Ugrás a tartalomhoz

Társadalomstatisztika

Németh Renáta, Simon Dávid

ELTE

A normális eloszlás tulajdonságai

A normális eloszlás tulajdonságai

A normális eloszlás jellemezhető az átlaggal és a szórással. A tapasztalati eloszlásokkal szemben ez a két mérőszám tökéletesen leírja a normális eloszlást, azaz az átlag és a szórás ismeretében reprodukálható a teljes eloszlás.

Jelölés

Általában:

N (átlag, szórás)

Az ábrán szereplő eloszlás:

N (0,1), amit standard normális eloszlásnak is nevezünk.

Mit tudunk elmondani a normális eloszlás móduszáról és a mediánjáról?

Feltűnő tulajdonsága a normális eloszlásnak, hogy nem ferde, illetve az átlagra szimmetrikus (érdemes átismételni a ferde, illetve szimmetrikus eloszlásról tanultakat). Ez azt jelenti, hogy a normális eloszlás átlaga, mediánja és módusza egyenlő. A normális eloszlás alakját haranghoz szokás hasonlítani.

A görbe alatti terület

Nézzünk egy 0 átlagú és 1 szórású normális eloszlást. Mit jelent a besatírozott terület?

A terület a -2 és -1 érték közé eső esetek számával/arányával egyenlő, ha teljes görbe alatti területet az összes esetnek/egynek tekintjük. Jelen esetben az Y tengely mértékegységét úgy választottuk meg, hogy a teljes, görbe alatt terület 1 legyen, így az egyes részterületek az adott értékek közé eső esetek arányát jelzik.

Figyeljük meg a következő ábrát! Mi következik a görbe szimmetriájából?

A normális eloszlásra jellemző, hogy az átlagtól azonos távolságra lévő egyforma intervallumokhoz tartozó esetszám/arány azonos.

Transzformáció: standard normálisból bármilyen normális eloszlás, normális eloszlásból standard normális eloszlás (standardizálás)

Az eddigi ábrákon a normális eloszlást 0 átlaggal és 1 szórással ábrázoltuk. Ezt a normális eloszlást standard normális eloszlásnak nevezzük.

A fenti ábrán azt látjuk, hogyan lehet megkapni a standard normális eloszlásból bármely tetszőleges átlagú és szórású normális eloszlást.

Példa: hozzuk létre az 1 átlagú és 2 szórású normális eloszlást

Lépések:

0. Standard normális eloszlás (kék)

1. Szorozzuk meg a kívánt szórással a változó értékeit (lila) -> az átlag változatlanul nulla, a szórás éppen a kívánt érték lesz

2. Adjunk a normális eloszlás értékeihez annyit, amennyi a kívánt átlag (sárga) -> kívánt átlag, kívánt szórás

Legtöbbször a fenti művelet fordítottjával találkozunk, tetszőleges normális eloszlást transzformálunk standard normális eloszlássá: ezt nevezzük standardizálásnak, az így kapott változót gyakran z értéknek hívjuk. Ilyenkor az iménti lépéseket éppen fordítva végezzük el:

0. Kiindulunk egy tetszőleges normális eloszlásból (vagy egy normális eloszlású változóból).

1. Kivonjuk az átlagát. (így az átlag nulla lesz)

2. Elosztjuk a szórással. (így a szórás 1 lesz)

Figyelem! A fenti műveletek csak az adott sorrendben végezhetők! (Gondoljuk meg, miért!)

Mikor standardizálunk a gyakorlatban?

Gondoljunk vissza a múlt órára! Láthattuk, hogy a regressziós együttható értéke függött a mértékegységtől. Ha változókat standardizáljuk, a mértékegység problémája megszűnik.

Megjegyzés: ezt a műveletet a számítógép elvégzi a regressziós elemzés során, az így kapott b értéket bétának nevezik és standardizált regressziós együtthatónak hívják

Hogyan értelmezhető a standardizált változó értéke?

Mint az előbbi példából láthattuk nem csak az elméleti eloszlást standardizálhatjuk, hanem azokat a változókat, amelyekről azt feltételezzük, hogy normális eloszlást követnek (vagy közelítik azt).

Az óra elején bemutattam a xenofóbia változót. Most lássuk a standardizált változatát!

Mit jelent, ha valakinek a xenofóbia z értéke 1,5?

Az illető 1,5 szórásnyi távolságra van az átlagos xenofóbiától.

Megjegyzés1.: az ábra láthatóan változott. Ez annak köszönhető, hogy az SPSS nevű program maga alakítja ki azokat az osztályközöket, melyekkel az oszlopdiagramot elkészíti.

Megjegyzés2.: a standardizált változó értelmezéséhez (amennyiben normális eloszlású) felhasználhatjuk a normális eloszlás tulajdonságait. Kicsit olyan módon használhatjuk a mérésekben, mint a cm-t vagy a m-t, mint mértékegységet.