Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

A bináris relációk megkülönböztetett jelentőséggel bírnak az n -dimenziós relációk között, hiszen bizonyos tekintetben a matematikai függvények általánosításai. Ugyanis míg egy X -ből Y -ba képező függvény csak egy értéket rendelhet valamely x ∈ X -hez, addig egy reláció bármely X -beli elemhez tetszőleges számú Y -belit. Először néhány, a függvényeknél is közismert fogalom bináris fuzzy relációkra vonatkozó megfelelőjét ismertetjük.

Legyen R ( X , Y ) bináris (másképpen binér) fuzzy reláció. Ekkor értelmezési tartományát, X -et, dom R -rel, értékkészletét, Y -t, ran R -rel jelöljük, melyeket az alábbi összefüggések határoznak meg:

(4.5) dom R ( x ) = max y ∈ Y R ( x , y ) ∀ x ∈ X , (4.6) ran R ( y ) = max x ∈ X R ( x , y ) ∀ y ∈ Y .

Azaz valamilyen x ∈ X a relációban előforduló maximális értékével tartozik a reláció értelmezési tartományába. Hasonlóan valamely y ∈ Y a relációban előforduló maximális értékével tartozik a reláció értékkészletéhez. Definiálható továbbá egy reláció magassága is:

(4.7) h ( R ) = max x ∈ X max y ∈ Y R ( x , y ) .

Vagyis h ( R ) megegyezik a legnagyobb tagságifüggvény-értékű 〈 x , y 〉 pár értékével.

A bináris relációkat tagsági mátrixszal (4.8) vagy páros gráffal szokták ábrázolni; ez utóbbit a szakirodalomban általában „íjszerű” diagramnak nevezik. A második esetben a két alaphalmazhoz tartozó elemeket csúcsokkal (vagy csomópontokkal) jelöljük úgy, hogy a különböző alaphalmazba tartozó elemek jól elkülönüljenek egymástól. A pozitív tagságifüggvény-értékű párokat vonallal kötjük össze, amin a köztük levő reláció értéke szerepel (lásd 4.2. ábra).

(4.8) R ¯ ¯ = 0,7 0 0 1 0,6 0,8 0 0 0 0,4 0,6 0 0,5 0 0,4

4.2. ábra - Reláció ábrázolása páros gráffal („íjszerű” diagrammal)

Az R ( X , Y ) fuzzy reláció inverze az Y × X szorzathalmazon értelmezett R − 1 ( Y , X ) reláció, melynek értékeit az

R − 1 ( y , x ) = R ( x , y )

egyenlet határozza meg, minden x ∈ X és y ∈ Y esetén. Az inverz reláció mátrixa, R ¯ ¯ − 1 az eredeti reláció mátrixának traszponáltja lesz, azaz R ¯ ¯ − 1 sorai R ¯ ¯ oszlopaival egyeznek meg és fordítva. Nyilvánvaló, hogy a fuzzy relációkon végzett inverzió involutív:

(4.9) ( R ¯ ¯ − 1 ) − 1 = R ¯ ¯ .

Legyen adott két fuzzy reláció P ( X , Y ) és Q ( Y , Z ) . Ezen relációk max-min kompozíciója, melyet P ( X , Y ) ∘ Q ( Y , Z ) -nal jelölünk az X × Z szorzathalmazon értelmezett

(4.10) R ( x , z ) = [ P ∘ Q ] ( x , z ) = max y ∈ Y min [ P ( x , y ) , Q ( y , z ) ]

reláció, minden x ∈ X és z ∈ Z -re. Látható, hogy a kompozíció képzéséhez ZADEH-féle uniót és metszetet használtuk, innen ered a műveletet neve. A (4.10) összefüggés segítségével rögtön belátható, hogy

(4.11) [ P ( X , Y ) ∘ Q ( Y , Z ) ] − 1 = Q − 1 ( Z , Y ) ∘ P − 1 ( Y , X ) , (4.12) [ P ( W , X ) ∘ Q ( X , Y ) ] ∘ R ( Y , Z ) = P ( W , X ) ∘ [ Q ( X , Y ) ∘ R ( Y , Z ) ] ,

azaz a max-min kompozíció asszociatív, és az inverze azonos az inverz relációk fordított kompozíciójával. Ugyanakkor a kommutativitás már nem teljesül, hiszen általában, hiszen X ≠ Z esetén a művelet nem is értelmezhető, de többnyire még X = Z esetén sem lesz igaz. A max-min kompozíció illusztrálására nézzük az alábbi példát.

Legyen a két fuzzy reláció tagsági mátrixukkal megadva: P ¯ ¯ = [ p i j ] , Q ¯ ¯ = [ q j k ] . Ekkor a kompozíciójuk az

(4.13) r i k = [ max j min ( p i j , q j k ) ]

összefüggés alapján számolandó. Eszerint

R ¯ ¯ = 0,2 0,4 0,5 0,3 0,1 0,7 0,8 0,7 1 0 0,2 0,9 ∘ 0,6 0,3 0,5 0,1 0 0,4 0,8 1 = 0,4 0,4 0,7 0,7 0,8 0,9 ,

ahol például az r 11 és r 32 elemek értékét (4.13) alapján az alábbi módon kapjuk:

r 11 = 0,4 = max [ min ( 0,2 , 0,6 ) , min ( 0,4 , 0,5 ) , min ( 0,5 , 0,0 ) , min ( 0,3 , 0,8 ) ] = max [ min ( p 11 , q 11 ) , min ( p 12 , q 21 ) , min ( p 13 , q 31 ) , min ( p 14 , q 41 ) ] r 32 = 0,9 = max [ min ( 1,0 , 0,3 ) , min ( 0,0 , 0,1 ) , min ( 0,2 , 0,4 ) , min ( 0,9 , 1,0 ) ] = max [ min ( p 31 , q 12 ) , min ( p 32 , q 22 ) , min ( p 33 , q 32 ) , min ( p 34 , q 42 ) ] .

Az előbb ismertetett max-min kompozíciótól lényegében csak az értelmezési tartományában tér el a relációs összekapcsolás, amely – megtartva a fenti jelöléseket – az X × Y × Z halmazon van definiálva. Tehát a P ( X , Y ) és Q ( Y , Z ) fuzzy relációk P ∗ Q -val jelölt (relációs) összekapcsolása egy ternáris relációt határoz meg az alábbi szerint:

(4.14) R ( x , y , z ) = [ P ∗ Q ] ( x , y , z ) = min [ P ( x , y ) , Q ( y , z ) ]

minden x ∈ X , y ∈ Y és z ∈ Z esetén.

A fenti műveletek közötti legfontosabb különbség, hogy az egyik bináris, míg a másik ternáris fuzzy relációt eredményez. Valójában a max-min kompozíciót megkaphatjuk úgy is, hogy az összekapcsolás megfelelő elemeit a ZADEH-féle fuzzy unióval aggregáljuk:

(4.15) [ P ∘ Q ] ( x , z ) = max y ∈ Y [ P ∗ Q ] ( x , y , z ) ∀ x ∈ X , y ∈ Y , z ∈ Z .

A max-min kompozíción és a hozzátartozó összekapcsoláson kívül más hasonló célú műveletek is képezhetőek, ha a ZADEH-féle műveletek helyett tetszőleges t-normát és t-konormát használunk, például a max-algebrai kompozíció a

R ( x , z ) = [ P ∘ max-alg Q ] ( x , z ) = max y ∈ Y ( P ( x , y ) ⋅ Q ( y , z ) )

egyenlettel definiálható.