Ugrás a tartalomhoz

Társadalomstatisztika

Németh Renáta, Simon Dávid

ELTE

Az átlag tulajdonságai

Az átlag tulajdonságai

  1. A kiugró értékekre (más szóhasználattal szélső- vagy extremális értékekre) érzékeny.

  2. Mivel az átlag kiszámításához a mintában előforduló összes értékre szükség van (szemben a módusszal vagy a mediánnal!), az átlag érzékeny a nagyon magas vagy nagyon alacsony értékekre.

Példa: a) nincs kiugró érték

Kep83

b) egyetlen kiugró érték

Kep84

Az átlag tehát egyetlen kiugró érték hatására kétszeresére változott.

Mi a fenti két eloszlás esetén a jövedelem mediánja?

A medián nem különbözik, mert nem érzékeny a kiugró értékekre.

A centrális tendencia mutatók érzékenysége az eloszlás alakjára

Az (intervallum-arányskálán mért) változóhoz tartozó eloszlás alakja szerint lehet szimmetrikus vagy ferde.

Szimmetrikus egy eloszlás, ha a gyakorisági eloszlás (tengelyesen) tükörszimmetrikus, azaz ha az eloszlás bal- ill. jobboldala azonos módon „cseng le”.

Példa (hipotetikus számok):

Kep85

Szimmetrikus (és nem bimodális) gyakorisági eloszlás esetén a módusz, az átlag és a medián megegyeznek.

Bimodális szimmetrikus eloszlás esetén mi figyelhető meg?

Példa (hipotetikus számok):

Kep86

A medián és az átlag ilyenkor is megegyezik.

A gyakorisági eloszlás ferde, ha az eloszlás valamelyik oldalán nagyon nagy vagy nagyon kicsi kiugró értékek szerepelnek. Az előbbi esetben pozitív, az utóbbi esetben negatív ferdeségről beszélünk. Szokás még jobbra ferde/balra ferde eloszlásról is beszélni.

Negatív ferdeség esetén a kis kiugró értékek miatt az átlag lefelé tolódik. Pozitív ferdeség esetén éppen fordítva: az átlag felfelé húz. Pl. jövedelmi adatok esetén gyakorlatilag mindig pozitív ferdeség tapasztalható.

Az eloszlás alakjának azonosítását segítő szabályok:

  1. Ha az átlag nagyobb, mint a medián, pozitív ferdeség jellemzi az eloszlást.

  2. Ha az átlag kisebb, mint a medián, negatív ferdeség jellemzi az eloszlást.

Példa: országonként az átlagos és medián heti munkaidő (az átlag szerint növekvő sorrendben, órában):

Ország

átlag

medián

NL-Netherl

35,30

36,00

CA-Canada

37,27

40,00

IE-Ireland

37,40

39,00

GB-Great B

37,47

39,00

CH-Switzer

37,82

42,00

NZ-New Zea

37,88

40,00

FI-Finland

38,23

38,00

FR-France

38,54

38,00

SE-Sweden

38,59

40,00

DK-Denmark

38,61

37,00

NO-Norway

38,62

40,00

DE-Germany

38,90

40,00

HU-Hungary

39,98

40,00

ZA-South A

40,52

40,00

AU-Austral

40,85

40,00

VE-Venezue

40,96

40,00

PT-Portuga

41,21

40,00

ES-Spain

41,40

40,00

IL-Israel

41,77

40,00

RU-Russia

41,82

40,00

US-United

42,32

40,00

LV-Latvia

42,36

40,00

SI-Sloveni

42,75

40,00

UY-Uruguay

42,80

44,00

HR-Croatia

43,50

40,00

PL-Poland

44,05

40,00

CL-Chile

44,24

45,00

JP-Japan

44,51

45,00

CZ-Czech R

45,42

43,00

DO-Dominic

45,52

45,00

PH-Philipp

47,19

48,00

KR-South K

48,71

48,00

TW-Taiwan

49,49

48,00

Ugyanolyan képet mutat-e az átlag, ill. a medián szerinti országsorrend?

Mely országban magasabb lényegesen az átlag, mint a medián? Mely országban van éppen fordítva? Mit jelent ez az eloszlások alakjára nézve? Mit jelenthet ez az adott ország munkakörülményeire nézve (pl. Svájc és az USA összevetésében)?

A megfelelő centrális tendencia mutató megválasztása

Szempontok: a mérési szint, a kutatási kérdés és az eloszlás alakja.

  1. Nominális mérési szint esetén: módusz.

  2. Ordinális mérési szint esetén két lehetőség is van, a kérdésfeltevéstől függ, melyiket választjuk. Ha a tipikus értéket kívánjuk megkeresni: módusz, ha a középső értéket: medián.

  3. Intervallum-arányskála esetén mindhárom lehetőség használható elvileg. Ilyenkor a kérdésfeltevésen kívül az eloszlás alakja is befolyásolja a választást.

Megjegyzés: ezek tisztán matematikai szempontok, amiket az alkalmazási tradíció nem feltétlenül követ. Pl. a jövedelemátlag elterjedt mutató, pedig a jövedelmek általában ferde eloszlást mutatnak.

Kep89