Ugrás a tartalomhoz

Orvosi képfeldolgozás

Emri Miklós (2011)

Debreceni Egyetem

Iteratív módszerek

Iteratív módszerek

Matematikai modell

A modell és jelölések

Matematikailag a képrekonstrukció a vizsgált testbeli aktivitáskoncentráció térbeli függvényének a meghatározását jelenti, ismert térbeli pozícióval rendelkező vonalon mentén mért aktivitás értékek alapján. A pozitron emissziós tomográfiában (PET) pozitron emittáló izotópokat használnak. A bomlás során keletkező pozitronok rövid szabad úthossz megtétele után elektronokkal találkoznak és annihilálódnak, miközben két gamma foton keletkezik. A fotonok megközelítőleg egy egyenes mentén, ellentétes irányba repülve hagyják el az annihiláció helyét. A kapott adatunk a detektorpárok által meghatározott egyenesek, ún. binek, mentén észlelt fotonpárok száma egyenesenként. Az emisszió és a fotondetektálás Poisson folyamatok. A test belsejében a radioaktivitás eloszlást maximum likelihood módszerrel megbecsülhető.

A továbbiakban diszkrét PET modellt feltételezünk. Az a metszet, ahol az aktivitás van befoglalható egy négyzetbe. Osszuk fel ezt a területet darab négyzet alakú képelemre úgy, hogy azok teljesen lefedjék. Feltételezzük, hogy a képelemekben az aktivitás egyforma. M vonal mentén mérjük a koincidencia eseménypárokat.

Vezessük be az alábbi jelöléseket. Legyen , ahol az átlagos aktivitás a képelemben , és legyen , ahol az detektor binben mért beütésszám . jelöli a rendszermátrixot. A rendszermátrix eleme arányos annak a valószínűségével, hogy az binben detektált beütés, a képelemből származik. Feltételezzük, hogy A értékek csak egy kis hányada különbözik nullától.

Maximum likelihood modell

A statisztikus képrekonstrukcióban a kép maximum likelihood becslését keressük. Jelen esetünkben egy várható értékű Poisson eloszlásból vett minta.

A várható értékű Poisson eloszlás:

Így esetünkben a likelihood függvény mivel a értékek független Poisson eloszlású valószínűségi változók.

A képrekonsrukciós probléma az meghatározása a mért adatokból. Az ML módszer eredménye az az , amely mellett a maximális. Ez a probléma függvény logaritmusának, a maximalizálásával ekvivalens.

Az additív konstanst elhagyva és az egyenletet mínusz egyel megszorozva a függvényt kapjuk, amely az alábbi alakú

EM-ML

Kimutatható, hogy konvex függvény. Ez abból következik, hogy a függvény Hesse-mátrixa negative szemidefinite, tehát konkáv. Ezért a lokális minimuma az helyen globális és global minimum ha Karush-Kuhn-Tucker feltétel teljesül.

9.9. ábra - eq_58.png

eq_58.png

első deriváltja a következő:

Ez a következő feltételhez vezet számára: Így a probléma egy iteratív algoritmust eredményez, mely folyatonosan kozelíti a valódi képvektort: Az iteratív algoritmus kiindulását szigorúan pozitív vektor képzi.

Az algoritmus konvergencia sebessége rendkívül alacsony és jelentős számítási kapacitásra van szükség, hogy elfogadható képet kapjunk.

OS-EM (Ordered Subsets - Expectation Maximalization)

A módszer a tomografikus adatok, speciálisan módon sorendbe rendezett részhalmazait ("subset"-eit) alkalmazza az EM algoritmusra. Az részhalmazoknak a következő feltételnek kell, hogy eleget tegyenek:

Példák:

  1. Átfedés nélküli részhalmazok

  2. Kumulatív részhalmazok.

  3. Sztenderd EM

A részhalmazok számának meghatározása egy meglehetősen bonyolult kérdés. Nagyszámú részhalmaz használata mindenképpen elkerülendő. Ebben az esetben az OS-EM algoritmus nem működik optimálisan. Egy másik vizsgálandó szempont a részhalmazok kompoziciója és sorba rendezése. A projekciók feldolgozási sorrendje elvileg tetszőleges, azonban megfelelő rangsor választása előnyös lehet a képminőségre. A sorrend kiválasztása példáúl történhet oly módon, hogy az első részhalmazban azok a projekciók kerülnek, melyek mentén a kép variációja maximálisa, míg a másodikban az ezekre merőlekes irányok vesznek részt. A rákövetkező részhalmazokba pedig a fent említett irányok között elhelyezkedő projekciók kerülnek. A PET technikában a vetületek szögeloszlása egyenletes, így kijelenthető hogy a vetület azokból a projekciókból áll melynek szögei , egy megfelelően megválasztott tengelyhez viszonyítva. Ezzel a konvencióval definiálható az részhalmaz, a következő vetületekkel: Ekkor az részhalmazok sorrendberendezése természetes módon történik. Mivel a PET kamerák detektorrendszerébe a gyűjtés során minden irányból érkeznek események, az OS-EM algoritmus a gyűjtés befejezése után alkalmazhat leginkább. Az OS-EM algoritmus esetén egy iteráció egy teljes, az összes részhalmazon végrehajtott iteratív lépést jelenti. Minden iteráció bemenetét az előző lépés végén nyert kép vektor képzi. A lépések során a részhalmazok sorrendje változatlan. Az algoritmus képlete:

9.10. ábra - eq_65.png

eq_65.png

ahol egy teljes iteráció indexe, míg a második index az altér sorszáma. A egy teljes iterációs ciklus végén válozik. Ezek alapján a teljes projekciós tér feldolgozásra kerül minden ciklusban. Ha a részhalmazok átfedés nélküliek akkor a számitási kapacitás az EM-ével egyezik meg. Kimutatható, hogy az algoritmus a maximum likelihood megoldáshoz konvergál konzisztens esetben. Zaj jelenléte a rendszert inkonzisztensé teszi és az algoritmus nem konvergál az optimális megoldáshoz.