Ugrás a tartalomhoz

A kvantumkémia alapjai és alkalmazása

Veszprémi Tamás, Fehér Miklós

Educatio Társadalmi Szolgáltató Nonprofit Kft.

1.7. Hogyan transzformálódik?

1.7. Hogyan transzformálódik?

Helyezzünk egy objektumot (az Eiffel-torony, egy molekula, egy függvény) egy adott szimmetriájú térbe és vizsgáljuk meg az objektum transzformációs tulajdonságait. Melyik csoport, a csoporton belül pedig mely irreducibilis reprezentáció illeszkedik az adott objektum transzformációs tulajdonságaihoz? Azt mondjuk, hogy az adott objektum a csoport reprezentációinak a bázisát adja, ha a csoport elemeinek megfelelően transzformálható. Az alábbiakban néhány példával illusztráljuk, hogyan található meg a megfelelő irreducibilis reprezentáció.

1. Helyezzünk egy P pontot a C2v szimmetriájú térbe a szimmetria-tengelyre. A C2v csoport egyetlen eleme sem mozdítja el a pontot, így a reprezentáló mátrixok rendre az egydimenziós egységmátrixok: (1), és – természetesen – ugyancsak csupa egyesből állnak a reprezentáció karaterei. Ennek megfelelően a pont az A1 (ún. totálszimmetrikus) irreducibilis reprezentáció szerint transzformálódik, azaz a P pont az A1 irreducibilis reprezentáció bázisa.

2. Helyezzük a P pontot most az x tengelyre

Konvenció szerint a z -tengely megegyezik a fotengellyel.

Mivel a C2 (és a σvyz) művelet a pontot a tér „üres” részébe transzformálja, ez a pont nem lehet a bázisa a C2v tér reprezentációjának. Bázissá akkor lesz, ha kiegészítjük egy P(x,0,0) ponttal. A két pont együttesen az alábbi reprezentáció szerint transzformálódik:

   

A megfelelő karaktersorozat a főátlók összegeként nyerhető: Γ=2020

ami megfelel az A1 és B1 irreducibilis reprezentációk összegének. Megjegyezzük, hogy a karakter-sorozatot a megfelelő reducibilis mátrixok felírása nélkül is megszerkeszthetjük, csupán azt kell megszámolnunk, hogy hány pont maradt helyben (azaz a mátrix diagonálisában) a transzformáció során.

3. Vizsgáljuk meg, hogy az x, y és z tengelyek hogyan transzformálódnak a) a C2v térben és b) a C3v térben.

a) Rögtön a karaktereket keressük. A z tengelyt egyik szimmetria-művelet sem változtatja, így mind a négy művelethez 1-es karakterrel járul, tehát nyilvánvalóan az A1 irreducibilis reprezentáció szerint transzformálódik. Az x-ből a C2 és a σvyz is x-et csinál (karater: 1), az E és σvxz nem változtatja (karakter: +1), tehát a B1 szerint transzformálódik. Hasonló módon kapjuk, hogy y a B2 szerint transzformálódik.

b) z ebben az esetben sem változik a szimmetria műveletek hatására, tehát az A1 irreducibilis reprezentáció bázisa. Gond van azonban az x és y tengelyek 120-os forgatásával, hiszen a transzformáció után x-ből és y-ból a két tengely lineárkombinációját kapjuk:

azaz a reprezentáló mátrix:

nem diagonális 2×2-es blokk. Ez azt sugalja, hogy a két tengely a C3v csoportban nem választható szét. A mátrix karaktere viszont megadható: 2cos(2π3)=1. A σv művelet sokkal egyszerűbben átlátható: ha pl. a tükörsík a zx sík, az x tengely helyben marad, az y tengely előjelet vált, így a reprezentáció karaktere 0. Mivel a karakter az osztályon belül azonos és mindhárom σv művelet ugyanabba az osztályba tartozik, ugyancsak 0 a karakter a másik két (kevésbé szemléletes) σv műveletre. A teljes karakter-sorozat:

pedig láthatóan az E irreducibilis reprezentációhoz tartozik. Tehát a C3v pontcsoportban az x és y tengelyek nem választhatók szét, hanem szigorúan együtt transzformálódnak az E irreducibilis reprezentáció szerint.

Az x, y, z tengelyek transzformációs tulajdonságait általában megadják a karaktertáblázatokban, és így nem szükséges kiszámítani őket. Mivel a transzlációs mozgás is e függvényekkel írható le, az x, y és z besorolása irreducibilis reprezentációk szerint egyúttal az x, y, ill. z irányú transzlációs mozgás besorolását is jelenti. A táblázatokban fel szokás tünteti az x, y és z tengely körüli forgás (Rx, Rv, Rz) szimmetriáját is. Pl. a D6h pontcsoportban (benzol) Rz az A2g szerint transzformálódik, míg Rx és Rv együttesen E1g szerint. (Lapozza gyorsan fel a karakter táblázatot és ellenőrizze!) Ugyancsak tartalmazza a karakter táblázat a másodfokú függvények szimmetria tulajdonságait is. Mindezek felhasználását a későbbiekben látni fogjuk.

4. Vizsgáljuk meg, hogy az etilén molekula atomjai a D2h pontcsoportnak mely irreducibilis reprezentációi szerint transzformálódnak! A megfelelő reducibilis reprezentáció karakterei könnyen nyerhetők annak alapján, hogy hány atom marad a helyén a transzformáció hatására:

   

   

Meglehetősen nehéz azonban kisütni, hogy a fenti reducibilis reprezentáció karakterei mely irreducibilis reprezentáció karaktereiből állnak össze. A feladat megoldása előtt nézzünk egy általános eljárást annak eldöntésére, hogy adott reducibilis reprezentációban melyik irreducibilis reprezentáció hányszor fordul elő?

Legyen χ(R) egy reducibilis reprezentáció R-edik szimmetriaművelethez tartozó karaktere. Mivel a hasonlósági transzformáció a mátrix karakterét nem változtatja meg, az irreducibilis reprezentáció blokkos mátrixai karaktereinek összege megegyezik χ(R)-rel

ahol χj(R) a j-edik irreducibilis reprezentációhoz tartozó karakter, aj pedig azt adja meg, hogy a j-edik irreducibilis reprezentáció hányszor szerepel a reducibilis reprezentációban.

Ha a fenti egyenletet megszorozzuk a k-adik irreducibilis reprezentáció karakterével (χj(R)) és összegezzük R szerint, majd alkalmazzuk a karakterek ortogonalitási relációját, az alábbi formulát nyerjük:7

Ez az egyenlet megadja, hogy a k-adik irreducibilis reprezentáció hányszor szerepel az adott reducibilis reprezentációban.

Térjünk vissza az etilén példájára és a frissen nyert formulát alkalmazzuk a D2h pontcsoportban található nyolc irreducibilis reprezentációra:

Tehát a Γ reducibilis reprezentáció a következő hat irreducibilis reprezentációból tevődik össze:

Számításunk ellenőrzése egyszerű: csupán az így kapott irreducibilis reprezentációk karaktereit kell összegeznünk és összehasonlítanunk az eredeti reducibilis reprezentáció karaktereivel.

Végezetül gyakorlásképpen keressük meg az alábbi reducibilis reprezentációkban az irreducibilis reprezentációk számát.8

a)

   

b)

   

c)