Ugrás a tartalomhoz

A kvantumkémia alapjai és alkalmazása

Veszprémi Tamás, Fehér Miklós

Educatio Társadalmi Szolgáltató Nonprofit Kft.

1.8. Direktszorzat-reprezentáció

1.8. Direktszorzat-reprezentáció

Az előző pontban láttuk, hogy különböző objektumok – pontok, vektorok, függvények – a pontcsoport reducibilis, vagy irreducibilis reprezentációinak a bázisát adhatják. A reducibilis reprezentáció, mely mintegy „összege” az irreducibilis reprezentációknak, redukálható, azaz megadhatók a reprezentációt alkotó irreducibilis komponensek. Ezek után felmerülhet a kérdés, ha összeszorzunk mondjuk két vektort, vagy két függvényt, mi lesz a szorzat szimmetriája?

Legyen X és Y két tetszőleges függvény, melyek egy szimmetriacsoport reprezentációinak egy-egy bázisát adják. Lehetnek ezek a függvények egy molekula valamely sajátfüggvényei vagy akármi más. Ekkor bizonyítható, hogy a függvények XY szorzata is a csoport reprezentációját adja. Ha az eredeti két reprezentáció dimenziója m és n volt, a szorzatot reprezentáló mátrix-sorozat dimenziója m×n lesz és a reprezentációhoz tartozó karakterek az eredeti karakterek szorzataiként adódnak. Az új reprezentációt direktszorzat-reprezentációnak nevezzük, mely a továbbiakban ugyanúgy viselkedik, pl. éppúgy redukálható, mint bármely más reprezentáció.

Tekintsük példaként a C3v reprezentációt és nézzük az E irreducibilis reprezentáció önmagával vett EE direktszorzatát (a továbbiakban a jel fogja szimbolizálni a direktszorzás műveletét):

Mivel az E-hez tartozó karaktersorozat Γ=210 tehát ΓEE=410. Ez pedig egy reducibilis reprezentáció, melyet az 1.5 formulával kiredukálva kapjuk:

(Bizonyítás: adjuk össze az A1, A2, E irreducibilis reprezentációk karaktereit. Eredményül a 4 1 0 karaktersorozatot kapjuk.) Nézzük a C3v pontcsoport néhány egyéb direktszorzat reprezentációját:

   

Néhány fontos szabály, melyre a karaktertábla tanulmányozával könnyen rábukkanhatunk:

Bármely irreducibilis reprezentációnak a totálszimmetrikus reprezentációval vett direktszorzata az illető irreducibilis reprezentációt adja vissza (hiszen a totálszimmetrikus reprezentáció minden karaktere 1).

Bármely egydimenziós irreducibilis reprezentációnak önmagával vett direktszorzata a totálszimmetrikus reprezentációt adja (hiszen azonos előjelű egyeseket szorzunk össze).

Többdimenziós irreducibilis reprezentáció önmagával vett direktszorzata reducibilis és a totálszimmetrikus reprezentációt is tartalmazza.

Több, mint két reprezentáció direktszorzata úgy nyerhető, hogy az első két reprezentáció direktszorzatát szorozzuk a a harmadikkal, az eredményt a negyedikkel, és így tovább.

Megjegyzések

  1. Négy további köbös csoport létezik, a „majdnem” tetraéderes T és Th, a „majdnem” oktaéderes O és a „majdnem” ikozaéderes I. Minthogy ezek nagyon ritkán fordulnak elő, csak megemlítjük e helyen őket. Részletesebb tárgyalás található, pl. a következő könyvben: J. M. Hollas: Symmetry in Molecules. Chapman and Hall Ltd, London, 1972.

  2. Megoldások a feladatokhoz:

    1. C4v, C2v, Dh, Cs, C4v, C2v

    2. C2v, C3v, D2h, Td, Dh, D6h, D3h, D2h, D3h, D3d.

    3. E, C3, C32, σv1, σv2, σv3

    4. Az alábbi szimmetria műveleteket találjuk a kocka és az oktaéder esetében is:

    E , 4C3, 4C32, 6C2, 3C4, 3C42=C2, 3C43, i, 3S4, 3S43, 4S6, 4S65, 3σh, 6σd.

    Ezek a műveletek az Oh csoportot jellemzik, tehát arra kell következtetnünk, hogy mindét test az Oh csoportba tartozik.

  3. Tekintsük a és b vektorokat melyek között az  szimmetriaoperátor, és az operátort reprezentáló A mátrix teremt kapcsolatot:

    Legyen T egy transzformáló mátrix az adott koordinátarendszer és egy másik (vesszővel jelölt) koordinátarendszer között, azaz

    A hatása mindkét koordinátarendszerben felírható

    beszorozva balról T1-gyel

    Ha Â,B̂,Ĉ... a csoport elemei melyeket egy adott koordinátarendszerben az A, B, C,... mátrixok reprezentálnak, nagyon egyszerűen bizonyítható, hogy a koordináta transzformációval nyerhető AB, C,...mátrixsorozat is a csoport reprezentációja:

    Legyen AB=C és

    Behelyettesítve:

    azaz, ha AB=C, akkor AB=C

    q.e.d.

  4. Induljunk ki a példában szereplő és hasonlósági transzformációval már „megkezelt” mátrix reprezentációból:

       

    Végezzünk el egy új hasonlósági transzformációt az alábbi mátrixokkal:

    A következő mátrix sorozatot nyerjük:

       

    ahol = expi2π3 és = expi2π3. Jól látható, hogy az új transzformáció diagonalizálja a C3 és C32 operációkat reprezentáló mátrixokat, de nem diagonalizálja σv műveletekhez tartozókat. Így tehát találtunk a C3 csoporthoz három egydimenziós irreducibilis reprezentációt:

       

    Továbbra sem sikerült azonban egydimenziós reprezentációkat találni a C3v, D3h és más csoportokhoz, melyek a σv operációkat tartalmazzák.

  5. Tekintsük az A, B, C, D...mátrixokat, valamint az AB=C és BA=D szorzásokat. (A mátrixszorzás nem kommutatív.) Fejezzük ki a szorzat mátrixok karaktereit a mátrixszorzás szabályai alapján:

    és

  6. Vizsgáljuk a következő hasonlósági transzformációt:

    és fejezzük ki a D szorzatmátrix karakterét:

    A bizonyításnál felhasználtuk az előző pontban bizonyított tételt.

  7. Szorozzuk meg az 1.4 egyenletet a k-ik irreducibilis χk(R) karakterével és összegezzünk az összes R szimmetria művelet szerint:

    Mégegyszer hangsúlyozzuk, hogy χ(R) a reducibilis reprezentáció karaktere, míg, χk(R) a k-ik irreducibilis reprezentációé. Keressük az aj számokat, melyek megadják, hogy az illető reducibilis reprezentációban hányszor szerepel a j-ik irreducibilis reprezentáció. Alkalmazzuk a karakterek közötti ortogonalitási relációt (a karakterekkel kapcsolatos 5. szabály):

    Ha ebből kifejezzük ak-t, az 1.5 formulához jutunk:

  8. Megoldás a feladatokhoz:

    a) Γ=A1+2E

    b) Γ=Ag+Au+B1u+2B3u

    c) Γ=A1+T2