Ugrás a tartalomhoz

Szilárdtest-fizika gyakorlat

Kézsmárki István (2013)

11 Elektronok állapotsűrűsége

11 Elektronok állapotsűrűsége

11.1 Hullámszámtérbeli állapotsűrűség

Egy egydimenziós, L hosszúságú mintában periodikus határfeltétel szerint

Ezek alapján egy dimenzióban az állapotsűrűség a hullámszámtérben

vagyis független a hullámszámtól. Több dimenzióban

ahol V a minta térfogata. Emlékezhetünk, hogy a fononok hullámszám térbeli állapotsűrűségét is ugyanígy írhattuk fel.

11.2 Állapotszám és energiafüggő állaptsűrűség

Adott diszperziós relációjú rendszerben az állapotszámot

szerint definiálhatjuk. A 2-es faktor a spin degenerációból fakad. Termodinamikai limeszben az összegzésről áttérhetünk integrálásra. Ekkor

Az állapotsűrűség definíció szerint

Az ε és ε+dε energiák közti energiájú egyrészecske-állapotok száma a rendszerben G(ε)dε. Az itt definiált állapotsűrűség extenzív mennyiség. Szokás térfogategységre normált alakját is használni.

Ha a diszperziós reláció izotróp, akkor másképpen is kiszámolhatjuk az állapotsűrűséget.

11.2.1 Szabad elektrongáz

Szabad elektrongáz

spektruma alapján

79. ábra. Szabad elektronok állapotsűrűsége egy-, két- és három dimenzióban.

11.2.2 Kétdimenziós négyzetrács

Kétdimenziós négyzetrács esetén szoros kötésű közelítésben a diszperziós reláció

alakban írható. Kis betöltések esetén csak az alacsony energiájú, vagyis a k=0-hoz közeli hullámszámú állapotokat vesszük figyelembe. Ebben a tartományban a spektrum közelíthető

szerint. A kétdimenziós, izotróp rendszerre vonatkozó formula szerint az állapotsűrűség

A szabad elektrongázhoz hasonlóan itt is konstans az energia függvényében (ez azon múlik, hogy kis betöltésekre a diszperziós relációt közelíthettük egy parabolikus spektrummal).

11.3 Fermi-tenger alapállapot

Zérus hőmérsékleten az elektronok a legalsó energiájú állapotokat egyesével töltik be a Pauli-elv alapján. Az állapotok az εF Fermi-energiáig töltődnek.

A három dimenziós szabad elektron gáz esetén kapott állapotsűrűség formulát felhasználva

a teljes részecskeszám. Az n=N/V részecskesűrűséggel így

adódik. A Fermi-hullámszám pedig

Az alapállapoti energia általános esetben

szerint számolható ki. Három dimenziós szabad elektron gáz esetén ez

az egy részecskére jutó energia pedig

11.4 Bethe-Sommerfeld-sorfejtés

Fermionokat tartalmazó rendszerekben az egyrészecske-állapotokban megtalálható részecskék számának várható értéke

Tetszőleges energia függő H(ε) függvény esetén alacsony hőmérsékleten teljesül a

közelítés. Ha H(ε) az állapotsűrűség, akkor a fenti integrál éppen a teljes részecskeszámot adja meg.

Megkaptuk a kémiai potenciál hőmérséklet függését alacsony hőmérsékleteken. Ha H(ε) helyébe εG(ε)-t helyettesítünk, akkor a fenti integrál a rendszer teljes energiája lesz.

A kémiai potenciál korábban kapott kifejezését behelyettesítve

adódik. Az alacsonyhőmérsékleti fajhő

szerint számítható, ahol γ a fajhőegyüttható. Az elektronfajhő tehát T szerint viselkedik alacsony hőméréskleten, ellentétben a fonon fajhővel, amely T3 szerint indul.

11.5 Példa feladatok elektronok állapotsűrűségének számolására

11.5.1 Kétdimenziós háromszög rács

Tekintsünk egy kétdimenziós háromszög rácsot s atomi pályákkal, melyek energiája a szeparált atomi határesetben ε0 lenne és t<0 az elsőszomszéd átfedési integrál.

  1. Határozzuk meg az elektronok diszperziós relációját szoros kötésű közelítésben!

  2. Számítsuk ki az effektív tömeg tenzort a sáv aljánál!

  3. Számoljuk ki az állapotsűrűséget a sáv aljánál! Hogyan viszonyul ez az állapotsűrűség a sávszélességhez?

Megoldás: a) A háromszög rácsban az elemi rácsvektorok

alakban adhatók meg. Az elsőszomszédokhoz mutató vektorok a1, a2, -a1, -a2, a1-a2 és -a1+a2. A diszperziós reláció ezek alapján

b) A sáv alja k=0-nál van. Itt a spektrumot sorba fejtve

Ez alapján az effektív tömeg tenzor az egységmátrixszal lesz arányos.

c) Az energiafüggő állapotsűrűség számolásához az izotróp spektrumra vonatkozó módszert alkalmazzuk. Két dimenzióban:

A képletekben A a minta területe és N az elemi cellák száma. A sávszélesség arányos az átfedési integrállal, jelen esetben W=12|t|, így

11.5.2 Tércentrált köbös rács

A nátrium (Na) egy vegyértékelektronnal rendelkezik, és tércentrált köbös rácsban kristályosodik. A köbös Bravais-cella oldaléle a=0,42nm. A kísérletileg meghatározott fajhő együttható értéke γ=1,46mJmolK2.

  1. Mekkora az elektronsűrűség a kristályban?

  2. Számold ki a Fermi-hullámszám értékét szabad elektron közelítésben!

  3. Add meg az állapotsűrűséget szabad elektron közelítésben.

  4. Mekkora a vegyérték-elektronok effektív tömege szabad elektron egységekben?

80. ábra. Tércentrált köbös rács.

Megoldás:

a) A tércentrált köbös rács elemi cellánként egy atomot, és így egy vegyérték-elektront tartalmaz, ezért a vegyértékelektronok sűrűsége:

ahol kihasználtuk, hogy az elemi cella térfogata a3/2.

b) Szabad elektron közelítésben εF=ħ2kF22meff, így

c) Az állapotsűrűség a Fermi-energiánál, beleszámolva mindkét spinállapotot,

d) Az energiasűrűség a Sommerfeld-sorfejtés szerint E(T)V=E(T=0)V+π26(kBT)2g(εF), így a C=1VET=nγT képlettel definiált fajhőegyüttható

amelyből kapjuk, hogy

11.5.3 Grafén fajhője

Tekintsük a grafén energiaspektrumát szoros kötésű közelítésben.

  1. A grafénben a Fermi-energia egzaktul 0 energiánál van, itt a két sáv az ún. Dirac-pontokban érintkezik. Ezekben a pontokban az elektronok diszperziós relációja lineáris, a tömeg nélküli Dirac-fermionokéhoz hasonlóan. Mi az elektronok állapotsűrűsége, és mi az alacsony hőmérsékleti fajhő hőmérsékletfüggése?

  2. Tegyük fel, hogy az εF Fermi-energiát eltoljuk, például úgy hogy a grafénmintára külső potenciált kapcsolunk. Legyen |εF||t|, így a spektrum továbbra is lineárisnak tekinthető. Hogyan viselkedik ekkor az alacsony hőmérsékleti fajhő?

81. ábra. Bal oldal: grafénrács az elemi rácsvektorokkal. Jobb oldal: a grafén elemi reciprokrácsvektorai és Brillouin-zónája -- a színkód az alsó sáv energiáját jelöli. A két Dirac-pontot $\mathbfK$ és $\mathbfK'$ hullámszámnál találjuk.

Megoldás:

a) A 10.2.1. példában csak a t elsőszomszéd átfedési integrálokat vettünk figyelembe, az elemi rácsvektorok pedig a következők voltak:

Ekkor az alsó és felső sáv egyenlete

Ezek kizárólag a hat Dirac-pontban érintkeznek a Brillouin-zóna sarkainál. A Dirac pontok közül azonban csak kettő független,

a többi ezeknek reciprokrácsvektor szerinti eltoltja (81. ábra). Ezen pontok körül a spektrum jó közelítéssel lineáris

Ebből könnyen kiszámolhatjuk az elektronok állapotsűrűségét, amelyet az állapotszám deriváltjaként kaphatunk. Figyelembe véve a spindegenerációt és azt, hogy két Dirac-pontunk van, az állapotszám a vezetési (+ indexű) sávban

A képletben A a grafén minta területe. A vezetési sáv állapotsűrűsége ez alapján

lineáris függvénye az energiának ellentétben a közel szabad elektronokra kapott konstans értékkel. A vegyérték (- indexű) sáv esetén is elvégezve a számolást megadhatjuk a negatív energiákra is érvényes

formulát.

A rendszer fajhőjének meghatározásához számoljuk ki az összenergiáját kBT|t| hőmérsékleten. Feles betöltés esetén a Fermi-energia véges hőmérsékleten is 0 energiánál marad, mivel a spektrum ε-ε elektron-lyuk transzformációra szimmetrikus. Így az energia egyszerűen kiszámolható a Fermi-eloszlásfüggvény segítségével,

ahol bevezettük az x=ε/kBT változót, hogy kiemelhessük az integrál hőmérsékletfüggését. Ebből látható, hogy a fajhő kvadratikus alacsony hőmérsékleten

b) Abban az esetben, mikor a Fermi-energia nem a Dirac-pontoknál helyezkedik el valamint alacsony hőmérsékleten, mikor kBTεF|t|, alkalmazhatjuk az elméleti bevezetőben kapott eredményt.

Így az alacsony hőmérsékleti fajhő a TεF|t| tartományban lineáris T-ben,

11.5.4 Félvezetők állapotsűrűsége

Tekintsük egy szennyezetlen félvezető egyszerű modelljét, amelyben a tiltott sáv szélessége Δ, és a vezetési sáv alján és a valencia sáv tetején az elektronok egyforma m effektív tömeggel rendelkeznek, ld. a 82. ábrát. Számoljuk ki az elektronfajhő hőmérsékletfüggését alacsony hőmérsékleten.

82. ábra. A félvezető spektruma az egyszerűsített modellben.

Megoldás: Zérus hőmérsékleten a félvezető valenciasávja teljesen betöltött, a vezetési sáv teljesen üres. Alacsony hőmérsékleten a termikus gerjesztések miatt viszont elektronok jelennek meg a vezetési sávban, és a valenciasávból felgerjesztett elektronok helyén pedig lyukak maradnak. Mivel a két sávban azonos az effektív tömeg, és a felgerjesztett elektronok és a lyukak száma azonos, a Fermi-energia végig a sáv közepén marad, 0 energiánál.

A félvezető elektronoktól származó energiája a zérus hőmérsékletű esethez képest

ahol gc(ε) és gv(ε) az elektronok térfogategységre normált állapotsűrűsége a vezetési és a valenciasávban, a spindegenerációt is figyelembe véve:

Δ E képletében az elektrongerjesztések (első tag) és lyukgerjesztések járuléka (második tag) egyenlő a spektrum ε-ε elektron-lyuk szimmetriája miatt, így

Bevezetve az x=(ε-Δ/2)/kBT változót kiemelhetjük ΔE hőmérsékletfüggő tagjait

Alacsony hőmérsékleten a zárójelben lévő első tag adja a vezető rendet. Az alacsony hőmérsékleti elektronfajhő innen már egyszerűen kiszámolható. Ennek T-ben vezető rendje

11.5.5 Vezetőképesség fémekben

Egy kétdimenziós vezetőben (tehát például egy néhány tízezer atomnyi vastagságú, szigetelő felületére felvitt fémes rétegben) a vezetési elektronok diszperziós relációja legyen ε(k)=γ|k|+ε0.

  1. Határozd meg e két dimenziós vezető egyenáramú vezetőképesség-tenzorát relaxációs idő közelítésben, feltételezve, hogy a τ relaxációs idő független az elektronok hullámszámától. (Vedd a kBTεF határesetet, amely fémekre szobahőmérsékleten is jó közelítéssel igaz.)

  2. Add meg a frekvenciafüggő vezetőképesség tenzort a fenti határesetben.

  3. A frekvenciafüggő vezetőképességre vonatkozó összegszabály segítségével fejezd ki γ-t εF és ε0 segítségével.

Útmutatás: Fémek egyenáramú vezetőképesség tenzorát relaxációs idő közelítésben a következő egyenlettel lehet kifejezni (Irodalom: Sólyom Jenő: A modern szilárdtest-fizika alapjai II. 24.3.4. fejezet)

ahol, e az elemi töltés, d a dimenziószám, f a Fermi-függvény, v(k)=1ħεk az elektronok csoportsebessége, a τ relaxációs idő pedig azzal kapcsolatos, hogy átlagosan milyen gyakran szóródnak az elektronok a fémben. A kBTεF határesetben

Ha a fémre egy ω körfrekvenciájú váltófeszültséget vagy váltóáramot kapcsolunk, a vezetőképességét a σAC frekvenciafüggő vezetőképesség tenzor határozza meg. Ez (ugyanúgy, ahogy a Drude-modellnél) a következő egyszerű kifejezéssel kapható meg az egyenáramú vezetőképesség tenzorból:

A váltóáramú vezetőképességre vonatkozó összegszabály

amely anizotróp rendszerek esetén is érvényes. (Irodalom: Landau, Lifshitz: Elméleti fizika, 8. kötet, 282. oldal) Az összegszabály hasznos ellenőrzési lehetőséget biztosít a vezetőképesség számolások végeredményére vonatkozóan.

Megoldás:

a) Az elektronok csoportsebessége

ahol ek=k/|k| a k hullámszám irányába mutató egységvektor. A Fermi-energiára koncentrált Dirac-delta átalakítható

alakban. Ha ugyanis g(x) egy a g(x1)=g(x2)==g(xn)=0 nullhelyeinek egy környezetében folytonosan differenciálható függvény, akkor δ(g(x))=i=1n1|g(xi)|δ(x-xi). Így az egyenáramú vezetőképesség tenzor

Áttérve polárkoordinátákra, az ek=(cosφ,sinφ)T helyettesítéssel

A képlet természetesen csak εFε0 esetén érvényes. εFε0 esetén kiürül a vezetési sáv, és a vezetőképesség 0 lenne. Az e2/h mennyiség vezetőképesség dimenziójú természeti állandó, amelyet vezetőképesség kvantumnak neveznek. A fenti szorzat második tagja dimenziótlan, tehát helyes dimenziójú mennyiséget kaptunk. Megjegyezzük, hogy az eredmény összhangban van a Neumann-elvvel: négyfogású szimmetriájú kristály vezetőképesség tenzora diagonális kell hogy legyen.

b) A frekvenciafüggő vezetőképesség tenzort egyszerűen megkaphatjuk az előbbi eredményből:

c) Mivel ReσAC(ω)=σDC1+ω2τ2, a σAC-re vonatkozó összegszabály bal oldalára a következőt kapjuk:

Az effektív tömeg tenzor

így az összegszabály jobb oldalán szereplő integrál

Tehát az összegszabály valóban teljesül.

11.5.6 Egy részecskére jutó energia szabad elektron gázban

Vezesd le, hogy egy-, két- illetve háromdimenziós szabad elektron gázban az egy részecskére jutó átlagos energia hányszorosa a Fermi-energiának! Megoldás: A szabad elektron gáz diszperziós relációja ε(k)=ħ2k22m, ahol m az elektronok effektív tömege. Az elektronok N számát és E összenergiáját d dimenzióban a következő két formulával kaphatjuk meg:

Így az egy elektronra jutó átlagos energia

11.6 Házi feladatok

19. házi feladat Tekintsünk egy háromdimenziós egyszerű köbös rácsot s atomi nívókkal, ahol az elektron sávszerkezet kis betöltésre a Γ pont közelében ε(k)=ε0-6|t|+|t|(ak)2; t az elsőszomszéd átfedési integrál, a a rácsállandó, valamint ε0 az s-nívó energiája. A p hidrosztatikai nyomás függvényében a t átfedési integrál t=t0+αp alakú. Számold ki a vezetési elektronok fajhőjárulékának nyomásfüggését!