Ugrás a tartalomhoz

A kvantumkémia alapjai és alkalmazása

Veszprémi Tamás, Fehér Miklós

Educatio Társadalmi Szolgáltató Nonprofit Kft.

3.2. A harmonikus oszcillátor

3.2. A harmonikus oszcillátor

Vizsgáljunk egy ideális rezgő rendszert, mely két gombócból, és az őket összekötő rugóból áll, és a tengely mentén rezeg. Tekintsük az egyik gombócot a koordinátarendszer középpontjának – és így mozdulatlannak – ekkor elegendő a másik gombóc rezgő mozgásával foglalkozni. Legyen az oszcillátor tengelye az x tengely. Azt mondjuk, hogy a rezgés harmonikus, ha a rezgő gombócot visszahúzó erő egyenesen arányos a kitéréssel:

A k arányossági faktort erőállandónak nevezzük. Harmonikus rezgő rendszer potenciális energiája ekkor egy parabola egyenlete:

a rezgés frekvenciája pedig:

Az ilyen rendszereket harmonikus oszcillátornak nevezzük. A harmonikus oszcillátor modelje alkalmazható az atomoknak a kémiai kötések mentén történő rezgő mozgásának leírására is, noha már itt szükséges hangsúlyoznunk, hogy egy „molekuláris similabda” rezgése sohasem harmonikus. A molekulával nem lehet vég nélkül „similabdázni”, mert egy adott rezgési energiát elérve a molekula szétszakad. A szétszakadt részecskék között kölcsönhatás nincs, és ez a helyzet már független a távolságtól, azaz a harmonikus rezgést jelentő parabolikus potenciál meredeken felfelé törő szára a valódi molekula esetében a növekvő atomtávolsággal vízszintesbe hajlik (3.1. ábra).

 

3.1. ábra. Harmonikus és anharmonikus oszcillátor potenciális energiája.

 

   

Térjünk vissza az ideális similabdához, illetve annak mikroméretű változatához. Mivel a potenciális energiát ismerjük, a Schrödinger egyenlet könnyen felírható:

k -t kifejezve a (3.3) összefüggésből és figyelembe véve, hogy a 2 operátor-nak csak az x irányú komponense létezik, a

egyszerű másodrendű differenciálegyenlethez jutunk, melynek megoldását (milyen könnyű is ezt mondani) az olvasóra bízzuk. (Könnyítésül: osszuk el az egyenletet 22 m-mel és vezessük be a következő új változókat: α=x2mπν, β=Eπν.)

A végeredmény a rezgési energia és a rezgési hullámfüggvény:

A megoldás részletei megtalálhatók pl. Gombás P., Kisdi D.: Bevezetés a hullámmechanikába és alkalmazásaiba. Akadémiai Kiadó, 1967, I. N. Levine: Quantum Chemistry . 4 t h ed. Prentice Hall Inc. London, 1991. vagy J. Norwood, Jr.: Századunk fizikája. Műszaki Könyvkiadó, 1981. 8. fejezetében.

ahol v=0,1,2 az un. rezgési kvantumszám, Nv konstans és Hv egy v-edfokú polinom, az un. Hermitepolinom, melynek néhány tagját láthatjuk a 3.1. táblázatban. A rezgési hullámfüggvény alakja viszonylag egyszerű. v=1 esetben Ψ egy Gauss-függvény, melynek maximuma, re a rezgőmozgás „középpontját” adja (3.2. ábra). Ellentétben a klasszikus rezgőmozgással, mikor is a rezgő rendszer a leghosszabb időt a fordulópontokban tölti, a kvantumrendszer legvalószínübb állapota a Ψ függvény maximumában van. Növekvő v-vel a legvalószínűbb állapot a fordulópontok felé közeledik azaz a kvantummechanikai leírás a klasszikus leíráshoz közelít. Az is jól látható, hogy a hullámfüggvény értéke a parabolán kívül sem zérus. A rendszer energiája kvantált, az energia a v kvantumszámtól függ. A rezgési energia sohasem lehet zérus. Ha v=0, akkor E=12hν, ez az ún. zéruspont energia. A többi energiaszint a zérusponttól hν egész számú többszörösével különbözik, azaz a szomszédos szintek távolsága mindig azonos.

 

3.1. táblázat. Hermite-polinomok.

 

   

 

3.2. ábra. A harmonikus oszcillátor energiaszintjei és hullámfüggvényei.