Ugrás a tartalomhoz

Orvosi képfeldolgozás

Emri Miklós (2011)

Debreceni Egyetem

6. fejezet - A képregisztráció matematikája

6. fejezet - A képregisztráció matematikája

Geometriai transzformációk

Affin transzformáció

6.1. ábra - eq_23.png

eq_23.png

Olyan függvények, melyek pontokhoz pontokat rendelnek hozzá.

Definíció:

Egy transzformáció inverze az a leképezés , amely egy ponthoz azt a pontot rendeli, amelyhez a j az adott pontot rendeli.

Definíció:

Egy transzformáció egyenestartó, ha a transzformáció mellett egy e egyenes képe valamely e' egyenes. Definíció: Egy transzformáció távolságtartó, ha a tárgypontok távolsága és a transzformáció melletti képpontok távolsága megegyezik: Definíció: Fixpont: a pont és a transzformáció melletti képe megegyezik.

Definíció:

Fix egyenes: olyan egyenes, amelynek minden pontja fixpont. Definíció: Egybevágósági transzformáció: távolságtartó leképzés.

Pl.: eltolás

Definíció:

Két alakzat egybevágó, ha van olyan egybevágóság, amely az egyiket a másikba viszi át.

Definíció:

Hasonlósági transzformáció: Hasonlóságnak nevezünk egy ponttranszformációt, ha bármely két pont képének a távolsága a pontok távolságával osztva mindig ugyanazt a nullától különböző hányadost adja. A képtávolságok és a megfelelő tárgytávolságok aránya adja a hasonlóság arányát.

Definíció:

A leképezést lineáris transzformációnak nevezzük, ha bármely és bármely esetén : I) additív II) homogén

Lineáris transzformációk: forgatás skálázás nyírás

Definíció:

Affin transzformáció: egy síknak önmagára vagy egy másik síkra való affin transzformációján (affinitásán) a sík egyenestartó transzformációját értjük.

Térbeli affin transzformáció megadása:

6.2. ábra - eq_28.png

eq_28.png

Ahol:

A mátrix: valamilyen lineáris transzformáció mátrixa

P vektor: valamilyen eltolás vektora

Affin transzformáció megadása homogén koordinátákkal:

6.3. ábra - eq_30.png

eq_30.png

12 paraméter: 3 eltolás 3 forgatás 3 skálázás 3 nyírás

Nemlineáris transzformációk

Az lineáris transzformációk alkalmazását olyan esetekben tehetjük meg, amikor a szükséges változtatások lineáris jellegűek és a transzformáció során megengedhető, hogy egyenes képe szintén egyenes legyen. Az ilyen tulajdonságú transzformációkat leíró egyenletekben minden koordináta legfeljebb az első hatványon szerepel. Nemlineáris torzulások esetén olyan transzformációkra van szükség, amelyek nem lineáris változtatásokkal ezeket korrigálni tudják. A koordinátáinak transzformációjához itt is egyenleteket - polinomokat - használunk. A torzultságától, az illesztési pontok számától és egymáshoz viszonyított elhelyezkedésüktől függő összetett polinomok szükségesek a kellő transzformáció végrehajtásához. Ezekben a polinomokban már nem csak első hatványon szerepelnek a koordináták. A legmagasabb kitevő adja meg a polinom fokszámát, az pedig a transzformáció fokát. Diszkrét esetben a nemlineáris transzformációk megadhatók deformációs mezőkkel. A defiormációs mezők a kép minden pixeléhez (vagy voxeléhez) egy eltolási vektort rendel.

Thin-plate spline transzformáció

Egy speciális nemlineáris regisztrációs módszer az un. thin plate spline módszer mely az azonos nevű interpolációs eljáráson alapszik.

A thin plate spline interpoláció egy szimulált vékony fémlemez minimalizált görbületi energiájának megfelelő interpolációt ad. Ennek megfelelően egy kijelölt pont megváltozásakor globális hatást tapasztalhatunk a képen. (Ezen, gyakran nem kívánatos hatás a b-spline regisztráció alkalmazásával kerülhető el).

3 dimenzióban darab kontrollpont esetén a thin-plate transzformáció szabad paraméterét aza lábbi egyenletrendszer megoldásával kaphatjuk meg:

6.4. ábra - eq_32.png

eq_32.png

ahol az függvény az ún. biharmonikus egyenlet fundamentális megoldása 3D-ben.

A paraméter magában foglal 12 globális affin transzformációs paramétert és darab paramétert a kontrollpontokkal összefüggésben.

Látható, hogy a thin plate transzformáció esetében az algoritmus időigénye a pontpárok számának növekedésével arányosan nő.