Ugrás a tartalomhoz

Környezeti transzportfolyamatok

Dr. Gribovszki Zoltán (2011)

Alapfogalmak, lényeges kérdések és definíciók

Alapfogalmak, lényeges kérdések és definíciók

Egyszerűen fogalmazva a környezetben lejátszódó transzportfolyamatok közül itt most azokra a folyamatokra koncentrálunk, amelyek a közegben lévő anyagok koncentrációváltozásával állnak kapcsolatban.

A fent említett folyamatokat két nagyobb csoportba sorolhatók: transzport és transzformációs folyamatok.

A transzport felel meg azoknak a folyamatoknak, amelyek az egyes anyagokat mozgatják a hidroszférában, ill. az atmoszférában tisztán fizikai jellegüknél fogva. Ennek analógiája a postaszolgálat. Ez egy olyan transzport, amelynek során a levelek, mint vizsgált anyag, az egyik helyről egy másikra jutnak el. A posta szállító autója az analóg megfelelője a folyadéknak és a levél maga annak a kémiai anyagnak a megfeleltetése, aminek az útját figyelemmel kísérjük. A transzportfolyamatok két alapvető módja a környezeti áramlástanban az advekció (a folyadék átlagos mozgásával kapcsolatos transzport) és a diffúzió (a folyadék belsejében a véletlenszerű mozgás által előálló transzport).

A másik lényeges folyamat a transzformáció, ami azoknak az átalakulásoknak felel meg, amelyek az általunk vizsgált anyagot egy másik anyaggá alakítják át. Kapcsolódva az előbbi analógiánkhoz, transzformáció például, amikor egy másodlagos nyersanyagokat felhasználó gyárban az előbbi levelünkből egy cipős dobozt készítenek. A transzformációnak két alapvető módja van: a fizikai (a transzformáció a fizika törvényein alapul, mint pl. a radioaktív bomlás); és a kémiai (a transzformáció kémiai, illetve biokémiai reakciók alapján megy végbe, ilyen például az oldódás és a légzés).

A mérnöki gyakorlatban, a környezeti áramlástan egy eszközrendszert ad, pl. egyrészt a létfontosságú tápanyagok és egyéb kémiai anyagok ökoszisztémán keresztüli mozgásának becsléséhez; másrészt a toxikus szennyezőanyagok transzportjának megértéséhez és így a szennyezések hatásainak kiküszöböléséhez valamint lokalizálásához; harmadrészt pedig az emberiség globális klímára való ráhatásának minimalizálásához. Vegyük ezeket a példákat kissé részletesebben.

1. Az ökoszisztéma dinamikája: A táplálék az élő szervezetek számára olyan forrást jelent, amiből energiát hasznosítanak és annak tápelemeiből testüket is felépítik. A vizekkel foglalkozó mérnöknek pl. ismernie kell ezen tápanyagok mennyiségét, átalakulási útjait, ha meg akarja becsülni az egyes fajok populációinak alakulását a jövőben. Ilyen populációk például az algák, amelyeknek a növekedése és a pusztulása a fitoplankton és a zooplankton dinamikáját adja a vizekben. Néhány közönséges tápanyag és létfontosságú kémiai anyag az oxigén, a szén-dioxid, a foszfor, a nitrogén, a fémek egy része, stb.

2. Toxikusság: A toxikus kémiai anyagok esetében a mérnöknek szükséges ismernie és megértenie a természetben lejátszódó transzport és transzformációs folyamatokat, hogy olyan tevékenységet tudjon tervezni, ahol minimalizálható a toxikus koncentrációk megjelenése egy ésszerű haszon megtartása mellett. A legismertebb toxikus kémiai anyagok pl. a nehézfémek (ólom, cink, kadmium, stb.), a radioaktív anyagok (uránium, plutónium, stb.), és az erősen mérgező valamint karcinogén anyagok (PCB-k, szén-monoxid, arzén, erős savak, stb.).

3. Globális klímaváltozás: Néhány kémiai anyag a globális klimatikus rendszerre kifejtett hatásai miatt is érdekes. Ilyen említésre érdemes anyagok a CFC-k (halogénezett szénhidrogének), amelyek az ózonréteget rombolják, az üvegházhatást fokozó gázok, különösen a szén-dioxid és a metán, amelyek a globális felmelegedést fokozzák és a más összetevők közül a szulfát aeroszolok, amelyek a Föld légkörének sugárzásvisszaverő-képességére vannak hatással a felhőképződésen keresztül.

Fontos emlékeztetni a következőkre, egyrészről hogy majd minden kémiai anyag szükséges egy bizonyos szinten az élet fenntartásához, valamint arra is, hogy a kémiai anyagok antropogén bevitele a környezetbe az ipari termelés szükséges mellékterméke. A mérnökök a környezeti áramlástanban szerzett ismereteik alapján képesnek kell lenniük, hogy a negatív környezeti hatások kiküszöbölésére és a balesetek következményeinek enyhítésére a mérnöki projektek tervezésének optimalizálásával.

Néhány mintapélda a környezeti áramlástan területéről

Bár a környezeti áramlástan olyan folyamatokkal foglalkozik, amelyekkel a környezetünkkel való természetes kapcsolatunk folytán gyakran találkozunk, a mérnöki alkalmazás ezen egyszerű jelenségeknek azonban nem túl gyakran képezik a tananyag tárgyát. Így a diákok gyakran találhatják magukat olyan helyzetben, hogy fogalmakat és a terminológiát értik, de nem érzik a fontosságát és nem tudják alkalmazni a szerzett ismereteket a gyakorlati problémákra. Ez a jelenség abból is fakad, hogy egy egész sereg új egyenletet kell elsajátítaniuk mielőtt még egy jelentősebb tervezési problémával megbirkózhatnának. Itt a bevezető részben próbálunk arra figyelmet fordítani, hogy megismertessük az olvasót néhány tipikus problémával és ezen problémák környezeti áramlástani vonatkozásaival, hogy egy kis kedvet csináljunk, a későbbi sokkal alaposabb tanulmányokhoz valamint, hogy egy bizonyos gyakorlati keretet adjunk a későbbi levezetéseknek.

Szennyeződés terjedése egy zárt helyiség levegőjében

A kémiai anyagok, amelyekkel legtöbbször kapcsolatba kerülünk, a leggyakrabban a levegőn keresztül jutnak el hozzánk, amit belélegzünk. A két lényeges transzport folyamat az advekció (itt a szél vagy a levegőztető rendszer által létrehozott légáramlattal történő együttmozgás) és a diffúzió (itt a vizsgált anyag véletlen bolyongása következtében végbemenő fokozatos szétterjedés). Ez a folyamat sematikusan az 1.1. ábránemphasis> látható.

1..1. ábra - Az advekció és a diffúzió

1.1. ábra. Egy zárt helyiségben az elkeveredési folyamatok sematikus megjelenítése. A vizsgált anyag pontforrása a zárt helyiség bal alsó sarkában található. Az elkeveredés a helyiségbe érkező és távozó, a levegőztető rendszer által előidézett, főáramlás és a cirkuláló levegőben lezajló véletlen mozgások következménye. (Socolofsky-Jirka 2005 nyomán)


Amikor a mérnökök egy épület belső levegő-keringető rendszerét megtervezik, az egyik fontos dolog, amit szem előtt kell tartaniuk, hogy a rendszer megfelelően elkeverje a bejutatott levegőt (vagyis ne legyenek holt terek, ahol az esetlegesen káros anyagok fel tudnak halmozódni) és a levegő gyakori frissítése is megtörténjen (a régi levegőt az új lecserélje). A környezeti áramlások tanulmányozása olyan eszközrendszer alkalmazását segíti elő, aminek a felhasználásával becsülni tudjuk az elkeveredés mértékét és jobban működő rendszereket tudunk tervezni. Az újonnan tervezett rendszerek csendesebbek, energiatakarékosabbak lehetnek, vagy nagyobb mértékben hasznosíthatják a kinti és benti hőmérsékletkülönbségek miatt előálló természetes ventillációt (pl. kémény statikus huzata). Az első nagyobb anyagrész, amely majd az advekciós-diszperziós folyamatokat tárgyalja, közvetlenül ezekkel az előbb említett problémákkal és az ezek megoldásához szükséges tervezéssel foglalkozik.

Szennyeződés elkeveredése egy folyóban

Mivel a folyóvizek könnyen elérhetőek (gravitációsan) és a kémiai anyagok hatékony transzportját oldják meg az alvízi területek felé, ezért elsődleges befogadói az ipari és kommunális folyékony hulladékok teljes tárházának. Az 1.2. ábra egy folyóba bejutó ipari kibocsátó pontszerű szennyezésének alakulását mutatja a vízfolyáson lefelé kétdimenzióban, hossz és keresztirányban.

1..2. ábra - Egy folyóba bejutó ipari kibocsátó pontszerű szennyezésének alakulása

1.2. ábra. Egy ipari kibocsátó pontszerű szennyezése egy természetes vízfolyás, mint befogadó, esetében. Ahogy a szennyezőanyag csóva lefelé mozog a vízfolyáson keresztirányban a partok felé szétterjed a diffúzió és az advekció együttes hatására. (Socolofsky-Jirka 2005 nyomán)


Általában a legvalószínűbb, hogy a települések szennyvíztisztítói által valamilyen mértékben megtisztított vizek is a helyi vízfolyásba vagy állóvízbe jutnak. Bármilyen jól működik is a telep, a kibocsátott tisztított szennyvíz valószínűleg még mindig tartalmaz tápanyagokat, amelyek előmozdítják az alga és a baktérium tömeg növekedését a víztestben, folyásirányban a bebocsátás alatt. A víztest minőségében bekövetkező ilyen irányú változások általában problémákat idéznek elő az oxigénforgalomban (csökkentik az oldott oxigén szintet) és előmozdítják a víztest eutrofizációját, különösen igaz ez abban az esetben, ha tóról vagy tározóról van szó. Jelenleg a legtöbb szakértő egyetért abban, hogy nem a pontszerű szennyezések okozzák majd az igazán jelentős környezetvédelmi problémákat a jövőben az állóvizek és a vízfolyások esetében. A pontszerű kibocsátások ugyanis könnyen kontrolálhatók és az olyan egységes vízügyi szabályozásokkal, mint pl. az Európai Uniós Víz Keretirányelv, elsősorban ezen szennyezések esetében lehet erősebb hatósági kontrollal sikereket elérni a kidolgozott vízminőségi standardok alapján. A nem-pontszerű forrásból származó szennyezések azonban (ezek azok a hatások, amelyek nem egy megadott helyen definiált adott keresztmetszetű csövön érkeznek a víztestbe, hanem diffúz módon egy meglehetősen nehezen meghatározható területről érkeznek) egyre nagyobb részét fogják majd kitenni a jövőben az összes szennyezésnek.

Egy definíció szerint a talajban, a levegőben, vagy esetünkben, a vízben azt a szennyezőanyag terhelés összetevőt tekintjük nem-pontszerű, vagy más néven diffúz szennyezésnek, amelyik az adott vízgyűjtőn, a rendelkezésre álló adatok ismeretében, nem határozható meg pontszerű források emissziójaként egy adott pontra vonatkozó anyagmérlegben. Az előbbi definícióból az is következik, hogy minden nem mért pontszerű forrás terhelése is nem pontszerű forrásként jelentkezik. A vízgyűjtő részletesebb feltárása esetén ezek az előbbi diffúz források már pontszerű forrásként azonosíthatóak (Jolánkai-Bíró 1999).

A pontszerű és nem pontszerű forrásokból származó szennyezőanyagok sorsát (1.3. ábra) alapvetően a csapadék lefolyási folyamatok határozzák meg, de a hidrológiai körfolyamat egyéb elemei is közvetlen vagy közvetett hatással vannak a vízben lévő anyagok szállítási és átalakulási folyamataira (Jolánkai-Bíró 1999).

1..3. ábra - A szennyezőanyagok föbb áramlási útvonalai

1.3. ábra. A szennyezőanyagok főbb áramlási útvonalainak szemléltetése (forrás Jolánkai 1989)


Azért, hogy a pontszerű forrásokból származó kibocsátásokat kontrolálni tudjuk, a mérnöknek általában a közeli (közvetlenül a forrásnál jelentkező) és a távoli (folyásirányban lefelé, de távolabb fekvő) hatásokat egyaránt értékelnie kell. A közeli hatásoknál általában a diffúziós folyamatok dominálnak, amelyek a szennyezés környezetbeli gyors elkeveredését okozzák. A távoli hatásoknál az advekció és a diszperzió (a vízfolyásokban a nem egyenletes, vertikális és keresztirányú sebességmegoszlás, más néven nyíróáramlás miatt jelentkező hatás), valamint a transzformációs folyamatok dominálnak. A transzformációs folyamatok azonban hosszabb távon meg is szüntethetik a szennyezőanyag jelenlétét a természetes biodegradáció következményeképpen. Az előbbi folyamatok közül a kurzus részletesen az advekció, a diffúziós és a diszperziós folyamatokkal foglalkozik, a transzformációs folyamatok terjedelmi korlátok miatt nem taglaltak.

Oxigén kicserélődése a víz és a légkör között

Nem minden a transzportfolyamatok és a környezeti áramlástan által érdekesnek tartott és vizsgált anyag veszélyes. Az egyik ilyen fontos, de nem ártalmas anyag az oxigén, amelynek jelenléte a légzés alapvető feltétele. Az oxigén koncentrációja csökkenhet például a vízben lévő szerves anyagok biokémiai lebomlása következtében. Ez a csökkenés azért jelentkezhet elsődlegesen, mert a víz és az atmoszféra között az oxigén kicserélődési rátája viszonylag lassú. Amikor a vízfázisban lévő, a levegőbeli parciális páranyomással egyensúlyt tartó, oxigén ún. egyensúlyi koncentrációja lecsökken, akkor oxigén beoldódás indul meg a légtérből a víztérbe és ott a víztér felszíni rétegeiből diffúzióval jut a víztér mélyebb rétegeibe. Ezt a folyamatot hivatott jelképezni az 1.4. ábra.

Ez a folyamat egy karakterisztikus jellemzője a diffúziónak, hogy az adott anyagot, annak magasabb koncentrációjú régiójából az alacsonyabb koncentrációjú régiójába juttatja. Ha nem ez lenne a helyzet, akkor például egy parfüm illata soha nem terjedne szét, hanem az adott helyen lenne pl. egyre erősebb és erősebb, vagy a kiindulási koncentrációban maradna örökre a kijuttatás helyszínén. Ehelyett azonban a diffúziós folyamat, a rá jellemző szokásos módon, csökkenti a parfüm koncentrációját a forrásnál és a parfüm illatát, annak szétterjedése miatt, előbb utóbb távolabb is meg lehet érezni.

1..4. ábra - Az oxigén diffúziója a víztestbe a víz-légkör határátmeneten keresztül

1.4. ábra. Az oxigén diffúziója a víztestbe a víz-légkör határátmeneten keresztül. A sötét területek jelképezik a magasabb oxigén koncentrációjú, a világosabb részek az alacsonyabb oxigéntartalmú rétegeket. (Socolofsky-Jirka 2005 nyomán)


Légköri elkeveredés egy kémény környezetében (más ábra)

Valószínűleg az egyik legjellemzőbb kibocsátása a szennyezőanyagoknak a környezetbe egy gyár vagy egy hőerőmű kéményén keresztül történő füstkibocsátás, ami csóvaszerűen jelenik meg (1.5. ábra). A füstfelhőben bekövetkező kondenzációs folyamatok miatt a kibocsátott gáz láthatóvá válik egy füstcsík vagy felhősáv formájában. Hasonló jelenséget tapasztalunk az autók kipufogója környékén a hideg téli napokon. Nyáron, amikor az autóból származó kipufogógáz nem látható, kevésbé gondolunk azokra a kémiai anyagokra, amelyek az autónkból származnak, amikor azonban a hideg levegő látható teszi ezeket az anyagokat meglepődünk. A transzportfolyamatok tématerület jól használható a környezetben megjelenő áramlások leírására, hogy pl. előre jelezzük a gázok koncentrációját mind nyáron, mind télen vagy, hogy kibocsátó, ill. szellőzőrendszereket tervezzünk autók vagy gyárak számára, olyan módon hogy a káros anyagok ne jelenhessenek meg toxikus koncentrációban a környezetben.

1..5. ábra - Egy gyár vagy egy hőerőmű kéményén keresztül történő füstkibocsátás

1.5. ábra. Egy ipari létesítmény atmoszférába történő kibocsátása kéményen keresztül. A füstfáklya az átlagos szélmezőnek megfelelően mozog és terül szét a széliránnyal ellentétes irányban. (Socolofsky-Jirka 2005 nyomán)


A koncentráció definiálásal

Abból a célból, hogy értékeljük mennyi kémiai anyag van jelen egy folyadék bármelyik régiójában, szükséges hogy számszerűen jellemezzük az adott kémiai anyag intenzitását, ill. jelenlétét. Ezt az alapvető mennyiséget a transzportfolyamatoknál koncentrációnak nevezzük. Általános szóhasználat szerint a koncentráció fogalma egy adott anyag mennyiségének jellemzésére szolgál egy elegyen belül.

Matematikailag a C koncentráció általában egy adott összetevő tömegének (Mi) az aránya a teljes elegy térfogatához (V) viszonyítva.

A koncentráció dimenziója ebben az esetben [ML-3], a leggyakoribb mértékegységek szerint mg/l, kg/m3, stb.. Egy vagy kétdimenziós problémák esetében a koncentráció esetlegesen kifejezhető tömeg per egységnyi szegmens hossz [ML-1] vagy tömeg per egységnyi felület [ML-2] dimenzióban.

Egy másik lehetőség a tömegarány (χ) alkalmazása, ami az adott összetevő tömegének (Mi) viszonya az elegy összes tömegéhez (M) képest.

A tömegarány dimenzió nélküli, mégis gyakran fejezik ki eltérő nagyságrendű tömegre vonatkozó mértékegységekkel, mint pl. mg/kg, parts per million (ppm) vagy parts per billion (ppb).

A kémikusuk által elterjedten használt koncentráció definíció a moláris koncentráció θ. A moláris koncentrációt úgy definiáljuk, mint egy összetevő móljainak (Ni) a számát az összes térfogathoz (V) viszonyítva.

A moláris koncentráció dimenziója a molekulaszám/L3, jellemző mértékegységei a mol/l és a mmol/l. Hogy a moláris koncentrációval dolgozni lehessen ismerni kell a vegyületet alkotó atomok súlyát a periódusos rendszer szerint pl. g/mol mértékegységben és tudni kell, hogy egy mól 6,022*1023 db molekulát jelent.

Annak a kiválasztása, hogy melyik koncentráció definíciót részesítjük előnyben általában a feladatnak megfelelően történik. Arra is figyelni kell azonban, hogy az alkalmazott koncentráció formula mértékegységei megfeleljenek annak az egyenletnek, amelyiket az adott összetevő transzportjának és jövőbeli sorsának az előrejelzésére használunk. Egy gyakori probléma ered abból a tényből, hogy a tömegarányt és a klasszikus koncentrációt gyakran használják egymással felcserélve a vizes rendszerekben történő folyamatok esetében. Az előbbi dolog oka, hogy a tiszta víz sűrűsége 3,98°C-on 1 g/cm3, ami a hagyományos koncentrációban mg/l-ben és a tömegaránnyal ppm-ben kifejezett értékeket azonossá teszi. Kifejezett figyelmet kellene azonban szentelni az előbbieknek, a tengervíz vagy az atmoszféra esetében, ahol a ppm és a mg/l nem azonosak. A konklúzió tehát a következő, minden esetben ellenőrizni kell a mértékegységeket. Ezáltal el is jutunk a következő alapvető kérdéshez a dimenzióvizsgálat módszeréhez.

Dimenzió analízis

Egy nagyon hasznos elemzési technika, amit a tananyagban többször is alkalmazni fogunk a dimenzió analízis. A dimenzió analízis koncepciója mögött az áll, hogy ha definiálni tudunk olyan paramétereket, amelyektől a vizsgált folyamat függ, akkor tudnunk kellene ezeket a paramétereket használni, általában dimenzió nélküli változók formájában, úgy hogy mindenféle skálán képesek legyünk leírni ezekkel a folyamatot (nemcsak azon a skálán, amit a laboratóriumban vagy a terepen mérünk).

A dimenzióanalízis a Buckingham-féle π elméleten alapszik (Fischer et al. 1979, Lajos 2008). Vegyünk egy folyamatot, amelyet n db fizikai mennyiség ír le. Az összes fizikai mennyiség (változó) r db különböző fizikai alapdimenziót tartalmaz (pl. hossz, idő, tömeg, hőmérséklet, stb.). A Buckingham-féle π elmélet azt állítja, hogy n-r féle dimenziótlan csoport formálható ezekből a vezérlő fizikai mennyiségekből. Amikor ezeket a dimenziótlan csoportokat formáljuk, kizárólag az egyik dimenziótlan csoportban kell tartanunk a függő változónkat (amelyet előre akarunk jelezni) vagy másik oldalról megközelítve el kell kerülnünk, hogy a dimenziótlan csoportokban ismétlődjön a függő változónk (Fischer et al. 1979).

A leggyakoribb transzportfolyamatokban szereplő fizikai mennyiségek dimenziói általában a mértékegységrendszer három fizikai alapmennyiségére, a tömegre [M], a hosszúságra [L] és az időre [T] vezethetők vissza. Az SI-ben leggyakrabban használt mértékegységeik sorrendben a tömeg esetében a kilogramm (kg), a hossz esetében a méter (m) és az időnél a szekundum (s). Kiindulásként tegyük fel, hogy valamennyi Q fizikai mennyiség dimenzió szempontjából előállítható a fizikai mennyiségek dimenziónak (a következőkben a dimenziók helyett sokszor azok egyszerű mértékegységeit használjuk) hatványainak szorzataként, pl.

Adott leggyakrabban n>3 fizikai mennyiség: Q1, Q2, ..., Qn. A probléma megoldása során az f(Q1, Q2, …, Qn) függvényt akarjuk meghatározni. A Q fizikai mennyiségek dimenziói az előbbiek szerint a következőképpen állíthatók elő:

Az aij kitevőket ismerjük, hiszen a jelenségben szerepet játszó fizikai mennyiségek dimenziói ismertek (pl. ha az egyik Qi a v sebesség [L T-1] abban az esetben: a1i=0, a2i=1 és a3i=-1). A kérdés az, hogy létezik–e a vizsgálandó jelenségségben szereplő fizikai mennyiségek hatványainak szorzataként előállítható dimenziótlan csoport, a következő alakban:

és ha igen, hány ilyen egymástól független csoport van? A következőkben írjuk fel a 1.6. összefüggés dimenzióegyenletét, figyelembe véve a 1.5. kifejezéseket:

Az 1.7. egyenlet segítségével az M, az L és a T hatványkitevőiből három egyenletből álló egyenletrendszer határozható meg:

A k1, k2, …, kn darab ismeretlenre, mint látjuk egy három egyenletből álló lineáris egyenletrendszert kapunk. Képezzünk az aij kitevőkből egy ún. dimenziómátrixot:

Az 1.9. dimenziómátrix rangja r, amennyiben létezik r-ed rendű, zérustól különböző aldeterminánsa, de nem létezik r+1-ed rendű, nem zérus értékű aldeterminánsa (megjegyzendő, hogy az r általában a fizikai alapmennyiségek számával egyenlő, esetünkben r=3).

Amennyiben a dimenziómátrix rangja r, akkor az 1.8. egyenletrendszernek n-r független megoldása van (ugyanis ennyi összetartozó k1, k2, …, kn értékből álló csoport létezik). Az előbbi megállapítás azt jelenti, hogy n-r dimenziótlan π csoport képezhető, tehát a kísérletileg vizsgálandó változók száma általában a fizikai alapmennyiségek számával, az előbbiek szerint például hárommal, csökkenthető (Lajos 2008).

A dimenzióanalízis alkalmazásának lépései összefoglalva:

• A jelenséget befolyásoló fizikai mennyiségek (Q1, Q2,……, Qn változók) meghatározása.
• A jellemző fizikai alapmennyiségek (pl. tömeg, hossz, idő) meghatározása és a változók dimenziójának felírása ezek szerint.
• A dimenziómátrix felállítása és rangjának meghatározása.
• Az egyenletrendszer megoldása (n-r megoldás meghatározása).
• A π123,…,πn-r dimenziótlan csoport képzése.

Amint megkaptuk az n-r dimenziótlan π csoportot, a Buckingham-féle π elmélet tovább is segít nekünk az egyes változók egymáshoz képesti viszonyának meghatározásában a következő egyenlet szerint:

ahol, πi az i-edik dimenziótlan csoport.

Amint látni fogjuk ez a módszer nagyon hatékonyan használható a komplex fizikai problémák esetében arra, hogy egyszerűbb mérnöki megoldásokat találjunk rájuk.

Alkalmazás a Reynolds szám példáján

Példaként vegyük azt a problémát, amikor az egyik első áramlástani alapként az áramlás turbulensé válásának feltételeit vizsgáljuk. Ebben az esetben a függő változónk egy minőségi jellemző, hogy az áramlás lamináris vagy turbulens és ez a jellemző nem rendelkezik dimenzióval. Azok a független változóink, amelyek befolyásolják az áramlás lamináris vagy turbulens voltát a következők: a sebesség (u), az áramlást zavaró hatások, amelyek hossz-menti kiterjedésükkel (l) jellemezhetőek, és a folyadék belső tulajdonságai, úgy mint a sűrűség (ρ), a hőmérséklet (hőm) és a dinamikus viszkozitás (μ). Elsőként azt kell észrevennünk, hogy a ρ és a μ a hőmérséklet függvényei, így mindhárom változó nem kezelhető függetlenként. A leginkább elfogadott és alkalmazott megoldás az, hogy a dinamikus viszkozitás és a sűrűség hányadosaként képezzük az ún. kinematikus viszkozitást:

Ez után az egyszerűsítés után három fizikai mennyiséget (változót u, l és ν) kaptunk (n=3), amelyek két fizikai alapmennyiséggel, dimenzióval (az l hosszal [L] és a t idővel [T]) bírnak.

Egyszerűbb esetekben, mint amilyen ez is, a következő lépés lehet közvetlenül a dimenziótlan csoportok formálása:

Tehát a fentiek szerint minden változónak (u [LT-1], l [L], ν[L2T-1]) keresünk egy kitevőt és minden dimenzióra külön egyenletet írunk fel, vagyis:

és azt akarjuk, hogy az egyes dimenziók kinullázódjanak, ami most az esetünkben két egyenletet jelent:

T (az idő esetében) 0 = -k1 -k3, L (a hossz esetében) 0 = k1 + k2 + 2 k3

A t-re vonatkozó egyenletből kapjuk, hogy k1 = -k3, és a hosszra vonatkozó egyenletből pedig kapjuk, hogy k2 = -k3, mivel a rendszer alulhatározott, szabadon vehetjük fel k3 értékét. A legegyszerűbb feltételezés, ha k3=1-et választunk, ekkor a k1 = k2 = -1. Ezek alapján a π1-re a következőt kapjuk:

A kapott dimenzió nélküli kombináció éppen az inverze a jól ismert Reynolds-számnak (Re), így az előbbiek alapján a dimenzióanalízis segítségével sikerült meghatároznunk a folyadék turbulens vagy lamináris állapotának jellemzőjeként a Reynolds számot, ami a klasszikus hidraulika egyik leggyakrabban használt jellemzője:

Alkalmazás az elkeverdés jellemzésének példáján

A környezetben lejátszódó transzportfolyamatok esetében, gyakran akarjuk azt megtudni, hogy milyen sokáig tart, amíg egy kémiai anyag megtesz egy bizonyos távolságot, illetve milyen sokáig tart egy adott koncentrációra (általában előírt határértékre) történő hígulása. Ezen probléma esetében három fizikai mennyiséggel (változóval) dolgozunk: l, az a távolság, amely fölött a kémiai anyag már kellőképpen felhígul, szétterjed; D, a környezetbeli szóródás mértéke, az ún. diffúziós ráta vagy tényező; és a taz idő. Bár eddig még definíciószerűen nem vezettük be a D-t, mint a diffúzió jellemzésére szolgáló mennyiségét, annyit szükséges tudnunk, hogy a dimenziója [L2T-1], valamint azt, hogy a nagy D értékek gyors elkeveredést, a kis D értékek pedig lassú környezetbeli szóródást jeleznek. Az előbbiek alapján három változónk van (l, D, t), amelyek két dimenzióval a hosszal [L] és az idővel [T] jellemezhetőek. Alkalmazva a Buckingham-féle π elméletet, a következő dimenziótlan számot kapjuk:

A későbbiekben látni fogjuk, hogy az így kapott jellemzőnket Peclet-számnak hívják.

Ha azt akarjuk tudni, hogy a diffúzió hatására egy adott kémiai anyag milyen l távolságra jut t idő alatt, akkor átrendezve és l-re megoldva az előbbi dimenzió nélküli számra létrehozott egyenletünket, azt kapjuk, hogy: l∝√(D∙t).

Az előbbi egyenlet a környezeti áramlástan klasszikus skálázási törvénye, és ez az a képlet, amit szinte a leggyakrabban fogunk használni jelen tananyagban. Az arányossági tényező a különböző geometria szerint ugyan változni fog, de a skálázási törvény érvényessége mindig megmarad. Az előbbiekből eredően a √(D∙t) tényezőt nevezzük a diffúzió hossz léptékének.

Ezen bevezető rész alapozó információnak ismeretében most már készek vagyunk arra, hogy elkezdjük a diffúziós folyamatok mélyebb tárgyalását kellő matematikai alapossággal.