Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Általánosan az A és B fuzzy halmazok metszetét az egységnégyzeten való bináris operátorként adhatjuk meg:

t : [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] ,

ahol t a t-norma (trianguláris norma) elnevezésre utal. Korábban említettük, hogy a trianguláris (háromszög) norma terminológa használatát az indokolja, hogy a valószínűségi mértékek egy érdekes geometriai interpretációja alapján nyerhető művelet – amire teljesül a háromszög-egyenlőtlenség – axiomatikus tulajdonságait illetőleg megegyezik a fuzzy metszettel.

A következőkben felsorolt axiómák a fuzzy metszet azon minimálisan elvárt tulajdonságait fogalmazzák meg, melyek a BOOLE-féle metszetfogalom természetes általánosítását adják.

t1 axióma. t ( a , 1 ) = a minden a ∈ [ 0 , 1 ] -re (peremfeltétel).

t2 axióma. b ≤ c -ből következik, hogy t ( a , b ) ≤ t ( a , c ) minden a , b , c ∈ [ 0 , 1 ] -re (monotonitás).

t3 axióma. t ( a , b ) = t ( b , a ) minden a , b ∈ [ 0 , 1 ] -re (kommutativitás).

t4 axióma. t ( a , t ( b , c ) ) = t ( t ( a , b ) , c ) minden a , b , c ∈ [ 0 , 1 ] -re (asszociativitás).

Ezeket az axiómákat a fuzzy metszetek (t-normák) axiomatikus vázának hívjuk.

Könnyen belátható, hogy az első három axióma azt biztosítja, hogy hagyományos (nem fuzzy) halmazokra a kétváltozós fuzzy metszet, mint a hagyományos metszet általánosítása, a szokásos eredményeket adja. Az első axióma alapján t ( 0 , 1 ) = 0 és t ( 1 , 1 ) = 1 , a kommutativitás miatt t ( 1 , 0 ) = 0 , míg t ( 0 , 0 ) = 0 a monotonitásból következik. A monotonitás és a kommutativitás azt a természetes követelményt fejezik ki, hogy ha A vagy B -ben a tagságifüggvény-érték csökken, az nem eredményezheti a metszet növekedését. Az utolsó axióma segítségével a t-normák definíciója tetszőleges véges számú argumentumra is kiterjeszthető.

A szakirodalomban még az alábbi megszorításokat szokták tenni a t-normákra:

t5 axióma. t folytonos függvény

t6a axióma. t ( a , a ) /</ a (szubidempotencia), vagy t6b t ( a , a ) = a (idempotencia).

t7 axióma. Ha a 1 /</ a 2 és b 1 /</ b 2 , akkor t ( a 1 , b 1 ) /</ t ( a 2 , b 2 ) (szigorú monotonitás).

A folytonosság megkövetelése biztosítja az olyan szituációk elkerülését, mikor az egyik argumentum kicsiny megváltozása a metszetben nagy (nem folytonos) változást idéz elő. A szubidempotencia a nemfuzzy metszetre vonatkozó idempotencia gyengébb formája, mely azt az esetet kezdi, amikor a két argumentum megegyezik. A t7 axióma a monotonitásnak egy erősebb formája.

Ha egy t-norma folytonos és szubidempotens, akkor archimédeszi t-normának, ha ezen felül szigorúan monoton, akkor szigorú archimédeszi t-normának nevezzük.

E fejezet bevezetésében már említettük, hogy a ZADEH-féle fuzzy műveletek DE MORGAN-algebrát alkotnak, azaz idempotensek. Most megmutatjuk, hogy a fuzzy metszetek közül az idempotencia csak a ZADEH-féle metszetre áll fenn.

3.6. Tétel. A ZADEH-féle fuzzy metszet az egyetlen idempotens t-norma [12].

Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy a minimum művelet idempotens: min ( a , a ) = a minden a ∈ [ 0 , 1 ] esetén. Tegyük fel, hogy t idempotens. Ekkor minden a , b ∈ [ 0 , 1 ] , a ≤ b -re

a = t ( a , a ) ≤ t ( a , b ) ≤ t ( a , 1 ) = a

t1 és t2 axiómák felhasználásával. Azaz t ( a , b ) = a = min ( a , b ) . Hasonlóan a ≥ b esetén

b = t ( b , b ) ≤ t ( a , b ) ≤ t ( 1 , b ) = b

azaz t ( a , b ) = b = min ( a , b ) . Tehát, ha egy t-norma idempotens, akkor az a ZADEH-féle fuzzy metszet. ■

3.5. ábra - Fuzzy metszetek grafikonjai

Alábbiakban a fuzzy metszetként leggyakrabban használt néhány t-normát mutatjuk be, grafikonjaik a 3.5. ábrán láthatók:

ZADEH-féle metszet: t ( a , b ) = min ( a , b ) .

Algebrai szorzat: t ( a , b ) = a b .

Korlátos különbség: t ( a , b ) = max ( 0 , a + b − 1 ) .

Drasztikus metszet: t min ( a , b ) = a , ha b = 1 , b , ha a = 1 , 0 , egyébként.

A 3.5. ábrán is megfigyelhető a fuzzy metszetek közötti alábbi összefüggés:

3.7. Tétel. Minden a , b ∈ [ 0 , 1 ] esetén

(3.8) t min ( a , b ) ≤ t ( a , b ) ≤ min ( a , b ) .

Bizonyítás. Felső korlát. t1 és t2 axiómák felhasználásával

t ( a , b ) ≤ t ( a , 1 ) = a ,

továbbá a kommutativitás miatt

t ( a , b ) = t ( b , a ) ≤ t ( b , 1 ) = b .

Azaz t ( a , b ) ≤ a és t ( a , b ) ≤ b , így t ( a , b ) ≤ min ( a , b ) .

Alsó korlát. t1 axiómából következik, hogy t ( a , b ) = a , ha b = 1 , és t ( a , b ) = b , ha a = 1 . Mivel t ( a , b ) ≤ min ( a , b ) és t ( a , b ) ∈ [ 0 , 1 ] ezért

t ( a , 0 ) = t ( 0 , b ) = 0 .

A monotonitás miatt

t ( a , b ) ≥ t ( a , 0 ) = t ( 0 , b ) = 0 .

Tehát a fuzzy metszetek alsó korlátja az erős metszet. ■

Végül néhány ismertebb t-norma fontosabb adatait mutatjuk be a 3.1. táblázatban. További fuzzy metszetek találhatók DOMBI [27], FRANK [36] és WEBER [146] közleményeiben.

Hivatkozás	formula	paraméterérték	a formula értéke ha a paraméter 0 -hoz konvertál	a formula értéke ha a paraméter ∞ -hez konvertál
£UKASIEWICZ / ZADEH [155]	min ( a , b )
SCHWEIZER és SKLAR [111]	{ max ( 0 , a p + b p − 1 ) } 1 ∕ p	p ≠ 0	a b	t min ( a , b ) , ha p → ∞ min ( a , b ) , ha p → − ∞
HAMACHER [43]	a b r + ( 1 − r ) ( a + b − a b )	r ∈ ( 0 , ∞ )	a b a + b − a b	t min ( a , b )
YAGER [149]	1 − min [ 1 , ( ( 1 − a ) w + ( 1 − b ) w ) 1 ∕ w ]	w ∈ ( 0 , ∞ )	t min ( a , b )	min ( a , b )
DUBOIS és PRADE [29]	a b max ( a , b , α )	α ∈ [ 0 , 1 ]	min ( a , b )

3.1. táblázat - Fuzzy metszetek ismertebb osztályai ([60] alapján)