Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

A felsoroltak alapján megállapítható, hogy bár sok olyan interpolációs módszer készült a KH-interpoláció nyomán, melyek az eredeti algoritmus hátrányait csökkentették vagy kiküszöbölték, ám ezek számítási bonyolultsága kisebb-nagyobb mértékben meghaladja az eredeti algoritmusét. A cél ezért egy olyan módszer kidolgozása volt, mely megtartja a KH-módszer előnyeit – s ezek közül is leginkább annak alacsony időigényét –, ugyanakkor megszünteti az abnormális következtetés lehetőségét. Az alábbiakban ismertetett módosított α -vágat alapú módszer megfelel ezen kritériumoknak.

A módszer leírása előtt az abban felhasználásra kerülő YAM által publikált vektorreprezentációs eljárást ismertetjük [153]. Legyen A háromszög alakú fuzzy halmaz. Ekkor A az a ¯ = 〈 a −1 , a 0 , a 1 〉 T vektorral egyértelműen megadható, ahol a − 1 és a 1 jelöli A tartójának két végpontját, és a 0 az A halmaz egyelemű magját (csúcsát). Ezeket a paramétereket az A fuzzy halmaz karakterisztikus pontjainak nevezzük. Minden háromszög alakú A fuzzy halmazhoz hozzárendelhetünk tehát egy a ¯ vektort, amelynek elemeire fennáll az

(8.19) a − 1 ≤ a 0 ≤ a 1

egyenlőtlenség. Fordítva, minden olyan a ¯ = 〈 a −1 , a 0 , a 1 〉 T vektor, melyre (8.19) teljesül, egyértelműen meghatároz egy háromszög alakú A fuzzy halmazt.

Az a ¯ vektort két újabb vektorra bonthatjuk:

(8.20) a ¯ L = 〈 a −1 , a 0 〉 T ,  és  a ¯ U = 〈 a 0 , a 1 〉 T ,

melyek rendre a bal, illetve jobb oldalél karakterisztikus pontjait tartalmazzák. Az egyszerűség kedvéért mostantól csak a jobb (azaz felső) oldaléllel foglalkozunk, a bal oldalélre a megfelelő állítások analóg módon beláthatók (lásd pl. [133]). Ha másképpen kifejezetten nem állítjuk, akkor egy fuzzy halmazt reprezentáló vektoron ezután a jobb oldalélet reprezentáló vektort értjük.

Hasonlóképpen, minden konvex (és nem feltétlenül normális), szakaszonként lineáris fuzzy halmazhoz egyértelműen hozzárendelhetünk egy n + 1 elemű vektort, amelynek elemei a halmaz n + 1 karakterisztikus pontját tartalmazzák:

(8.21) a ¯ = a 0 , a 1 , … , a n T

(a jobb oldalélre). A vektor elemei monoton nőnek (vö. (8.19)-el). Kisebb módosítással a reprezentációs módszert folytonos fuzzy halmazokra is kiterjeszthetjük [133].

Tegyük fel, hogy adottak a A 1 → B 1 és A 2 → B 2 szabályok, valamint az A ∗ megfigyelés, amelyre (8.9) fennáll. Vektorreprezentációs megközelítésben a KH-módszert az alábbi módon írhatjuk le:

(8.22) b ¯ ∗ = ( I ¯ ¯ − I ¯ ¯ Λ ¯ ) b ¯ 1 + I ¯ ¯ Λ ¯ b ¯ 2 ,

ahol I ¯ ¯ az identitásmátrix és

(8.23) Λ ¯ = 〈 λ 0 , λ 1 〉 , λ k = a k ∗ − a 1 k a 2 k − a 1 k , k = 0 , 1 .

Itt a k ∗ , a 1 k , és a 2 k rendre a megfigyelés és a két antecedens k -adik karakterisztikus pontja, vagyis egyúttal a megfelelő vektor k -adik eleme.

Ábrázoljuk ekkor a fenti reprezentációval a V 0 × V 1 kétdimenziós térben az antecedenseket és a megfigyelést, a Z 0 × Z 1 térben pedig a konzekvenseket. Hogyan jellemezhetők ezekben a terekben lineáris interpoláció esetén a szóban forgó halmazok?

8.9. ábra - Az antecedensek és a megfigyelés vektorreprezentációja (jobb oldalél)

Mivel az antecedens halmazok és a megfigyelésre rendezett (8.9) szerint, ezért a hozzájuk rendelt vektorban a második koordináta sosem kisebb az elsőnél, azaz az oldaléleket reprezentáló pontok az x = y egyenes és a V 1 tengely közé esnek (a tengelyeket is beleértve; ld. 8.9. ábra). Hasonló igaz a konzekvens halmazokra is (ld. 8.10. ábra).

8.10. ábra - A konzekvensek és a következtetés vektorreprezentációja (jobb oldalél)

Ahhoz, hogy a következtetés fuzzy halmaz legyen, a b ¯ ∗ vektornak az l egyenes és a Z 1 tengelyek közé kell esnie (ezekre való illeszkedés is megengedett; 8.10. ábra):

(8.24) b 0 ∗ ≤ b 1 ∗

A KH-módszer feltételei miatt a 1 k /</ a k ∗ /</ a 2 k , a λ k törtek ( k = 0 , 1 ) értéke nemnegatív, [ 0 , 1 ] intervallumba esik. Ez azonban csak azt garantálja, hogy a következtetés – az antecedensek és a megfigyelés értékétől függően – az ábrán látható téglalapon belül lesz, ahol nem lehet kizárni az abnormális következtetés lehetőségét, ha a téglalap metszi az l egyenest. Az egész téglalap viszont csak abban az esetben esik az l egyenes fölé, ha B 1 és B 2 konzekvensek nem diszjunktak.

A megoldást a következő ötlet adja: transzformáljuk a B 1 , B 2 konzekvenseket egy másik koordináta rendszerbe, amely kizárja az abnormalitás lehetőségét. A következtetés meghatározásához helyettesítsük átmenetileg a Z 0 tengelyt az l : z 0 = z 1 egyenessel, míg a Z 1 maradjon változatlan. Vegyük észre, hogy B 1 és B 2 konvexitása biztosítja az új rendszerbeli nemnegatív koordinátákat. Ezután számítsuk ki a következtetés helyét az új koordináta-rendszerben, végül transzformáljuk vissza az így kapott eredményt az eredeti rendszerbe. Ez a konstrukció biztosítja, hogy a következtetés koordinátái monoton növekedjenek, azaz a (8.24) egyenlőtlenség teljesüljön.

Tetszőleges b ¯ vektor esetén a transzformáció az alábbi:

(8.25) b ¯ = 〈 b 0 , b 1 〉 → b ¯ ′ = 〈 b 0 ′ , b 1 ′ 〉 b 0 ′ = b 0 ⋅ 2 b 1 ′ = b 1 − b 0 .

Mátrixos írásmóddal

b ¯ ′ = b ¯ T ¯ ¯ ,

ahol

(8.26) T ¯ ¯ = 2 0 − 1 1 .

Ha a konzekveseket már eszerint transzformáltuk, akkor a konklúziót a (8.23) összefüggés szerinti λ k ( k = 0 , 1 ) értékek felhasználásával a

(8.27) b ∗ 0 ′ = ( 1 − λ 0 ) b 10 ′ + λ 0 b 20 ′ ,

(8.28) b ∗ 1 ′ = ( 1 − λ 1 ) b 11 ′ + λ 1 b 21 ′

egyenletekkel kapjuk. Mátrix alakban

(8.29) b ¯ ∗ ′ = ( I ¯ ¯ − I ¯ ¯ Λ ¯ ) b ¯ 1 ′ + I ¯ ¯ Λ ¯ b ¯ 2 ′ .

Mivel (8.9) teljesül és a λ k együtthatók nem változnak a (8.27) és a (8.28) kifejezésekben, ezért az új koordináták – mint nemnegatív számok konvex kombinációja – nemnegatívok lesznek.

A konzklúzió visszatranszformálását a

b ∗ 0 = b ∗ 0 ′ ∕ 2 , b ∗ 1 = b ∗ 1 ′ + b ∗ 0 = b ∗ 1 ′ + ( b ∗ 0 ′ ∕ 2 ) ,

egyenletek alapján végezzük, másképpen

(8.30) b ¯ ∗ = b ¯ ∗ ′ T ¯ ¯ − 1 ,

ahol

T ¯ ¯ − 1 = 1 ∕ 2 0 1 ∕ 2 1 .

Megjegyezzük, hogy a középpont ( b 0 ∗ ) értéke nem változik az eljárás során és ugyanez teljesül a bal oldalélre is [8], [133], ezért a két oldalél felső végpontja és a végső konklúzió háromszög alakú lesz.

A transzformációs eljárás bonyolultabb alakú tagsági függvények esetén is működik. n + 1 karakterisztikus pont esetén egy fuzzy halmaz (8.21) formában reprezentálható. Abban az esetben, ha a konklúzió meghatározásában szerepet kapó halmazok karakterisztikus pontjainak száma nem azonos, vagyis például egyaránt van köztük háromszög és trapéz alakú is, akkor általánosan a következőképpen kell eljárni. Ha van olyan α 1 ∈ [ 0 , 1 ] érték, amely csak bizonyos halmazok esetén tartozik a fontos vágatok közé, akkor az ilyen α 1 értékhez a többi halmaz esetén is karakterisztikus pontot kell rendelni, méghozzá olyan multiplicitással, amekkorával az α 1 valódi töréspontként maximálisan szerepel (lásd 8.11. ábra). A halmazok konvexitása biztosítja, hogy olyan halmazokra, ahol α 1 nem töréspont, oldalélenként csak egy x ∈ X elem tartozik; ezt az x -et választjuk az α 1 -hez tartozó karakterisztikus pontnak.

8.11. ábra - Különböző töréspontok esetén a karakterisztikus pontok meghatározása

A következtetésre a

b i ∗ ≤ b j ∗ , ∀ i ≤ j ∈ [ 0 , n ]

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. Az eredeti Z 0 , … , Z n koordinátatengelyeket a

Z i ′ = { ( z i , … , z n ) ∣ z ℓ = z m , ℓ , m ∈ [ i , n ] } i ∈ [ 0 , n ]

tengelyekkel helyettesítjük. Vegyük észre, hogy a Z n tengely nem változik, ezért a transzformáció során a b 0 ∗ értéke sem változik.

A Λ ¯ együtthatóvektor a

(8.31) Λ ¯ = 〈 λ 0 , … , λ n 〉 , λ k = a k ∗ − a 1 k a 2 k − a 1 k ( k = 0 , … , n )

vektorra bővül. A transzformációs mátrix értéke

T ¯ ¯ = n + 1 0 0 0 … 0 − n n 0 0 … 0 0 − n − 1 n − 1 0 … 0 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 … 0 − 2 2 0 0 … … 0 − 1 1 ,

melynek inverze a

T ¯ ¯ − 1 = 1 ∕ n + 1 0 0 … 0 1 ∕ n + 1 1 ∕ n 0 … 0 ⋮ ⋱ ⋮ 1 ∕ n + 1 1 ∕ n … 1 ∕ 2 1

mátrix lesz. Tehát a transzformált következtetés koordinátái

b 0 ′ = b 0 n + 1 , b 1 ′ = b 1 n − ( b 0 ′ ∕ n + 1 ) n , b 2 ′ = b 2 n − 1 − ( b 1 ′ ∕ n + b 0 ′ ∕ n + 1 ) n − 1 , ⋮ b k ′ = b k n − k + 1 − ∑ i = 0 k − 1 b i ′ ∕ n − i + 1 n − k + 1 , ⋮ b n ′ = b n − ∑ i = 0 n − 1 b i ′ ∕ n − i + 1 ,

lesznek, míg a végső konklúzió koordinátáit a

(8.32) b 0 ∗ = b 0 ∗ ′ ∕ n + 1 b 1 ∗ = b 1 ∗ ′ ∕ n + b 0 ∗ ′ ∕ n + 1 b 2 ∗ = b 2 ∗ ′ ∕ n − 1 + b 1 ∗ ′ ∕ n + b 0 ∗ ′ ∕ n + 1 ⋮ b k ∗ = ∑ i = 0 k ( b i ∗ ′ ∕ n − i + 1 ) ⋮ b n ∗ = ∑ i = 0 n ( b i ∗ ′ ∕ n − i + 1 )

egyenletrendszer adja meg. Ennek alapján belátható [8], [133], hogy

8.4. Tétel. A koordinátatranszformációs-módszer CNF bemenetek esetén mindig CNF halmazt ad, azaz zárt a CNF halmazok körében.