy dimenziós diffúziójának önazonos megoldása végtelen domainban dimenziómentes formában ábrázolva. (Socolofky-Jirka 2005 nyomán)


A Gauss-féle normális eloszlást arra is tudjuk használni, hogy előrejelezzük a jelzőanyag (vagy szennyezőanyag) mennyiségét egy bizonyos régióban. Az 1.10. ábrát tanulmányozva szembetűnik, hogy a jelzőanyag zöme a horizontális tengelyen -2 és +2 értékek között jelenik meg. A Gaussi normál eloszlásra vonatkozó táblázatok (bármely statisztika könyvben rendelkezésre áll) alapján az előbbi megállapításunkat számszerűvé is tehetjük. Pl. ± σ tartományban a jelzőanyag 64,2%-a található meg, míg a ± 2σ tartományban már az adott anyag 95,4%-át lelhetjük fel. Egy mérnöki ökölszabály tehát a következő, egy diffúziós folyamatokkal szétterjedő vizsgált jelzőanyag (szennyezőanyag) jellemzően egy 4 szélességű régióban oszlik meg, amely régió széle a koncentráció maximumtól ± 2σ távolságra található.

A koncentráció eloszlás alakja és az önazonossága

Az egydimenziós pillanatszerű pontszerű forrás megoldása alapján látható, hogy a C/Cmax arány egy egyszerű α (definiálva x = α∙σ) paraméter függvényében megadható. Nézzük meg, hogy az előbbi észrevétel segítségével hogyan számíthatjuk ki a diffúziós tényezőt a koncentráció profil adatokból.

A korábbiakból (1.77. és 1.80. egyenletek) tudjuk, hogy a maximum koncentráció egy dimenziós pillanatszerű, pontszerű forrás esetére megadható C (x,t)=M/(A∙√(4∙π∙D∙t)). Az 1.77. egyenlet átrendezve ezek alapján a következő adódik.

Az előbbi (1.85.-es egyenletbe behelyettesítve x=√(2∙D∙t) és x = α∙σ összefüggéseket kapjuk.

Ebben az egyenletben csak az α paraméter szükséges a C számításához, amely a szórás alapján történik a tömegközépponttól (legnagyobb koncentráció helye) való távolságot így jellemezve. Az előbbi kifejezés nagyon tisztán illusztrálja az önhasonlóságot: a C/Cmax arány mindig ugyanazt az értéket veszi fel egy adott α∙σ–val jellemzett helyen, függetlenül az időtől (t), a beadagolt mennyiségtől (M), vagy a diffúziós tényező (D) értékétől.

Az előbbi összefüggés nagyon hasznos a diffúziós tényező számításához. Nagyon gyakori, hogy nem tudjuk pontosan a beadagolt M értéket (vagy pont ezt akarjuk visszaszámítani), azonban mindig van lehetőségünk normalizálni az egy adott időben mért koncentrációprofil (az 1.9. ábrán látható különböző időpillanatokban) értékét a Cmax(t) felhasználásával. A normalizálást követően válasszunk egy α értéket, mondjuk 1,0-át. Az 1.85. egyenlet alapján kiszámítható, hogy a C/Cmax=0,61 az x=σ helyen. A következő lépés, hogy a kimért koncentrációprofil alapján meghatározzuk azt a helyet, ahol C/Cmax=0,61 és ezzel az x koordinátával meghatározzuk σ–t. Végül felhasználjuk az x=√(2∙D∙t) összefüggést, valamint a t ismert értékét, és ezek alapján becsüljük a D diszperziós tényezőt.