Ugrás a tartalomhoz

Fizika II.

Dr. Szalai István (2012)

Pannon Egyetem

4. fejezet - STACIONÁRIUS ÁRAM ÉS MÁGNESES TERE

4. fejezet - STACIONÁRIUS ÁRAM ÉS MÁGNESES TERE

Mágneses alapjelenségek

 A mágneses alapjelenségeket Thalész (i.e. ) leírásai alapján már az ókori görögök is ismerték. Megfigyeléseik szerint a kisázsiai Magnesia városa közelében talált vasérc darabok a kisebb vasdarabokat magukhoz vonzották. Ezek az elsö -- magnetit tartalmú -- vasércek voltak az elsö természetes állandó mágnesek. A permanens mágneses anyagból készült mágnesrudak a legnagyobb mértékben mágneses végeiken -- az ún. mágneses pólusokban -- fejtik ki mágneses hatásukat. Vasrészecskékkel (vasreszelékkel) történö kölcsönhatás alapján megállapítható, hogy a két pólus "erőssége" egyforma. A mágneses pólusokat egymástól szétválasztani nem lehet, egy mágnesrudat két részre törve ismét két mágneses pólussal rendelkezö mágnesrudakhoz jutunk. A természetben minden mágnes mágneses dipólusként fordul elö. Tapasztalataink szerint mágneses monopólusok nem léteznek. A permanens mágnesek környezetében kialakuló mágneses erőhatás jól szemléltethetö vasrészecskék eloszlásával. A mágneses erőteret az elektrosztatikus térhez hasonlóan erővonalakkal -- mágneses erővonalakkal -- szemléltetjük. A Földnek szintén van mágneses tere. A mágneses dipólusok a Föld mágneses terében orientálódnak, ennek megfelelően megkülönböztetjük a dipólusok északi és déli pólusát. Kísérleti tapasztalat, hogy két rúdmágnes egymáshoz közeli északi és déli pólusa között homogén mágneses tér alakul ki. Ugyancsak homogén a mágneses tér egy patkó alakúra kialakított permanens mágnes (patkómágnes) északi és déli pólusai között.

Áramjárta vezetö mágneses térben

 A mágneses teret a mágneses indukcióvektorral jellemezzük, amelyre a továbbiakban adunk mérési módszert. Oersted, dán fizikus kísérleti munkája során azt észlelte, hogy egy mágneses iránytü közelébe helyezett, áramjárta vezetö kitéríti az iránytüt. Egy ilyen kísérlet esetén a hatás-ellenhatás törvényének megfelelően az áramjárta vezetöre is erő hat. A mágneses indukció mérésére helyezzünk homogén mágneses térbe (egy patkómágnes pólusai közé) egy hosszúságú vezetöt, amelyben erősségü áram folyik.

4.1. ábra - 4.1. ábra. Áramvezetö mágneses térben

4.1. ábra. Áramvezetö mágneses térben


 

   Kísérleti tapasztalatok szerint az egyenes áramvezetöre ható erő arányos a vezetöben folyó áram erősségével és a vezetö hosszával. Az áramvezetöre ható erő akkor a maximális, ha az merőleges az erővonalak irányára, s nem lép fel erőhatás, ha a vezetö párhuzamos az erővonalakkal. Ha az áramjárta vezetö szöget zár be az indukcióvonalakkal, úgy a vezetöre ható erő -val arányos. A kísérleti tapasztalatokat egy egyenletben összegezve:

       

4.1. egyenlet -


       

 ahol a tényezöt -- a mágneses indukciót -- használjuk a mágneses tér "erősségének" jellemzésére. Valójában a mágneses indukció vektormennyiség (), amit az alábbiak szerint definiálunk: irányának az az irány felel meg, amelyben az áramjárta vezetöre ható erő nulla (), nagysága pedig az hosszúságú vezetöre ható maximális erővel () definiálható

       

4.2. egyenlet -


       

 Az vektor definiálásával (olyan nagyságú vektor, amelynek iránya megegyezik az áram irányával) az áramjárta egyenes vezetöszakaszra ható erőt (4.1 egyenlet) vektor-egyenlet formájában is megadhatjuk:

       

4.3. egyenlet -


       

 A mágneses indukció SI egységét ezen egyenlet alapján származtatva:

       

4.4. egyenlet -


       

 amit Nikola Tesla szerb származású amerikai mérnök-feltaláló tiszteletére 1 teslának nevezünk. A vezetö stacionárius áramát az elemi töltések állandó sebességü áramlása hozza létre. Feltételezve, hogy a vezetö keresztmetszetén idö alatt darab nagyságú töltés áramlik át, az áramerősségre azt kapjuk, hogy

       

4.5. egyenlet -


       

 Ezen idö alatt a töltések elmozdulása , ezt és a fenti (4.5) egyenletet a (4.3) erőtörvénybe beírva:

       

4.6. egyenlet -


       

 majd egyetlen töltésre ható erőre felírva

       

4.7. egyenlet -


       

 a mágneses Lorentz-erő kifejezéséhez jutunk. A fémes vezetö szerepétöl eltekinthetünk, a mágneses Lorentz-féle erőtörvény a mágneses indukciójú térben sebességgel mozgó töltésekre érvényes. Ha a sebességgel mozgó töltésü részecskére a indukciójú mágneses téren kívül még elektromos tér is hat, úgy a részecskére ható teljes Lorentz-féle erő:

       

4.8. egyenlet -


       

 ahol az elektromos tér hatását a (2.6) egyenlet alapján vettük figyelembe.

A mágneses mező fluxusa

 A mágneses mező fluxusát az elektromos mező fluxusának megfelelő módon definiáljuk:

       

4.9. egyenlet -


       

 A mágneses fluxus SI egysége a (4.9) és (4.4) egyenletek alapján:

       

4.10. egyenlet -


       

 azaz 1 weber.

Áramhurok mágneses térben

 Tekintsünk egy mágneses indukciójú térben lévő derékszögű áramjárta vezetökeretet, amely függöleges szimmetriatengelye körül el tud fordulni (lásd 4.2 ábra).

4.2. ábra - 4.2. ábra. Áramhurok mágneses térben

4.2. ábra. Áramhurok mágneses térben


 

   A vezetökeret normális egységvektora a mágneses indukció vektorával szöget zár be. A mágneses tér által az egyenes vezetöszakaszokra kifejtett erőhatásokat a (4.3) egyenlet alapján tudjuk kiszámítani. A vezetökeret hosszúságú oldalaira és párhuzamos, ellentétes irányú erők hatnak. Mivel ezekben a vezetö szakaszokban az áram iránya merőleges -re, írhatjuk, hogy . Az és erőpár függöleges szimmetriatengelyre gyakorolt forgatónyomatéka:

       

4.11. egyenlet -


       

 ahol az és hatásvonalainak távolsága, vagyis az erőpár ekkora erőkarral rendelkezik, illetve a téglalap alakú keret felülete. Mivel az és erők a forgástengellyel párhuzamosak, így azok a keretre forgatónyomatékot nem fejtenek ki. Ha a vezetökeret egyetlen menet helyett számú menetböl áll, vagy másképpen mondva menetfelületü tekercset helyezünk a homogén mágneses térbe, úgy a tekercsre ható forgatónyomatékot az

       

4.12. egyenlet -


       

 egyenlet alapján számíthatjuk ki. Az felületet a felületi normális egységvektor irányába mutató vektorként kezelve a vezetökeret (vezetö tekercs) mágneses dipólusmomentumát az alábbiak szerint definiáljuk:

       

4.13. egyenlet -


       

 A (4.13) egyenlet alapján a mágneses dipólusmomentum SI egysége:

       

4.14. egyenlet -


       

 A mágneses dipólusmomentum definíciójának felhasználásával a forgatónyomatékra vonatkozó (4.12) egyenletet vektoralakban is megfogalmazhatjuk:

       

4.15. egyenlet -


       

 Vegyük észre, hogy a mágneses tér mágneses dipólusra kifejtett forgatónyomatéka hasonló egyenlet formájában fogalmazható meg, mint a (2.23) egyenletnek megfelelő elektrosztatikai probléma. A (4.15) egyenlet származtatása során feltettük, hogy a vezetökeret téglalap alakú, és függöleges forgástengelyt feltételeztünk. Belátható, hogy a (4.15) egyenlet tetszőleges síkgörbével határolt keretre érvényes.

Áramvezetök közti erőhatás

 Tekintsünk két párhuzamos -- egymástól távolságra lévő -- igen hosszú áramjárta vezetöt. (A vezetök keresztmetszete legyen elhanyagolható a köztük lévő távolsághoz képest. Az "igen hosszú" kifejezés azt jelenti, hogy , vagyis a vezetök hossza sokkal nagyobb, mint a köztük lévő távolság.)

4.3. ábra - 4.3. ábra. Párhuzamos áramvezetök kölcsönhatása

4.3. ábra. Párhuzamos áramvezetök kölcsönhatása


 

   Ekkor precíz kísérletek szerint a vezetök egységnyi hosszúságú darabjai között ható erő nagysága () egyenesen arányos a vezetökben folyó és áramok erősségével, és fordítottan arányos a vezetök távolságával:

       

4.16. egyenlet -


       

 ahol egy arányossági tényezö. A vezetök vonzzák egymást (lásd 4.3.b ábra), ha a bennük folyó áramok megegyezö irányúak, és taszítják egymást (lásd 4.3.a ábra), ha a bennük folyó áramok ellentétes irányúak. Az SI egységrendszerben a (4.16) egyenletet használják az áramerősség egységének (1A) definiálására.

Két, egymással párhuzamos, egyenes, végtelen hosszúságú és elhanyagolhatóan kicsi kör-keresztmetszetü vezetöben, amelyek vákuumban egymástól 1 m távolságban helyezkednek el, akkor folyik 1 A erősségü áram, ha annak hatására a vezetök között méterenként 2 N nagyságú erő hat. (Az áramerősség egysége -- az amper -- alapján határozható meg a töltés egysége -- a coulomb --, ami egy amperszekundummal egyenlö: 1 C=1 As.) Az áramerősség egységének definícióját figyelembe véve a (4.16) egyenlet az alábbiak szerint írható:

       

4.17. egyenlet -


       

 ahol a vákuum abszolut permeabilitása, aminek numerikus értéke

       

4.18. egyenlet -


       

 (Megjegyezzük: az elektromosságtanban megjelenö két állandó, és szorzata a vákumbeli fénysebességgel is kapcsolatban van: .)

A Biot-Savart törvény

 Egy erősségü áramot hordozó, tetszőleges alakú lineáris áramvezetö árameleme az vektorral adott pontban mágneses indukciót hoz létre (lásd 4.4 ábra), ami az alábbiak szerint adható meg:

       

4.19. egyenlet -


       

 ahol az vektor irányába mutató egységvektort és . A (4.19) egyenlettel adott törvényt Biot-Savart-féle elemi törvénynek nevezzük.

4.4. ábra - 4.4. ábra. Az elektromos tér fluxusa

4.4. ábra. Az elektromos tér fluxusa


   Az elemi jelzö arra utal, hogy a törvényt differenciális alakban fogalmaztuk meg. Egy görbével jelzett teljes vezetöszakasz pontban keltett mágneses indukcióját az elemi indukciók összegzésével, integrálásával kaphatjuk meg:

       

4.20. egyenlet -


       

 ahol felhasználtuk, hogy , a negatív elöjel a vektori szorzat tényezöinek felcserélése miatt szükséges.

A Biot-Savart törvény alkalmazásai

 Köráram mágneses tere

Határozzuk meg egy, a 4.5. ábrán látható, erősségü áramot vivö, sugarú kör alakú áramhurok mágneses indukcióját a kör tengelyén, a síkjától távolságban felvett pontban. Kiindulásként tekintsük az elemi Biot-Savart törvényt.

4.5. ábra - 4.5. ábra. Köráram mágneses tere

4.5. ábra. Köráram mágneses tere


   A rendszer szimmetriájának megfelelően és vektorok által meghatározott síkra merőleges vektort a tengellyel párhuzamos és a tengelyre merőleges komponensekre bonthatjuk fel. A rendszer szimmetriája miatt, ha valamennyi áramelemböl származó komponenst összegezzük, akkor ezek eredöje zérus lesz

       

4.21. egyenlet -


       

 ahol a az sugarú teljes körívre utal. Mivel minden elem tengely irányú, így iránya is tengely irányú lesz, ezért elegendö csak a nagyságát meghatároznunk, mivel írhatjuk, hogy

       

4.22. egyenlet -


       

 Geometriai meggondolások alapján

       

4.23. egyenlet -


       

 Az elemi Biot-Savart-törvényben szereplö vektori szorzatra írhatjuk, hogy , mivel jelen esetben a és az vektorok szöget zárnak be egymással. Így az elemi mágneses indukció nagysága:

       

4.24. egyenlet -


       

 A (4.22) és (4.23) valamint a (4.24) egyenletek alapján azt kapjuk, hogy:

       

4.25. egyenlet -


       

 ahol felhasználtuk, hogy az sugarú kör kerületének kiszámítását jelöli. Feltételezve, hogy , vagyis a köráramtól nagy távolságra vagyunk kíváncsiak annak mágneses indukciójára, a (4.25) egyenlet egyszerűsödik, mivel mellett elhanyagolható:

       

4.26. egyenlet -


       

 ahol a köráram által határolt felületet jelenti. A (4.13) egyenletnek megfelelően bevezethetjük a köráram mágneses dipólusmomentumát:

       

4.27. egyenlet -


       

 ahol a köráram által határolt felület normális egységvektora. (Vegyük észre, hogy az egységvektor iránya megegyezik és így irányával.) Így a (4.26) egyenlet alapján egy köráram mágneses dipólusmomentuma által keltett mágneses indukció a

       

4.28. egyenlet -


       

 alakba írható. (Ne feledkezzünk meg róla, hogy ez az összefüggés csak a köráram tengelyén, azaz a dipólus tengelyén érvényes, ott is csak akkor, ha teljesül.) Láthatjuk, hogy a mágneses dipólus által keltett mágneses tér -- az elektromos dipólusnak megfelelően, lásd (2.19) egyenlet -- a dipólustól mért távolság harmadik hatványával fordítottan arányos.

Hosszú, vékony áramvezetö mágneses tere

Az előzőekhez hasonló számítás során be lehet látni, hogy egy nagyon hosszú vezetötöl távolságra a vezetöben folyó erősségü áram által keltett mágneses indukció:

       

4.29. egyenlet -


       

 A Biot-Savart-törvényböl és a rendszer szimmetriájából következik, hogy a vezetö által keltett mágneses tér hengerszimmetrikus, vagyis a vezetö mint szimmetriatengely körüli sugarú henger felületén a márneses indukció nagysága állandó, iránya pedig a jobbkéz-szabálynak megfelelően merőleges az adott ponthoz húzott henger-sugárra és az áramvezetö egyenesére.

Az Ampère-féle gerjesztési törvény

 Tekintsünk egy hosszú egyenes áramvezetöt, amelyben erősségü áram folyik. Vegyük körbe az áramvezetöt egy zárt görbével (lásd 4.6. ábra), és számítsuk ki az áramvezetö keltette mágneses indukció görbe menti integrálját. Az Ampère-féle gerjesztési törvény értelmében ez az integrál (a mágneses tér cirkulációja) -vel egyenlö, azaz

4.6. ábra - 4.6. ábra.  Áramvezetö mágneses tere

4.6. ábra.  Áramvezetö mágneses tere


   

       

4.30. egyenlet -


       

 

4.7. ábra - 4.7. ábra.  Több áramvezetö mágneses tere

4.7. ábra.  Több áramvezetö mágneses tere


4.8. ábra - 4.8. ábra.  Kiterjedt áramvezetö mágneses tere

4.8. ábra.  Kiterjedt áramvezetö mágneses tere


   A görbe alakjától függöen a mágneses indukció helyfüggö is lehet. Az Ampère-törvény érvényességét egy, a vezetöt körülvevö sugarú körre könnyen beláthatjuk, feltéve, hogy a kör síkja merőleges a vezetöre, és a vezetö a kör centrumán megy át. Az előzőek alapján az indukcióvektorok a kör érintöinek irányába mutatnak, és a körív mentén állandó nagyságúak, ezért a (4.29) egyenlet alapján írhatjuk, hogy:

       

4.31. egyenlet -


       

 ahol felhasználtuk, hogy , mivel a és a vektorok azonos (érintö) irányúak, valamint, hogy a kör kerületén vett integrálra . Bár az Ampère-féle gerjesztési törvény "bizonyítását" csak egy speciális esetre végeztük el, az tetszőleges zárt görbére (nem csak síkgörbére) és tetszőleges alakú áramvezetö által keltett mágneses mezőre is igaz. Az áramvezetönek azonban mindig át kell döfnie a zárt görbe által határolt felületet. Az Ampère-féle gerjesztési törvény több áramvezetöre is kimondható.

A 4.7. ábrán látható módon, tegyük fel, hogy a görbe által határolt felületen több áramokat szállító áramvezetö is áthalad, ekkor a mágneses terekre is érvényes szuperpozíció elvét alkalmazva a gerjesztési törvény alábbi alakjához juthatunk:

       

4.32. egyenlet -


       

 vagyis a mágneses indukciónak egy tetszőleges zárt görbére vonatkozó vonalintegrálja a görbe által határolt tetszőleges felületet átdöfö áramok algebrai összegével arányos. Azokat az áramokat, amelyek irányai a görbe körüljárási irányával jobbcsavart képeznek, pozitív elöjelünek, az ellenkezö irányúakat negatív elöjelünek vesszük. Azok az áramok, amelyek nem haladnak át az felületen, nem adnak járulékot az Ampère-féle törvényhez.

Ha az felületen áthaladó áramok folytonos eloszlást mutatnak (lásd 4.8. ábra), akkor a teljes áramerősség a áramsűrűség felületi integráljaként áll elö

       

4.33. egyenlet -


       

 Ebben az esetben az Ampère-törvény áramsűrűséggel kifejezett alakja:

       

4.34. egyenlet -


       

 A (4.34) egyenlet bal oldalát a vonalintegrálokra vonatkozó Stokes-tétel segítségével átalakítva az alábbi -- azonos felületekre vett -- integrálok közti összefüggéshez juthatunk:

       

4.35. egyenlet -


       

 A (4.35) egyenletet átrendezve

       

4.36. egyenlet -


       

 aminek a görbére illeszkedö tetszőleges felületekre érvényesnek kell lennie. Ez csak úgy lehetséges, ha az integrandusz minden pontban zérus, vagyis teljesül az alábbi egyenlet:

       

4.37. egyenlet -


       

 A fenti (4.37) összefüggést az Ampère-törvény differenciális alakjának hívjuk, ami kimondja, hogy a mágneses tér egy adott pontjában a mágneses indukcióvektor rotációja arányos az áramsűrűségvektorral. Kimondhatjuk, hogy a stacionárius áram mágneses tere örvénytér. (Mint láthattuk, a töltések keltette elektrosztatikus térben az elektromos térerősség rotációja zérus, ezért az elektrosztatikus tér örvénymentes tér.)

Az Ampère-féle gerjesztési törvény alkalmazásai

 Szolenoid mágneses tere

Szolenoidnak a nagy menetszámú, spirális alakú pálya mentén hengeresen csévélt, vezetö dróttekercset nevezzük. Ideális szolenoidnak nevezzük a nagyon hosszú, szoros tekercselésü szolenoidot, amelynek felületén az árameloszlás egyenletes. Ideális szolenoid belsejében homogén mágneses tér alakul ki, a mágneses indukció vektora párhuzamos a szolenoid tengelyével. (Irányát az áram iránya határozza meg.)

4.9. ábra - 4.9. ábra.  Szolenoid mágneses indukciójának számítása

4.9. ábra.  Szolenoid mágneses indukciójának számítása


   Az ideális szolenoidon kívül a mágneses indukció zérus. A szolenoid mágneses indukciójának meghatározására -- Ampère törvényének megfelelően -- a 4.9. ábrán látható téglalap alakú görbére számítjuk ki vonalintegrálját. A vonalintegrál additivitása miatt igaz, hogy:

       

       

       

4.38. egyenlet -


       

 ahol figyelembe vettük, hogy a mágneses indukció csak a szolenoid belsejében nem nulla. Mivel a görbe által körbezárt felületen áramjárta vezetö halad át (melyekben egyenként erősségü áram folyik), a (4.32) egyenlet alapján írhatjuk, hogy:

       

4.39. egyenlet -


       

 -t kifejezve, a szolenoid tengelyének irányába mutató mágneses indukcióra azt kaptuk, hogy:

       

4.40. egyenlet -


       

 ahol a szolenoid egységnyi hosszára jutó menetszám.

Körtekercs (toroid) mágneses tere

Hasonló gondolatmenet alapján be lehet látni, hogy egy toroid belsejében a mágneses indukció nagysága:

       

4.41. egyenlet -


     

 ahol toroid esetén az egységnyi hosszra jutó menetszám a körtekercs középvonalának sugara segítségével adható meg. A mágneses indukció iránya a középvonal sugarára merőleges. A toroidon kívül értéke zérus.

A mágnességre vonatkozó Gauss-törvény

 Az áramvezetök és a permanens mágnesek mágneses indukcióvonalai mindig zárt görbéket képeznek. Mint azt már említettük, nincsenek mágneses monopólusok, amelyek a mágneses indukcióvonalak forrásai ill. nyelöi lennének. A mágneses tér ilyen tekintetben alapvetöen különbözik az elektrosztatikus tértöl, amelyben a pozitív töltések a térerősségvonalak forrásai, míg a negatív töltések azok nyelöi. A mágneses indukcióvonalak ezen tulajdonsága matematikailag az elektrosztatikai Gauss-törvény módosított formájában fejezhetö ki:

       

4.42. egyenlet -


       

 vagyis a mágneses indukcióvektor tetszőleges zárt felületre vett felületi integrálja nulla. A felületi integrálokra vonatkozó Gauss-tétel értelmében a felületi integrált térfogati integrállá alakíthatjuk:

       

4.43. egyenlet -


       

 ahol az által határolt térfogat. Ennek az összefüggésnek érvényesnek kell lennie bármilyen önkényesen választott zárt felületre és így a megfelelő térfogatokra is. Minden -re a (4.43) egyenlet csak úgy teljesülhet, ha maga az integrandusz is nulla:

       

4.44. egyenlet -


       

 vagyis a mágneses indukcióvektor divergenciája a tér minden pontjában nulla. A (4.44) egyenlet differenciális formában fejezi ki a mágnesességre vonatkozó Gauss-törvényt.