Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

A hagyományos relációk két vagy több halmaz elemei közötti összefüggést, kapcsolatot vagy éppen annak hiányát fejezik ki. Ennek alapján két (vagy több) halmazbeli elem vagy relációban van egymással, vagy nem. Ezt a fogalmat általánosítja és árnyalja a fuzzy reláció fogalma, amellyel két halmaz elemei közötti kapcsolat 0 és 1 közötti mértékét is modellezhetjük. Egy fuzzy relációhoz való tartozást ugyanúgy tagsági értékkel lehet kifejezni, mint egy elemnek valamely fuzzy halmazhoz való tartozását. A klasszikus relációk tehát a fuzzy relációk speciális esetének tekinthetők, ahol a tagsági függvény értéke csak 0 vagy 1 lehet.

Az X 1 , X 2 , … , X n halmazok közötti R relációt úgy definiáljuk, mint a reláció alaphalmazai DESCARTES-szorzatának részhalmazát:

R ( X 1 , … , X n ) ⊆ X 1 × ⋯ × X n ,

azaz ekkor a × i = 1 n X i szorzathalmaz az univerzum, ennek az elemeire vonatkozik a reláció. A relációt hagyományos esetben például karakterisztikus függvényével lehet reprezentálni, amelyet szintén R -rel jelölünk:

R ( x 1 , … , x n ) = 1 , akkor és csak akkor, ha 〈 x 1 , … , x n 〉 ∈ R , 0 , egyébként.

Fuzzy esetben a karakterisztikus függvény azonos a reláció tagsági függvényével:

(4.1) R ( x 1 , … , x n ) = μ R 〈 x 1 , … , x n 〉 ,

tehát a relációban bármely 〈 x 1 , … , x n 〉 n -es tetszőleges 0 és 1 közötti értékkel szerepelhet; ez a reláció tagsági függvényének értéke az adott argumentumra.

A relációk egyik lehetséges osztályozása a relációban szereplő halmazok számán alapul. Eszerint két alaphalmaz esetén bináris, három esetén ternáris, általánosan n alaphalmaz esetén n -áris relációról beszélünk. Ennek megfelelően – egy másik gyakori reprezentációs módszerként, mely főként a számítógépes modellezésben jelentős – a véges elemszámú halmazok relációit rendezett n -esekként is felírhatjuk. Legyen R ¯ ¯ = [ r i 1 , i 2 , … , i n ] egy n -dimenziós tömb (másnéven mátrix). Ekkor i 1 dimenzió minden eleme az X 1 halmaz pontosan egy eleméhez tartozik, hasonlóan i 2 dimenzió minden eleme X 2 -höz, és így tovább. Azaz a 〈 x 1 , … , x n 〉 n -est r i 1 , … , i n mátrixelemmel is reprezentálhatjuk.

Tekintsük az alábbi példát: legyenek az alaphalmazok X = { CH , D , B , F } , Y = { frank , márka } , Z = { német , francia , olasz , flamand } , és az R reláció kapcsolja össze egy ország autós felségjelzését, valutanemét és hivatalos nyelvét vagy nyelveit. Ekkor

R ( X , Y , Z ) = 〈 CH , frank , német 〉 , 〈 CH , frank , francia 〉 , 〈 CH , frank , olasz 〉 , 〈 B , frank , flamand 〉 , 〈 B , frank , francia 〉 , 〈 F , frank , francia 〉 , 〈 D , márka , német 〉

hármasok tartoznak a relációba, amit az alábbi két háromdimenziós mátrixszal is szemléltethetünk:

CH D B F német 1 0 0 0 francia 1 0 1 1 olasz 1 0 0 0 flamand 0 0 1 0 CH D B F német 0 1 0 0 francia 0 0 0 0 olasz 0 0 0 0 flamand 0 0 0 0 frank márka

Hasonló módon ábrázolhatunk fuzzy relációkat is. Legyen R bináris reláció, mely a „nagyon távoli” fogalmat modellezi az X = { Bp. , Sydney , London } és az Y = { Hong Kong , Bp. } halmazok között. A reláció elemeit felsorolhatjuk

R ( X , Y ) = 0,9 ∕ ( Bp., HK ) + 0,5 ∕ ( Sydney, HK ) + 1 ∕ ( London, HK ) + 1 ∕ ( Sydney, Bp. ) + 0,3 ∕ ( London, Bp. )

vagy mátrixszerűen is ábrázolhatjuk:

Bp. Sydney London HK 0,9 0,5 1 Bp. 0 1 0,3

Felsorolás esetében a nulla tagsági értékű párokat általában elhagyjuk.