Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Fuzzy halmazokon értelmezett aggregációs operátorok több fuzzy halmaz megfelelő módon történő egyesítése által egyetlen fuzzy halmazt állítanak elő. Példaként nézzük azt az esetet, mikor egy hallgató tanulmányi átlageredményét szeretnénk meghatározni. Tegyük fel, hogy ehhez rendelkezésünkre állnak a jeles, jó, közepes, elégséges és elégtelen fogalmakat a [ 0 , 100 ] -as skálán definiáló fuzzy halmazok segítségével. Ekkor a tanuló átlagteljesítményét aggregációs művelet felhasználásával egyetlen fuzzy halmazzal adhatjuk meg.

3.3. Definíció. A

h : [ 0 , 1 ] n → [ 0 , 1 ]

függvényt n ( n ≥ 2 ) fuzzy halmazokon értelmezett aggregációs operátornak nevezzük. Ha a h függvény argumentumai az X alaphamazon értelmezett A 1 ( x ) , … , A n ( x ) fuzzy halmazok, akkor h minden x ∈ X -re fuzzy halmazt állít elő az argumentumok tagsági értékeinek segítségével, azaz

A ( x ) = h ( A 1 ( x ) , … , A n ( x ) ) .

Egy jól definiált aggregációs műveletnek az alábbi három axiomatikus feltételt kell kielégítenie:

h1 axióma. h ( 0 , … , 0 ) = 0 és h ( 1 , … , 1 ) = 1 (peremfeltételek).

h2 axióma. Ha adott két tetszőleges n -es 〈 a 1 , … , a n 〉 és 〈 b 1 , … , b n 〉 , ahol a i , b i ∈ [ 0 , 1 ] és a i ≤ b i minden i ∈ [ 1 , n ] -re, akkor

h ( a 1 , … , a n ) ≤ h ( b 1 , … , b n )

azaz h monoton növekvő minden argumentumában.

h3 axióma. h folytonos függvény.

Az aggregációs operátorokra vonatkozóan e három feltételen kívül még a további megszorításokat tehetjük:

h4 axióma. h szimmetrikus minden argumentumában, azaz

h ( a 1 , … , a n ) = h ( a p ( 1 ) , … , a p ( n ) )

ahol p az 1 , … , n számok tetszőleges permutációja.

h5 axióma. h idempotens, azaz h ( a , … , a ) = a , minden a ∈ [ 0 , 1 ] esetén.

A h4 axióma az argumentumok egyenrangúságát fejezi ki. Az ötödik axióma azt a megközelítést írja le, mely szerint ha azonos halmazokat aggregálunk, akkor az eredmény legyen ugyanaz a halmaz. Vegyük észre, hogy h5-ből következik h1.

Könnyen igazolható, hogy az előző szakaszokban tárgyalt t-normák és t-konormák szintén aggregációs operátorok. Ezek ugyan a h1–h3 esetében csak kétargumentumos műveletek, de mint már utaltunk rá, az asszociativitás segítségével (t4, s4 axiómák) tetszőleges véges argumentumszámra kiterjeszthetőek. E műveletek azonban, ahogy azt a 3.6. és 3.8. tételekben beláttuk, a ZADEH-féle operátoroktól eltekintve nem idempotensek.

Most megmutatjuk, hogy

3.10. Tétel. A h2 és h5 axiómáknak eleget tevő aggregációs műveletek minden 〈 a 1 , … , a n 〉 ∈ [ 0 , 1 ] n esetén teljesítik a

(3.12) min ( a 1 , … , a n ) ≤ h ( a 1 , … , a n ) ≤ max ( a 1 , … , a n )

egyenlőtlenséget.

Bizonyítás. Legyen a ∗ = min ( a 1 , … , a n ) és a ∗ = max ( a 1 , … , a n ) . Ha h monoton nő és idempotens, akkor

a ∗ = h ( a ∗ , … , a ∗ ) ≤ h ( a 1 , … , a n ) ≤ h ( a ∗ , … , a ∗ ) = a ∗ .

Fordítva, ha h kielégíti (3.12)-t, akkor

a = min ( a , … , a ) ≤ h ( a , … , a ) ≤ max ( a , … , a ) = a

miatt h5 axiómát is minden a ∈ [ 0 , 1 ] -re. ■

Így minden aggregációs operátor, amely a ZADEH-féle fuzzy műveletek közé esik idempotens, és megfordítva – a 3.6. és 3.8. tételekből következően – csak a (3.12) egyenlőtlenségnek eleget tevő aggregációs operátorok azok. Ezeket gyakran átlagoló operátoroknak is nevezzük.

Az átlagolő operátorok egyik osztálya, mely a minimum és maximum közt lévő teljes intervallumot befutja az általános (hatvány)közép, amit a

(3.13) h α ( a 1 , … , a n ) = a 1 α + ⋯ + a n α n 1 ∕ α

egyenlet definiál, ahol α ≠ 0 , és ∏ i = 1 n a i ≠ 0 ha α /</ 0 . α néhány kitüntetett értékére nevezetes közepeket kapunk. Például, ha α → 0 , akkor h α a geometriai középhez konvergál, abban az esetben pedig, ha α = 1 vagy α = − 1 , akkor h α rendre a számtani, illetve a harmonikus középpel azonos.

Szintén lefedi az előbb említett teljes intervallumot a rendezett súlyozott átlagoló operátorok osztálya, melyet angol nyelvű megfelelőjének rövidítéseként OWA (ordered weighted averaging) operátornak is nevezünk [150].

Legyen w ¯ = 〈 w 1 , … , w n 〉 súlyvektor, ami minden w i ∈ [ 0 , 1 ] esetén

∑ i = 1 n w i = 1 .

Ekkor a w ¯ súlyvektorhoz tartozó OWA operátor a

h w ¯ ( a 1 , … , a n ) = w 1 b 1 + ⋯ + w n b n

formulával adható meg, ahol b i az i -edik legnagyobb elem a 1 , … , a n közül. Vagyis a 〈 b 1 , … , b n 〉 vektor az 〈 a 1 , … , a n 〉 vektor csökkenő sorrendben rendezett permutációja: b i ≥ b j , ha i /</ j , i , j ∈ [ 1 , n ] .

Legyen például w ¯ = 0,2 , 0,6 , 0,15 , 0,05 , ekkor h w ¯ ( 0 , 6 , 0 , 8 , 0 , 1 , 1 , 0 ) = 0 , 2 ⋅ 1 + 0 , 6 ⋅ 0 , 8 + 0 , 15 ⋅ 0 , 6 + 0 , 05 ⋅ 0 , 1 = 0 , 775 .

Egyszerűen belátható, hogy h w ¯ kielégíti a h1–h5 axiómákat, és így a (3.12) egyenlőtlenséget is. Az alsó és felső korlátot rendre a w ¯ ∗ = 〈 0 , … , 0,1 〉 és w ¯ ∗ = 〈 1,0 , … , 0 〉 súlyvektorok esetén kapjuk meg.

Az aggregációs operátorokat a 3.7. ábra összegzi, melyen csak néhány jelentősebb t-norma, t-konorma és átlagoló operátor osztály lett feltüntetve. Minden esetben jelöltük az odatartozó paraméter értékkészletét.

3.7. ábra - Fuzzy aggregációs operátorok