Ugrás a tartalomhoz

A kvantumkémia alapjai és alkalmazása

Veszprémi Tamás, Fehér Miklós

Educatio Társadalmi Szolgáltató Nonprofit Kft.

15. fejezet - Kondenzált fázisú molekuláris rendszerek számítása

15. fejezet - Kondenzált fázisú molekuláris rendszerek számítása

Eddigi megfontolásaink során kimondva-kimondatlanul mindig azt feltételeztük, hogy vizsgálatunk tárgya a környezetétől elszigetelt mikroszkópikus rendszer – ha úgy tetszik, az egyetlen molekula az univerzumban. Ez a megszorítás a számítástechnikai korlátok logikus következménye, mindazonáltal a mikrorendszer valóságos leírásának legnagyobb akadálya. Valóságos rendszereink fizikai és kémiai tulajdonságait mindig nagymértékben befolyásolja a környezet, így számításaink eredményei vákuumra, vagy legfeljebb a ritkított gázállapotra lehetnek jellemzők. Ugyanakkor a kémikus számára a „természetes” közeg a kondenzált fázis, hiszen a legtöbb kémiai folyamat ebben megy végbe. Nem vitás, amennyiben valós kémiai problémák megoldásához akarjuk a kvantumkémia eszközeit felhasználni, túl kell lépnünk ezen a nehézségen és kezelnünk kell az oldószer hatását éppúgy, mint az olvadék, illetve szilárd kristályos fázis sajátosságait.

Elvileg a legegyszerűbb és legtisztább eljárás az, ha a rendszert és környezetét egyszerre, ugyanazzal a módszerrel számítjuk. Ez persze oldószermolekulák százainak, vagy ezreinek az explicit figyelembe vételét jelenti, a konformációk hihetetlen tömegét, majd ezek átlagolását, ezért ilyen számításnak magas szintű módszerekkel ép ésszel nem ugorhatunk neki. Mindazonáltal folyadékok és szilárd kristályok szerkezetének szimulálása, ha nem is magas szintű eljárásokkal, de megvalósítható. A szimulálás két legfontosabb módszere a Monte-Carlo-módszer és a molekuladinamika. Ez utóbbit, fontosságára való tekintettel külön fejezetben tárgyaljuk, e helyütt csupán néhány jellegzetességét említjük meg. A molekuladinamikai számítások során a rendszer időbeli változását, fejlődését a klasszikus mozgásegyenletek segítségével számítjuk a részecskék valamely kiindulási konfigurációja és sebesség-eloszlása segítségével. A módszer jól alkalmazható időfüggő folyamatok leírására, és ugyancsak használható a rendszer kötési jellemzőinek és termodinamikájának a vizsgálatára. A Monte-Carlo-módszer adott konfigurációból kiindulva olyan véletlen eloszlásokat vizsgál, melyek valószínűsége jelentős. Termodinamikai tulajdonságok vizsgálatára alkalmas, de időfüggő folyamatok tanulmányozására nem. Mindkét módszer használata során fontos kérdés a molekulák közötti (pl. oldószer-oldott anyag közötti) intermolekuláris potenciál definiálása.

A probléma kezelhető a QM/MM módszerrel is (l. 7.4. pont), mely szerint az oldószert explicit módon figyelembe vesszük, csak éppen nem kvantummechanikai, hanem molekulamechanikai módszerrel. Az eljárás gyenge pontja, hogy az MM-kezelés során az oldószer nem polarizálódik az oldott molekula hatására, ez viszont ellentmondásos eredményre vezethet.

A környezetet figyelembe vehetjük az ún. periódikus határfeltételek segítségével. Ilyenkor az oldatból, vagy a kristályból gondolatban egy jól definiált kockát vágunk ki.1 Elképzelésünk szerint ez az „elemi cella” ismétlődik mindhárom térirányban. Az eredeti cellánknak tehát 26 azonos szomszédja van, ezek körül 98 kocka helyezkedik el, stb. A cellában a részecskék (pl. oldószer molekulák) száma állandó, hiszen ha az egyik oldalon kilép egy részecske, az ellenkező oldalon a szomszédos cellából ugyanakkor belép egy ugyanolyan récsecske. A kiválasztandó cella mérete a rendszerben jelen levő kölcsönhatások hatótávolságától függ.

A környezet hatásának vizsgálata során logikus lépés a környezeti molekulák számának a lehetőség szerinti minimumra való csökkentése. Ez az alapja az ún. klaszter-modellnek, melyben a környezetet csupán néhány (néhány tíz, esetleg száz), jól elhelyezett molekula képviseli. Gyakran helyezzük el ezeket a molekulákat a vizsgálandó molekula körül héjszerűen, ezáltal modellezve az oldószer hatását. Képezhetünk belőlük kristályrácsot is, mellyel a kristály szerkezete, vagy valamely felülete vizsgálható. A klaszteren kívüli hatásokat is figyelembe vehetjük, pl. jól elhelyezett ponttöltések segítségével. A ponttöltések elhelyezkedésére és nagyságára a klaszter szerkezete és töltéseloszlása alapján adhatunk kezdeti feltételeket, melyeket a számítás során akár módosíthatunk is. A modellből következik, hogy egyaránt használható oldat-, illetve folyadékszerkezetek, kristályszerkezetek és szilárd felületek leírására is. Ha a kölcsönható rendszert ügyesen választjuk ki, azaz a klaszter mérete, struktúrája és a benne foglalt molekulák elhelyezkedése megfelelő, igen jó eredmények nyerhetők. Helytelen választás esetén azonban nagyot lehet bukni. A legnehezebb problémát a klaszter szélei, élei jelentik (ez az ún. éleffektus), mely mesterséges, a valóságban nem létező hatásokat visz a rendszerbe. Ugyancsak nehéz megjósolni, hogy az intermolekuláris kölcsönhatások hatása és hatótávolsága mekkora. Minthogy ezek gyakran 30–50  Å távolságban is jelentős befolyással bírnak, nehéz előre megmondani, mekkora a minimális méretű klaszter, mely még megfelelően írja le a rendszer állapotát.

Az oldószer hatásának legegyszerűbb modellje az ún. folytonos szolvatáció (continuum solvation), vagy reakciótér (reaction field) elmélet, melyben a környezetet – az oldószert – egyszerű elektrosztatikus kölcsönhatás helyettesíti. Az oldószer most tehát folytonos közeg, melyről feltételezzük, hogy homogén és izotróp, de polarizálható, és melyet mindössze egyetlen skalárral, a dielektromos állandóval jellemzünk. Ebbe, ennek egy megfelelő alakú üregébe helyezzük az oldott anyag molekuláját. A modell, melynek alapjait még Born, Onsager és Kirkwood dolgozta ki jó 60-80 évvel ezelőtt, természetesen nagyon leegyszerűsíti a valóságos helyzetet, és csak akkor alkalmazható, ha az oldószerrel való kölcsönhatás gyenge. Mindazonáltal, szolvatáció számítására ma ez a leggyakrabban használt módszer.

A kvantummechanika és a reakcióter elmélet kombinálásából alakult ki az ún. önkonzisztens reakciótér (self-consistent reaction field, SCFR) modell. E modellben az oldott molekula az ε dielektromos állandóval jellemzett, és folytonosnak feltételezett oldószer egy ao sugarú üregében foglal helyet. Az oldott molekula állapotát kvantummechanikai úton számítjuk, miközben figyelembe vesszük a molekula töltéseloszlásának és geometriájának az oldószer hatására történő változását, relaxációját. A molekula töltése és dipólusmomentuma polarizálja a körülötte levő közeget, az oldószer elektromos polarizációja pedig visszahat az oldott anyagra. Az elektromos teret, melyet az oldószer létrehoz és mellyel az oldott molekulára hat nevezzük reakciótérnek. Az a0 sugarú üregben egy pontszerű dipólusra ható reakciótér a következő egyszerű formulával adható meg:

ahol μ a molekula dipólusmomentuma, ε az oldószer dielektromos állandója. Egy dipólus energiája az R reakciótérben (feltételezve, hogy a térerősség és a dipólusmomentum vektorok antiparallel irányúak) –R. Ha tehát az oldószer elektrosztatikus effektusát kis perturbációnak tekintjük, a Hamilton operátor módosul és alakja a következő lesz:

ahol μ̂ a dipólus operátor. SCF hullámfüggvény esetén a reakciótér effektusát a Fock-mátrixba írhatjuk. A rendszer energiája ezután a következő lesz:

ahol Ψ természetesen a molekula hullámfüggvényét jelöli.

Az SCRF-modell nagy előnye, hogy bármely korrelációs módszerrel együtt alkalmazható az elektronenergia számítására. Az előző fejezetben láttuk, hogy a dipólusmomentumot a Hartree–Fock-szinten a dipólus-operátor várható értékeként adhatjuk meg. Az SCRF-modellben a dipólusmomentumot az energia elektromos tér szerinti deriváltjaként adjuk meg. Az eljáráshoz az alábbi iterációs sémát alkalmazzuk:

1. Választunk egy tetszőleges, de elegendően kicsi elektromos teret és számítjuk R-t.

2. Számítjuk az energiát és a dipólusmomentumot az e térrel perturbált Hamilton operátorral, azaz kiszámítjuk az oldott molekula oldószer által módosított szerkezetét. Ez viszont tovább polarizálja az oldószert, azaz módosítja az oldószer reakcióterét, tehát

3. számítunk egy új reakcióteret és amennyiben az eljárás nem konvergált, visszatérünk 2-re.

Az eljárás általában gyorsan konvergál. A számított oldószer-effektus függ a molekula dipólusmomentumától és polarizálhatóságától, ezért a jó bázis használata a sikeres számítás elengedhetetlen feltétele. A számítás egyetlen beállítandó paramétere az üreg térfogatát megadó ao, melytől a szolvatációs energia igen érzékenyen függ. Egy szokásos módszer szerint az anyag Vm moltérfogatából fejezzük ki a0-t:

ahol N az Avogadro-szám. A moltérfogatot általában kísérleti úton határozzák meg a molekulatömeg és a sűrűség, illetve a törésmutató segítségével. Más módszer szerint a0-t a molekula legnagyobb méretéből becsülik. (A legnagyobb méretet a két legtávolabbi atom távolsága plusz a két atom Van der Waals-rádiusza adja meg.) Természetesen az eredmény nemcsak az üreg méretétől, hanem alakjától is függ, ezért pl. hosszúkás molekulák esetén gömbszerű üreggel nem várható jó eredmény.

Az SCRF-modell nyilvánvalóan a valódi oldatok szerkezetének nagyfokú egyszerűsítése, ám az előforduló kölcsönhatások közül a legfontosabbakat, az elektrosztatikus kölcsönhatásokat viszonylag jól veszi figyelembe. Ezért jól használható az oldott anyag tulajdonságainak az oldószer hatására történő változása becslésére, így a molekulageometria, a konformációs viszonyok és egyensúlyok, reakció-mechanizmusok és spektrális tulajdonságok változásának leírására. Természtesen tiszta folyadékok szerkezeti modellezésére is alkalmazható, ilyenkor a folyadék egy molekulájának a folyadékfázissal való kölcsönhatását közelítjük a dielektromos állandó segítségével.

Az SCRF-elmélet alkalmazását tautomer egyensúlyok becslésére az alábbi példával demonstráljuk.

15.1. Hidroxipiridinek tautomer egyensúlyai különböző oldószerekben

J. Wang és R.J. Boyd munkája alapján ( J. Phys. Chem . 100 , 16141–16146 (1996). )

A tautomerizáció az izomerizáció egy speciális formája, mely a vegyületek bizonyos osztályaira jellemző. Minthogy a molekula valamely protonjának a molekulán belüli elmozdulásáról van szó, eléggé nyilvánvaló, hogy a folyamatot a környezet nagymértékben befolyásolja. Mindenfajta számítás nélkül megérthető az is, hogy az oldószer dielektromos állandójának változása a protonvándorlás sebességére hatást gyakorol. Ennek alapján nem lehet vitás, hogy az SCRF-módszer a tautomer egyensúly leírására kitűnően alkalmazható.

Hidroxipiridinek tautomer egyensúlyai nagyon hasonlóak a nukleinsavak oxoamino-hidroxiamino tautomerizációjához, ezért vizsgálatuknak a biokémiában komoly szerepe lehet. Az alább ismertetett munka legfontosabb célja a 2-hidroxipiridin/2-piridon rendszer egyensúlyi állandójának meghatározása volt. (Megjegyezzük, hogy a szerzők eredeti cikkükben a 3- és 4-hidroxipiridinekben található analóg egyensúlyokat is tanulmányozták.) Az egyensúlyban résztvevő tautomereket az 1. sémán ábrázoltuk.

   

Kísérletekből jól ismert tény, hogy a nagy dielektromos állandójú oldószerekben a polárisabb tautomer felé (az 1. sémán a baloldali molekula) tolódik el az egyensúly. Ugyancsak kísérleti eredmények alapján az oldószer polaritása és az egyensúlyi állandó között az alábbi empírikus összefüggés áll fenn:

ahol K1 és K2 az egyensúlyi állandó két különböző oldószerben, Z1 és Z2 az oldószerek ún. Kosower-féle polaritás adatai és α az oldott anyagra jellemző állandó. A Z polaritás-adatok kísérleti úton nyerhetők az elektronspektrumok töltésátviteli sávjainak eltolódásaiból.

A számítások során a geometriát HF-szinten optimálták, az optimumon az energiát HF- és MP2-szinteken nyerték. Mivel korábbi tapasztalatok alapján bebizonyosodott, hogy az oldási effektusok leírásához gyakorta fontos a diffúz függvény, a számításokhoz a 6-31G(d,p) és a 6-31+G(d,p) bázisokat használták. Az oldószer-effektusok vizsgálatára az SCRF-módszert alkalmazták ciklohexán (ε=2,0), kloroform (ε=4,8) és acetonitril (ε=35,9) oldószerek mellett. A gömbszerű üreg méretét kvantummechanikai számítással becsülték. Az oldott molekula széleit 0,001 a.e. elektronsűrűségnél definiálva meghatározták a molekula térfogatát és az ebből számított a0-hoz még hozzáadtak 0,5  Å-t – ennyinek becsülték az oldószer molekuláknak az oldott anyagtól való legkisebb távolságát. Az így nyert üreg sugara 3,8  Å – érdekes módon nagyon közeli a molekula van der Waals-felülete alapján számítható sugárhoz.

 

15.1. táblázat. A 2-hidroxipiridin és 2-piridon számított geometriai paraméterei gáz- és oldatfázisban.

 

   

Az oldószer dielektromos állandói a következők: ciklohexán ε = 2 , 0 , kloroform ε = 4 , 8 , acetonitril ε = 3 5 , 9 . kötéshosszak  Å -ben, kötésszögek fokban.

A 15.1. táblázat a két tautomer forma gázállapotú és oldatfázisú geometriai adatait tartalmazza. Mindkét molekula planáris gáz- és oldatfázisban is, ezt a röntgendiffrakciós és mikrohullámú mérési adatok is megerősítik. A táblázat adataiból látható, hogy a szolvatáció az oxo-formát jobban befolyásolja, mint a hidroxi-formát. A kötéshosszakat vizsgálva leginkább a C–O kötés változik az oldószerek hatására. A piridin-gyűrű kötései váltakozva rövidülnek, ill. hosszabbodnak, és ugyanilyen alternálás figyelhető meg a kötésszögek változásában is.

A 15.2. táblázatba gyűjtöttük a teljes és relatív energiákat, valamint a tautomerek néhány termodinamikai adatát. Az egyensúly legfontosabb jellemzője a két tautomer relatív stabilitása (relatív szabadentalpiája). A táblázat magában foglalja az elektronenergia, ZPE, entalpia-korrekció, valamint az entrópia-faktor különbségét is. Hartree–Fock-szinten ciklohexánban a hidroxi-forma, a másik két oldószerben az oxo-forma a stabilisabb. Az elektronkorreláció figyelembe vétele a számított egyensúlyt mindhárom oldószer esetén nagyjából azonos mértékben tolja el az oxo-forma felé.

 

15.2. táblázat. A 2-hidroxipiridin és 2-piridon gáz- és oldatfázisú energiája és dipólusmomentuma. +

 

   

+ HF/6-31G** szinten optimált geometriák 298 K-en. E hartree-ban, ZPE, Δ H és Δ G kcal/molban, Δ S cal/(molK)-ban.

Ha ismerjük ΔG-t, az egyensúlyi állandó az elemi fizikai kémiából jól ismert (15.6) formula segítségével kapható meg:

Ennek alapján vizsgálható a (15.5) empírikus formula érvényessége is. A Kosower oldószer-polaritások a ciklohexánra, kloroformra és acetonitrilre rendre 52, 63,2 és 71,3. Ezek függvényében ábrázolva a HF- és MP2-számítások alapján kapott egyensúlyi állandók logaritmusát (15.1. ábra) látható, hogy a kísérlettel egyezésben logK jó közelítéssel lineárisan változik Z-vel. Még az egyenesek meredeksége is jól közelíti a kísérleti értéket: a HF-számítás esetében 0,072, az MP2-számítások során 0,076, a kísérleti adat pedig 0,08. Ezek alapján további oldószerekre extrapolálható az eredmény. Pl. víz esetén a várható egyensúlyi állandó: logK=2,62 – megintcsak igen közeli a kísérleti 2,96 értékhez. Az eredmény fontosságát növeli, hogy az SCRF-módszer vizes oldatokra közvetlenül rosszul alkalmazható, ugyanis az oldott molekula és a körülötte kialakuló szolvát-burok közeli rétegei között a kölcsönhatás rendszerint nagyon erős, ami ellentmondásban áll az SCRF-modell alapfeltevésével.

 

15.1. ábra. 2-hidroxipiridin tautomerizációs egyensúlya különböző oldószerekben. Az egyensúlyi állandó változása az empirikus Z-paraméter függvényében HF/6-31G** és MP2/6-31+G** szinteken.