Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

A fuzzy halmazok ismertetése előtt először tekintsük át a (hagyományos) halmazelmélet néhány alapvető fogalmát és azok tulajdonságait. A fuzzy halmazoktól való megkülönböztetés céljából a hagyományos, nem fuzzy halmazokra az irodalomban elterjedt crisp halmaz (éles, határozott körvonalú) terminológiát használjuk.

A továbbiakban feltesszük, hogy az Olvasó tájékozott a hagyományos halmazelmélet alapfogalmait illetően, ezért ezen szakasz célja csupán e fogalmak felidézése, és a későbbiekben, a fuzzy halmazok tárgyalása során is használt kifejezések és jelölések bevezetése.

A halmazok jelölésére az ábécé nagybetűit használjuk. Ha másképp kifejezetten nem állítjuk, akkor az alaphalmazt – amely az adott kontextusban a lehetséges összes elemet tartalmazza – X -szel jelöljük. Az egyetlen elemet sem tartalmazó, ún. üres halmazra a szokásos ∅ jelölést használjuk.

Egy tetszőleges crisp halmaz az alábbi három módon adható meg. Ha a halmaz véges, akkor elemei felsorolásával (pl. A = { 1 , 2 , 4 , 8 , 16 } ), tetszőleges számosságú halmazt általában az elemeire teljesülő szabály segítségével (pl. B = { x ∈ X ∣ x = 2 n , n egész } , vagyis azon x értékek melyre teljesül a ∣ jelet követő feltétel), vagy a halmaz karakterisztikus függvényfüggvényével definiálható. A χ A karakterisztikus függvény kizárólag azon alaphalmazbeli értékekre vesz fel 1 értéket, melyek az A halmaznak elemei, azaz

χ A ( x ) = 1 , ha x ∈ A 0 , ha x ∉ A

Ha A halmaz minden eleme B halmaznak is eleme, akkor A a B részhalmaza, amit A ⊂ B -vel vagy A ⊆ B -vel jelölünk, ez utóbbi esetben kihangsúlyozva azt, hogy egyenlőség is megengedett. Minden halmaz részhalmaza önmagának és az alaphalmaznak.

Ha A ⊆ B és B ⊆ A , akkor a két halmaz azonos: A = B . Ellenkező esetben A ≠ B .

Ha A ⊆ B és A ≠ B , akkor B -nek létezik legalább egy olyan eleme, amely nem eleme A -nak. Ekkor A  valódi részhalmaza B -nek, jelölése: A ⊊ B .

Egy A halmaz összes részhalmazának halmazát, P ( A ) -t, az A  hatványhalmazának hívjuk.

A véges A halmaz elemeinek számát (számosságát) A jelöli. Ha A véges, akkor P ( A ) = 2 A .

Az A halmaz komplemense, A ¯ , az alaphalmaz A -ban nem szereplő elemeit tartalmazza. A komplemens képzés legfontosabb tulajdonságait a 2.1. táblázat tartalmazza.

A és B halmazok egyesítése, másszóval uniója, A ∪ B , azon elemeket tartalmazza, melyek legalább vagy az A vagy a B halmaznak eleme (természetesen mindkettőnek is lehet eleme egyidejűleg):

A ∪ B = { x ∣ x ∈ A vagy x ∈ B } .

Az unió művelete tetszőleges számú argumentumra általánosítható:

⋃ i ∈ I A i = { x ∣ x ∈ A i valamely i ∈ I -re } ,

ahol { A i ∣ i ∈ I } egy halmazcsalád, I pedig egy tetszőleges indexhalmaz.

A és B halmazok metszete, A ∩ B , azon elemeket tartalmazza, melyek mind az A , mind a B halmaznak elemei:

A ∩ B = { x ∣ x ∈ A és x ∈ B } .

A metszet művelete is általánosítható tetszőleges számú argumentumra:

⋂ i ∈ I A i = { x ∣ x ∈ A i minden i ∈ I -re } ( { A i ∣ i ∈ I } ) .

Az egyesítés és a metszet műveletekre, valamint ezeknek a komplemenssel való kapcsolatára vonatkozó tulajdonságokat a 2.1. táblázat ismerteti. Ezen műveletek tulajdonságai a táblázatban páronként szerepelnek. Vegyük észre, hogy e párok tagjai az ∪ , ∩ , ∅ , X jeleket rendre ∩ , ∪ , X , ∅ jelekre történő cserével egymásba alakíthatók. Ezt a tulajdonságot a metszet és az unió dualitásának nevezzük. Mint látható, a duális műveletpárok egyikére vonatkozó állításból a fenti cserék végrehajtásával megkapjuk az állítás duálisát.

Involúció (kettős negáció törvénye):	A ¯ ¯ = A
Kommutativitás:	A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A
Asszociativitás:	( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
Disztributivitás:	A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )
Idempotencia:	A ∪ A = A A ∩ A = A
Elnyelési törvények:	A ∪ ( A ∩ B ) = A A ∩ ( A ∪ B ) = A
Elnyelési törvények ( X és ∅ ):	A ∪ X = X A ∩ ∅ = ∅
Identitás:	A ∪ ∅ = A A ∩ X = A
Az ellentmondás törvénye:	A ∩ A ¯ = ∅
A kizárt harmadik törvénye:	A ∪ A ¯ = X
DE MORGAN-azonosságok:	A ∩ B ¯ = A ¯ ∪ B ¯ A ∪ B ¯ = A ¯ ∩ B ¯

2.1. táblázat - Halmazműveletek alaptulajdonságai

Az alaphalmaz hatványhalmazának ( P ( X ) ) elemein a részhalmaz művelet egy részben rendezést valósít meg, ezért P ( X ) -n egy háló definiálható, amelyben a legkisebb felső korlát az unió, a legnagyobb alsó korlát pedig a metszet művelete. A 〈 P ( X ) , ∪ , ∩ 〉 hálót, amely disztributív (lásd 2.1. táblázat) és komplementumos (hiszen minden A ∈ P ( X ) -nek létezik komplemense P ( X ) -ben), BOOLE-hálónak vagy BOOLE-algebrának nevezzük.

Ha A és B halmazoknak nincs közös elemük, azaz A ∩ B = ∅ , akkor diszjunktak. Valamely A halmaz páronként diszjunkt, nem üres részhalmazainak családját az A egy partíciójának hívjuk, amennyiben ezen részhalmazok uniója A -val egyenlő:

π ( A ) = { A i ∣ i ∈ I , A i ⊂ A , A i ≠ ∅ , és ∀ i , j ∈ I , i ≠ j : A i ∩ A j = ∅ } .

Az A és a B halmaz DESCARTES-szorzata, A × B , olyan rendezett párokat tartalmazó halmaz, ahol az első elem az A , a második elem a B halmaznak eleme, azaz:

A × B = { 〈 a , b 〉 ∣ a ∈ A , b ∈ B } .

Ha A ≠ B és egyik halmaz sem üres, akkor A × B ≠ B × A .

A DESCARTES-szorzat tetszőleges számú argumentumra általánosítható:

A 1 × A 2 × ⋯ × A n = × 1 ≤ i ≤ n A i = { 〈 a 1 , a 2 ,…, a n 〉 ∣ a i ∈ A i minden i = 1 , 2 , … , n -re } ,

ahol { A 1 , A 2 , … , A n } valamely halmazcsalád. A többdimenziós alaphalmazt általában X = X 1 × X 2 × ⋯ X n alakban feltételezzük. A DESCARTES-szorzatok részhalmazai a relációk, melyekkel részletesen a 4. fejezetben foglalkozunk.