Ugrás a tartalomhoz

A kvantumkémia alapjai és alkalmazása

Veszprémi Tamás, Fehér Miklós

Educatio Társadalmi Szolgáltató Nonprofit Kft.

1.5. Az osztály fogalma

1.5. Az osztály fogalma

A szimmetriacsoporton belül az elemeket speciális tulajdonságaik alapján kisebb egységekbe, osztályokba lehet sorolni. Az osztály fogalmához először egy fontos matematikai fogalmat, a hasonlósági transzformációt kell megismernünk.

Ha A, B, X elemei a csoportnak, akkor az XAX1 kifejezést hasonlósági transzformációnak nevezzük. Ha XAX1=B, akkor azt mondjuk, hogy A hasonló B-hez. Könnyű belátni, hogy

1. Minden elem hasonló önmagához.

2. Ha A hasonló B-hez, akkor B is hasonló A-hoz.

3. Ha A hasonló B-hez és C-hez, akkor B és C is hasonlók egymáshoz.

Ezek után definiálhatjuk az osztály fogalmát a csoporton belül:

A csoport elemeinek azon részhalmazát, melynek elemei egymáshoz hasonlóak, a csoport egy osztályának nevezzük.

Végül a csoport elemeire vonatkozó definíció:

A csoport elemeinek a számát a csoport rendjének nevezzük (és általában h-val jelöljük). Fontos tétel, hogy az osztály rendje osztója a csoport rendjének.

Példaképpen nézzük meg, hogy a C2v és a C3v csoportokban milyen osztályok vannak. Induljunk ki az előbb vizsgált szorzótáblákból és rendre számítsuk ki a csoporton belül az összes lehetséges hasonlósági transzformációt! Kihasználjuk természetesen azt, hogy a C2v csoport minden eleme önmaga inverze is egyben, tehát pl. C21XC2=C2XC2

   

Amint látható, a pontcsoport minden eleme (szimmetria operációja) külön osztályt alkot, hiszen minden elem csupán önmagához hasonló.

A C3v pontcsoport esetében viszont már egyazon osztályba tartozik a három σv művelet, hiszen hasonlósági transzformációval egymásba vihetők, és ugyancsak egy osztályba tartozik a C31 és a C32. Az azonosság operáció ismét külön osztályt ad. Végigtekintve az összes lehetséges pontcsoporton azt tapasztaljuk, hogy az E, i és a σh műveletek mindig különálló osztályokat adnak. Ugyanakkor egy osztályba kerülnek a csoport σv műveletei és ugyancsak egy osztályba kerülnek a csoport σd műveletei. Természetesen ebben az esetben is, mint mindig, a tükrözés műveletének inverze önmaga.