Ugrás a tartalomhoz

Optika és látórendszerek

Sánta Imre (2012)

EDUTUS Főiskola

A fény elhajlása (diffrakciója)

A fény elhajlása (diffrakciója)

A fényelhajlás alapjelenségei

A geometriai optika alkalmazásának a határa az a méret, amelynél már észrevesszük, hogy a tárgyaknak nincs abszolút éles árnyéka, még a leginkább pontszerű fényforrások esetén sem (2.4.1.1. ábra). A fény behatol az árnyéktérbe, ráadásul általában (hullámhosszfüggő) csíkokat létrehozva.

2.4.1.1. ábra

Ha a fénynyaláb méretét csökkenteni akarjuk (például a végtelen keskeny, „ideális fénysugár” előállítása ürügyén), azaz egy keskeny résen, vagy lyukon engedjük át a fényt, ahelyett, hogy egyre keskenyebb lenne, megnő a széttartása, és szintén csíksorozatot generál, amely legszebben monokromatikus fénynél figyelhető meg (2.4.1.2. ábra).

2.4.1.2. ábra

A jelenségek a különféle hullámok terjedésénél használatos modellekkel értelmezhetők, írhatók le. Hullámnak nevezzük azt a jelenséget, amikor egy rezgési állapot tovaterjed a rugalmas közegben, a térben (esetleg síkon). De akkor mi rezeg a fényben, és mi a közvetítő közeg?

A fény, mint elektromágneses hullám

A klasszikus fizika legtöbb területe már a XIX. században axiomatikus alapokon nyugvó elméleti leírással rendelkezett. Az elektromosság és mágnesség törvényeit Kirchhoff, Faraday, Lenz, Hertz és mások munkásságának összefoglalásaként Maxwell fogalmazta meg – a róla elnevezett – egyenletekben.

Ha megnézzük, hogy töltésmentes térben (szigetelőben, vákuumban) milyen az E(x,y,z,t) időtől és a tértől függő elektromos térerősség, az ún. „hullámegyenletet” kapjuk:

ahol Δ a Laplace-operátor [a második, irány (x,y) szerinti parciális differenciálhányadosok összege],

a hullám terjedési sebessége (vákuumban),

a közeg (szigetelő) törésmutatója (a dielektromos állandó, permittivitás és a mágneses permeabilitás függvénye). A c/n hányados éppen azt fejezi ki, hogy a hullám a törésmutatótól függően (ami mindig nagyobb vagy egyenlő, mint 1) a közegben lassabban halad a vákuumbelinél.

Formailag ugyanezt a (másodrendű parciális differenciál-) egyenletet kapjuk a mágneses indukcióra (B) is.

Az egyenletek egyik megoldása tehát egymásba átalakuló elektromos és mágneses teret ír le, azaz a változó mágneses tér elektromos teret indukál, a változó elektromos tér (eltolási árama) pedig mágneses teret kelt. A rendszer önfenntartó, vagyis vákuumban is tovaterjed, nincs szüksége közvetítő közegre (noha korábban feltételezték, ez lett volna az éter).

2.4.2.1. ábra

Ezeknek a differenciálegyenleteknek a megoldásai a hullámfüggvények. A legegyszerűbb esetben egy monokromatikus síkhullám elégíti ki a fenti hullámegyenletet, amely z irányban terjed, és két – egymásra merőleges – komponenst tartalmaz:

ahol ω az időbeli rezgés körfrekvenciája, k pedig a terjedés irányába mutató (a síkhullám normálisa irányú) hullámszám vektor (k = n/λ), a térbeli periodicitást kifejező tag.

Ez az elektromágneses hullám c/n sebességgel a közegben tovaterjed, és energiát, impulzust visz magával. A rezgések transzverzálisak, vagyis az elektromos tér és a mágneses térvektorok merőlegesek a terjedési irányra és egymásra is. (2.4.2.1. ábra)

Az elektromos térerősség vektorirányát a fény polarizációja irányának is nevezzük.

Az elektromos tér a terjedési irányra (z) merőleges síkban, két dimenzióban rezeg, két független (x és y) koordinátával lehet jellemezni. A térben a két egymásra merőleges (ortogonális) komponens nem áll kölcsönhatásban egymással (nem interferál), mindkettővel külön-külön kell számolni. Ha csak egy lineárisan poláros forrás van, célszerű úgy választani a koordináta-rendszert, hogy az egyik tengely irányába mutasson a polarizáció iránya, így elég egy komponenssel számolni (általában).

Az atomi szerkezetű anyaggal, amely az atommagban lévő pozitív töltések körüli elektronfelhővel modellezhető, elsősorban az elektromágneses hullám elektromos tere áll kölcsönhatásban, a mágneses tér hatása 9 nagyságrenddel kisebb. Ezért az elektromágneses teret elegendő az elektromos tere hely- és időfüggvényével jellemezni.

A hullámban energia terjed, a teljesítménysűrűség I nagysága (W/m2) egy periódus időre átlagolva a térerősség négyzetével arányos (a térerősség mindig vektor, amplitúdójának iránya, előjele van, az energia, a teljesítmény viszont pozitív skalár):

A fény terjedésének hullámtani leírása tehát abból áll, hogy a térben összeadjuk – vektoriálisan, előjellel – a térben jelen lévő különböző forrásokból jövő elektromos térerősségeket, majd kiszámítjuk egy adott helyen a teljesítménysűrűséget (az amplitúdónégyzet átlagát).

A Huygens–Fresnel-elv értelmében minden hullám úgy terjed, hogy a hullámtér minden pontja elemi (gömb) hullámok kiindulópontja, amelyek eredője (interferenciája) lesz az új hullámfront. Ennek az összegzésnek a kiszámítása egyébként általános esetben matematikailag nem egyszerű. Fraunhofer és Kirchhoff dolgozták ki a skalár térelméletet, amivel viszonylag könnyen lehet az eredő hullámteret kiszámítani.

A látható fény megfigyelt hullámjelenségei szinte minden esetben leírhatók a fenti módon.

A fenti 2.4.1.2. ábrán látott elhajlási képen – hullámtani értelmezéssel – pontosan ki tudjuk számolni, hogy mekkora a d szélességű résen áthaladó λ hullámhosszú fény első minimumhelyeinek szöge (φ az optikai tengelytől mérve):

A kör alakú lyukon való elhajlás kiszámítása matematikailag kicsit bonyolultabb (Bessel-függvények), de az eredmény hasonló:

Ez az ún. Airy-korong átmérője, ezzel jellemezzük majd a mikroszkóp és más optikai eszköz feloldóképességét.