Ugrás a tartalomhoz

Környezeti transzportfolyamatok

Dr. Gribovszki Zoltán (2011)

A diffúzió

A diffúzió

Amint láttuk a környezetbeli áramlások esetében az egyik alapvető transzportfolyamat a diffúzió. A diffúzió, annak véletlenszerű természetében különbözik az advekciótól, de ez a véletlen jelleg nem feltétlenül követ egy adott folyadék részecskét. A diffúzió egyik jól ismert példája a parfümillat szétterjedése egy üres szobában Ha egy parfümös üveget kinyitnak és az illatosító szernek lehetősége van a levegőbe történi párolgásra, akkor hamarosan az egész szobában érezni lehet majd a parfüm illatát. Tapasztalatból tudjuk, hogy az illat erősebb lesz a kibocsájtási forráshoz közel és gyengébb a távolabbi pontokban, de a parfüm molekuláinak ez a megoszlása valójában a véletlen bolyongás és a turbulens mozgás következménye. Ezek alapján a diffúziónak két alapvető tulajdonsága van: az egyik, hogy véletlenszerű a természete, a másik pedig, hogy addig indukál transzportfolyamatot a magasabb koncentrációjú helyről az alacsonyabb koncentrációjú hely felé, amíg el nem érjük az egyensúlyi állapotnak megfelelő koncentráció-megoszlást.

A Fick-féle törvény

Vizsgáljuk meg alaposabban az előbbi parfüm szétterjedésével kapcsolatos példánkat, hogy a diffúzió következtében hogyan terjed a parfüm illata a magasabb koncentrációjú helyről az alacsonyabb koncentrációjú hely felé. Most már a célunk egy matematikai összefüggést levezetése, amely képes leírni ezt a szétterjedési folyamatot. A következőkben a Fischer 1979-es munkájában szereplő megközelítést fogjuk alapvetően követni.

Hogy a diffúziós fluxusra vonatkozó összefüggésünket levezessük, vegyünk példaként két sor molekulát párhuzamosan egymás mellett, ahol a két sor közötti középvonal az x=0, amint az-az 1.6. ábra a részében látszik. Ezen molekulák közül minden egyes véletlenszerűen mozog a hőmérsékletnek (Brown-féle hőmozgásnak) megfelelően. Didaktikai célokból, most csak az egyik irányú komponenst vegyük figyelembe a három dimenziós mozgásból: mozgás jobbra vagy balra az x-tengely mentén. A továbbiakban definiáljuk a részecskék tömegének balra történő mozgását Ml-el, a jobbra történő tömegátadódást Mr-el, és annak a valószínűségét (transzfer ráta per idő), hogy a részecskék az x=0 vonalon áthaladnak, jelöljük k-val, dimenzió szerint [T].

Egy adott δt idő múlva a részecskéknek átlagosan az egyik fele jobbra, a másik fele balra lép amint az 1.6. b és c ábrán látható. Megtekintve az 1.6. ábra alján található hisztogramokat, azt látjuk, hogy ezen véletlen mozgás következtében a maximum koncentráció csökken, míg a részecskéket befoglaló teljes térfogat növekszik (a részecskefelhő szétterjed).

1..6. ábra - A Fick-féle diffúziós modell

1.6. ábra A Fick-féle diffúziós modell illusztrálása a részecskék egy csoportjának egy dimenziós, ún. Brown-féle molekuláris mozgásának sematikus ábrázolásával. Az ábra felső része magukat a részecskéket mutatja, az alsó rész pedig a részecskék elhelyezkedésének megfelelő hisztogram, amely analóg a koncentrációval.


Matematikai formában leírva, a részecskék átlagos fluxusa a bal oldali oszlopból a jobb oldaliba k Ml, míg a jobb oldali oszlopból a bal oldaliba -k Mr, ahol a mínusz előjel a kitüntetett irány meghatározására szolgál. Az előbbiek szerint a részecskék nettó fluxusa qx a következőképpen számítható:

Az előbbi egy dimenziós esetre az Ml és az Mr helyett használjunk koncentrációkat:

ahol, δx az x tengely menti hossz, δy a mélység és a δz a magassága minden egyes oszlopnak.

Fizikailag δx az-az átlagos lépéshossz az x tengely mentén, amit a molekulák δt idő alatt tesznek meg. Egydimenziós esetben azt akarjuk, hogy qx az x tengelyre merőleges irányban az egységnyi felületen keresztül áramló fluxust jelképezze, így a δy δz szorzatot egységnyinek vesszük.

Következő lépésként nézzük, meg dC/dx véges differencia formában történő leírását.

Az előbbi 1.20. egyenlet a következő kifejezést adja (Ml-Mr)-re.

Figyelembe véve, hogy δx=(xr-xl) és 1.21.-et behelyettesítve 1.17.-be a következő adódik.

Az előbbi egyenlet (1.22.) két ismeretlent tartalmaz, k-t és δx-et. Fischer et al. (1979) szerint, mivel q nem függ egy önkényesen felvett δx-től, ezért feltételezhetjük, hogy a k∙(δx)2egy konstans. Ezt az adott helyzetre jellemző konstanst a jövőben diffúziós tényezőnek hívjuk (D). D-t behelyettesítve az 1.22. egyenletbe az egydimenziós diffúziós fluxus egyenletét kapjuk.

Fontos megjegyezni, hogy a diffúziós fluxus egy vektormennyiség, valamint azt, hogy mivel a koncentráció dimenziója [ML-3], ezért a diffúziós fluxus dimenziójára [ML-2T-1]. Hogy az összes anyagáramot (tömeg fluxust) számítsuk, [MT-1] mértékegységben, a diffúziós fluxust integrálni kell egy felületen (általában egy mozgásirányra merőleges felületen). Egy dimenziós esetben az számítása a következő.

ahol A= δy δz.

Az előbbi egydimenziós esetet háromdimenziósra kiterjesztve felírhatjuk a diffúziós fluxus vektort egy pontra, különböző jelölésekkel is.

Azokat a diffúziós folyamatok, amelyek az előbbi összefüggés szerint leírhatók Fick-féle diffúziós folyamatoknak hívjuk, és az 1.27.-es egyenletet pedig Fick-törvénynek.

Hogy megkapjunk egy adott felületen keresztülhaladó összes anyagáramot (, teljes tömeg fluxust), a -vektor normál komponensét integrálnunk kell a felületen.

ahol, az A felülethez tartozó normál vektor.

A víz levegő határrétegen keresztüli diffúziós fluxus példája

Az időben átlagolt oxigén profil C(z) egy tó felszínének lamináris alrétegében a következő egyenlettel határozható meg.

ahol, Csat a vízben az aktuális körülmények közötti telítettségi oxigén koncentráció, és Cl az oxigén koncentrációja a tófenéken, δ a koncentrációra vonatkozó határréteg vastagsága, és z a vertikális irányú változást jelölő változó, lefelé pozitívnak értelmezve.

A tóban jelenlévő turbulencia a felelős a δ határréteg vastagság állandó szinten tartásáért. Keressük meg azt a kifejezést, amelynek alapján a tóba jutó összes tömeg fluxust (anyagáramot) meghatározhatjuk.

A Fick-féle törvény azt mondja nekünk, hogy az oxigén profilban jelentkező gradiens fogja nekünk indukálni az oxigén tóba irányuló diffúzióját. Mivel a koncentráció x és y irányban, csak a z irányban találunk diffúziós fluxust, amely a következő egyenlettel írható le.

A koncentráció gradiens deriváltja tehát szükséges a megoldáshoz, amely jelen esetben a következő.

A tó felszínén a z értéke zérus, így a diffúziós fluxus a következőképpen számítható.

Az qz dimenziója [M/(L2T)]. Azért, hogy a teljes felszínen keresztüli anyagáramot megkapjuk, a diffúziós fluxust szorozni kell a tó felületével, Al-el. Ezek alapján a teljes tófelszínen keresztüli oxigénre vonatkozó diffúziós anyagáram megadható.

A Cl˂Csat esetére, ami általában jellemző, az anyagáram pozitív, tehát a tóba irányuló fluxust jelöl.

Diffúziós tényező

A diffúziós tényező előbbi definíciójából (D=k∙(δx)2) látható, hogy a D dimenziója [L2T-1]. Mivel a Fick-féle törvényt a molekulák Brown-féle hőmozgására írtuk fel, D egy molekuláris diffúziós tényező, amit néha Dm-nek hívunk, hogy erre a speciális tulajdonságára utaljunk. A D tényező értéke, ebben az esetben a molekulák Brown féle hőmozgásának intenzitását (energiáját és mozgásra való szabadságát) hivatott kifejezni. Előbbiek miatt a D függ a fázis milyenségétől (cseppfolyós vagy légnemű), a hőmérséklettől és a molekula mérettől. Híg vizes oldatokra a D általános nagyságrendje 2∙10-9 m2/s, míg a levegőben diszpergált gázokra 2∙10-5 m2/s. Látható, hogy 4 nagyságrendi különbség van a két fázis között (104).

Az 1.1. táblázat néhány anyag alacsony sótartalmú (0,5 ppt (parts per trillion) megadja a rendszer billió (1012) egységében az illető komponens mennyiségét ugyanazon egységben) vizes oldatának D-tényezőit ismerteti. A táblázatból látható, hogy egy adott hőmérsékleten a diffúziós tényező a molekula méretnek megfelelően (nagy molekula kisebb D) ±101–szeres tartományban változik. A táblázat alapján az is nyilvánvaló, hogy a D értéke a hőmérsékletnek megfelelően is változik. Egy 10 ℃-os hőmérsékletváltozás D esetében egy ±2-szeres változást indukál. Ezeket az előbbi megállapításokat úgy összegezhetjük gyakorlatias nézőpontból, hogy a gyorsabb és kevésbé akadályozott mozgás magasabb diffúziós tényezőt eredményez.

1..1. táblázat - 1.1. Táblázat. Néhány jellemző vízben oldott anyag molekuláris diffúziós tényezői standard nyomáson, két hőmérsékleti érték mellett (b, 20 ℃-on; c, 10 ℃-on)

Oldott anyagKémiai szimbólumDiffúziós tényező (b) (10−4 cm2/s)Diffúziós tényező (c) (10−4 cm2/s)
hidrogén ionH+0.850.70
hidroxid ionOH-0.480.37
oxigénO20.200.15
szén-dioxidCO20.170.12
hidrogén karbonátHCO3-0.110.08
karbonátCO3-0.080.06
metánCH40.160.12
ammóniumNH4+0.180.14
ammóniaNH30.200.15
nitrátNO3-0.170.13
foszforsavH3PO40.080.06
dihidrogén-foszfátH2PO4-0.080.06
foszfátHPO42-0.070.05
kén-hidrogénH2S0.170.13
hidrogén-szulfidHS-0.160.13
szulfátSO42-0.100.07
szilikaH4SIO40.100.07
kalcium ionCa2+0.070.05
magnézium ionMg2+0.060.05
vas ionFe2+0.060.05
mangán ionMn2+0.060.05

forrás:http://www.talknet.de/~alke.spreckelsen/roger/thermo/difcoef.html

A diffúziós egyenlet általános alakja

Bár a Fick-féle törvény a diffúziós folyamatokra tekintettel ad ugyan egy kifejezést az anyagáramokra vonatkozóan, azonban még mindig szükségünk lenne egy olyan egyenletre, ami a szétdiffundáló tömeg idő szerinti koncentrációváltozásait adja meg a tér egy pontjában. Ebben a fejezetben azt fogjuk meglátni, hogy egy ilyen egyenlet hogyan vezethető le az anyagmegmaradás törvényéből.

A diffúziós egyenlet levezetéséhez vegyünk egy kontrol térfogatot (CV), az 1.7 ábra szerint. Egy adott nyomjelző anyag tömegének (M) időbeli megváltozása ebben a kontrol térfogatban (CV) az anyagmegmaradás törvénye szerint a következőképpen írható le.

Abból a célból, hogy diffúziós fluxust számoljunk a kontrol térfogatba be (in) és onnan ki (out) használjuk a Fick-féle törvényt, amely az x irányba felírva a következőt adja.

Ahol az in és out a kontrol térfogatba belépő és kilépő felszíneken vannak.

1..7. ábra - A differenciális kontrol térfogat

1.7. ábra A diffúziós egyenlet levezetésénél használt differenciális kontrol térfogat (forrás Sokolofsky-Jirka 2005)


Hogy az összes anyagáramot () megkapjuk, a diffúziós fluxust (qx) meg kell szoroznunk a kontrol térfogat (CV) megfelelő felületével (A= δy δz). Az előbbiek szerint, hogy a következő egyenlet szerint kaphatjuk meg a nettó anyagáramot (anyagáram változást) az x irányba, amely tulajdonképpen az 1.32. egyenlet jobb oldalát jelenti.

Hogy folytathassuk, egy módszert kell találnunk aminek a segítségével kifejezhetjük a ∂C/∂x tagot a kilépő, out felületen. Ehhez a feladathoz használjuk a lineáris Taylor sorba fejtést, mint egy fontos lineáris approximációs függvényt. A Taylor sorba fejtés általános formája a következő:

ahol a HOTs feloldása higher order terms, magyarul magasabb-rendű tagok. A ∂C/∂x–et helyettesítve az f(x) helyére a Taylor sorban adódik:

A Taylor sorba fejtés lineáris változatánál elhanyagoljuk a HOTs-t. Az előbbi 1.37. egyenletet behelyettesítve a nettó anyagáramra vonatkozó 1.35.-as egyenletbe és a helyettesítés után is megmaradó in kifejezést elhagyva a következőt kapjuk:

Az y és z irányokban a kontrol térfogaton keresztüláramló nettó fluxusokat hasonlóképpen számítjuk:

Mielőtt a kapott eredményeket a fejezet elején lévő 1.32.-es egyenletbe behelyettesítjük, szintén át kell konvertálnunk az M tömeget koncentrációba, felhasználva, hogy M=C∙δx∙δy∙δz. A koncentrációt (C) és a nettó anyagáramokat () behelyettesítve 1.32-be a háromdimenziós diffúziós egyenletet kapjuk (amely különböző jelölésrendszereket is felhasználva) a következőképpen néz ki.

Az egyenlet a környezetben lejátszódó transzportfolyamatok egyik alapegyenlete.

Az egydimenziós diffúziós egyenlet

Egydimenziós esetben az y és z irányú koncentráció gradiens zérus és megkapjuk az egydimenziós diffúziós egyenletet:

Álljunk meg egy pillanatra az 1.42.-es egyenletnél, hogy rámutassunk néhány kulcsfontosságú dologra.

• Először is az 1.42. egyenlet az idő szerint elsőrendű differenciálegyenlet, tehát a megoldáshoz el kell látnunk egy kiindulási feltétellel. A megoldása nempermanens, másképpen instacioner, amely szavak azt jelentik, hogy időben változó. Azért, hogy a permanens vagy más néven stacioner megoldást kapjunk az 1.42.-es egyenlet bal oldalán a ∂C/∂x tagot egyenlővé kell tenni zérussal, és ebben az esetben a megoldás nem is igényel kiindulási feltételt. A stacioner megoldása az 1.42.-nek maga a jól ismert Laplace-egyenlet.
• Másodszor az 1.42. térben másodrendű, így két határfeltételt igényel, és a kapott megoldás a térben változó.
• Harmadrészt az 1.42.-es egyenlet formája teljesen megegyezik a hővezetési egyenlettel, ahol a D diffúziós tényezőt a κ hővezetési tényező helyettesíti. Ez az észrevétel jól egyezik azzal az általános benyomással, hogy a hő a meleg helyekről a hideg helyek felé vezetődik tovább (diffundál), éppúgy, mint ahogy a koncentráció diffúziósan szétterjed a magasabb koncentrációjú hely felől az alacsonyabb koncentrációjú helyek felé. Ez az analógia azért is fontos, mert a hővezetés egyenletének számos megoldása már ismert (Sokolofsky-Jirka 2005). Az előbbi analógia egyébként a felszín alatti szivárgási folyamatoknál is fennáll, ahol a D helyére a k szivárgási tényező kerül, a C koncentrációt pedig a h hidraulikus nyomás helyettesíti. A felszín alatti közegben lejátszódó transzportfolyamatok esetére, azok környezetbeli szennyeződések tekintetében betöltött fontossága miatt térjünk ki egy kicsit részletesebben..

Telített közegben a permanens vízmozgást az alábbi egyenlet írja le:

Ez tehát a matematikában jól ismert Laplace-egyenlet, melynek megoldása mutatja meg a h piezometrikus szint (hidraulikus nyomásszint) nagyságát bárhol egy felszínalatti közeg háromdimenziós áramlási terében.

Amennyiben a felszín alatti közeg anizotróp (fizikai jellemzői a tér kitüntetett irányaiban eltérőek), akkor a szivárgási tényező vektor kx, ky és kz komponensei nem egyenlőek és ekkor a szivárgás alapegyenlete anizotróp, porózus, telített közeg esetére permanens állapotot feltételezve:

ahol kx, ky és kz a szivárgási-tényező tenzor főátlójának elemei.

A nem-permanens szivárgás telített földtani közegre érvényes alapegyenlete:

ahol, Ss a fajlagos tárolási tényező (L-1]. A fajlagos tárolási tényező az egységnyi nyomásszint-változás hatására a kőzet kompressziója (α) miatt, illetve a pórustérben (n) tárolt víz tágulása (kompresszibilitási tényezője β) miatt felszabaduló vízmennyiség összege (Ss=ρ∙g∙(α+n∙β), ahol g a gravitációs gyorsulás). Példaképpen a tárolási tényező egy zárttükrű vízadóban megmutatja, hogy mekkora vízmennyiség szabadul fel egy egységnyi felületű részén a vízadónak, miközben a nyomásszint egységnyit csökken. A tárolási tényező dimenziónélküli szám, nagysága a 0,005-0,00005 intervallumban szokott változni.

Amennyiben a közeg izotróp és homogén, akkor a matematikában diffúzió-egyenletként ismert formulát kapjuk vissza:

A felszín alatti földtani közeg áramlási terében tehát a h hidraulikus nyomásszintek változása a térben és az időben a k szivárgási tényező, α közeg összenyomhatóság és n hézagtérfogattól, mint közegjellemzőtől, és a folyadék β összenyomhatóságától és ρ sűrűségétől függ (Kovács 2004).