Ugrás a tartalomhoz

A femtoszekundumos optika alapjai

Dr. Kovács Attila, Dr. Börzsönyi Ádám, Dr. Horváth Zoltán, Dr. Osvay Károly (2013)

Szegedi Tudományegyetem

Csörpölt impulzusok

Csörpölt impulzusok

A kvadratikus fázismoduláció fontos szerepet játszik az impulzus idő- és térbeli terjedésében egyaránt. Egy szférikus hullámfront jól közelíthető egy kvadratikus fázissal a terjedési irány közelében, mely a nyaláb fókuszálódásához vagy defókuszálódásához vezet. Ez az analógia igaz időben is, azaz kvadratikus fázismoduláció az impulzus időbeli összenyomódásához vagy éppen kiszélesedéséhez vezet, miközben keresztülhalad egy diszperzív közegen. A továbbiakban ez utóbbit vizsgáljuk meg részletesebben.

Vegyünk egy transzformlimitált impulzust, mely keresztülhalad egy diszperzív közegen, és ennek során kvadratikus fázismodulációra tesz szert. Tételezzük fel, hogy a közeg az impulzus amplitúdó- illetve teljesítményspektrumát nem befolyásolja. Az impulzus spektruma az <ω>=ω0 átlagfrekvencia körül koncentrálódik. Az átlagfrekvencia nem változik, ennél fogva a Φ(ω) függvény Taylor-sorának első nem zérus tagja:

Φ ( ω ) = 1 2 d 2 Φ d ω 2 | 0 ω 2  (3.18)

ahol Φ(ω) meghatározza az Ɛ(ω) fázisfaktorát:

ε ^ ( ω ) = ε ( ω ) e i Φ ( ω )  (3.19)

Az első- és a másodrendű momentumok (3.10) szerint:

t = t ε ^ ( t ) ε ^ * ( t ) d t | ε ^ ( t ) | 2 d t = ε ^ ( ω ) ε ^ * ( ω ) d ω | ε ^ ( ω ) | 2 d ω = d Φ d ω  (3.20)

és

t 2 = t ε ^ ( t ) t ε ^ * ( t ) d t | ε ^ ( t ) | 2 d t = | ε ^ ( ω ) | 2 d ω | ε ^ ( ω ) | 2 d ω = ε ( ω ) 2 d ω | ε ^ ( ω ) | 2 d ω + ( d Φ d ω ) 2  (3.21)

A fenti formulákban a ' jel az ω szerinti deriválást jelzi. Mivel az impulzus kezdetben transzformlimitált volt, és a spektrumát a diszperzív közeg nem változtatta meg, így (3.21) első tagja a t-nek a közegbe való belépés előtti <t2>0 másod rendű momentumát adja meg. Behelyettesítve a fázisra kapott (3.18) kifejezést (3.10)-be, a t másodrendű momentumára kapjuk, hogy

t 2 = t 2 0 + ( d 2 Φ d ω 2 | 0 ) 2 ω 2  (3.22)

azaz a frekvenciacsörp időbeli kiszélesedést okoz, ami arányos a csörpegyüttható négyzetével.

Ezen formalizmussal az időbeli fázismodulációnak

φ ( t ) = d φ d t | 0 t 2  (3.23)

a spektrumra gyakorolt hatása is vizsgálható, ha az impulzus időbeli burkológörbéje változatlan marad. Az időbeli frekvenciamoduláció vagy csörp spektrális kiszélesedéshez vezet:

ω 2 = ω 2 0 + ( d 2 φ d t 2 | 0 ) 2 t 2  (3.24)

ahol <ω2>0 a közegbe belépő impulzus spektrális sávszélességét jelöli. A (3.22) és (3.24) kifejezések az időbeli hossz és sávszélesség (3.11)-en alapuló definícióinak hasznosságát mutatja, mivel látható, hogy egyszerű kapcsolatot teremt az időbeli és a spektrális kiszélesedés között úgy, hogy függetlenné vált az impulzus időbeli alakjától illetve a spektrumának alakjától.

A (3.22)-re és a (3.24)-re alkalmazhatjuk a (3.16)-tal adott határozatlansági relációt:

t 2 ω 2 = M 2 4 κ c 1 4  (3.25)

ahol bevezettük a κc csörpparamétert, melynek értéke frekvenciacsörp esetén, állandó spektrum mellett:

κ c = 1 + M 4 4 t 2 0 2 ( d 2 Φ d ω 2 | 0 ) 2  (3.26)

κ c = 1 + M 4 4 ω 2 0 2 ( d 2 φ d t 2 | 0 ) 2  (3.27)

és időbeli csörp esetén, ha az impulzus időbeli burkológörbéjének alakja állandó

Összefoglalva, ha az átlagos négyzetes eltérést használjuk az impulzushossz és a sávszélesség definiálására, akkor:

  • az impulzushossz-sávszélesség szorzat t2ω2minimális, ha nincs frekvenciamoduláció. Gauss-os impulzusokra a minimális érték 0,5.

  • bármilyen impulzusalakra definiálhatunk egy M2 alakfaktort, ami egyenlő a minimális hossz-sávszélesség szorzattal.

  • bármilyen kvadratikus fázismoduláció vagy lineáris csörp akár az idő-, akár a frekvenciatartományban megnöveli a hossz - sávszélesség szorzatot a κc csörpfaktorral. A csörpfaktor arányos a fázis idő illetve frekvencia szerinti második deriváltjával.