Ugrás a tartalomhoz

OXFORD - Matematika : Kislexikon

Tóth János (2007)

Typotex Elektronikus Kiadó Kft.

2. fejezet - Szótár

2. fejezet - Szótár

 

A, Á

a-

Tagadást jelentő előtag. Például az aszimmetrikus alakzat nem rendelkezik szimmetriával, nem szimmetrikus.

A

A 10-es szám tizenhatos (hexadecimális) számrendszerben.

a alapú exponenciális függvény

Legyen a egy egytől különböző pozitív valós szám. Az a alapú exponenciális függvény az az f függvény, amelyre minden esetén. Ezt élesen meg kell különböztetnünk attól, amit „az” exponenciális függvénynek hívunk. Az és az görbék illusztrálják a különbséget a között, amikor , és amikor . Lásd még exponenciális növekedés és exponenciális bomlás.

Két úton tisztázhatjuk, hogy mit is értünk az kifejezése.

  1. A hatványozás azonosságai megadják jelentését minden racionális x esetén. Irracionális x esetében tekintsünk egy racionálisokból álló sorozatot, amely az x értékhez tart. Például esetén egy ilyen sorozat lehet így minden értelmes, mivel minden esetben a racionális a kitevő. Be lehet látni, hogy ez a sorozat konvergens, és a határértéke lesz definíciószerűen . Ez a módszer tetszőleges valós x esetén alkalmazható.

  2. Másik út: ha az függvényt már definiáltuk, mondjuk az exponenciális függvény 2. megközelítésével, akkor mondhatjuk, hogy az függvény inverz függvénye. így a következő definíciót mondhatjuk ki: . Ez a módszer kevésbé kézenfekvő, mint 1., de kielégítőbb. Ebből a definícióból ugyanis következik, hogy , mint ahogyan azt elvárjuk, továbbá az alábbiak:

    1. , és .

    2. Ha n pozitív egész szám, akkor , ahol a n-szer szerepel, és azonos az kifejezéssel.

    3. .

a alapú logaritmusfüggvény

Lásd logaritmus.

abakusz

Számolótábla: a számokat rudakon lévő golyók képviselik.

a beírt kör középpontja

A háromszögbe írt kör középpontja a szögfelezők metszéspontja.

Abel, Niels Henrik

(1802–1829) Norvég matematikus, aki 19 éves korában bebizonyította, hogy a négynél magasabb fokú általános polinomiális egyenlet algebrailag nem oldható meg. Más szavakkal: nem létezik a másodfokú egyenletre vonatkozó ismert képlethez hasonló az ilyen egyenletek gyökeire. Alapvető eredményeket ért el az algebrai függvények elméletében is. 26 éves korában szegénységben halt meg, néhány nappal azelőtt, mielőtt megkapta volna azt a levelet, amely berlini professzori kinevezését tartalmazta.

Abel-csoport

A művelettel ellátott G csoport Abel-féle, ha a művelet kommutatív, azaz minden esetén .

Abel-díj

Az Abel-díjat évente a norvég király adományozza kiemelkedő matematikai teljesítményért. Eredeti (a XIX. század legvégéről származó) célkitűzése és az adományozott összeg (mintegy egymillió dollár) nagysága szerint is a Nobel-díj matematikai megfelelője. A díjazottak listáját a 10. Függelék tartalmazza.

Abel-féle kritérium

Függvénysorok konvergenciájára vonatkozó kritérium, amely kimondja, hogy ha konvergens sor, és ( intervallum) monoton csökkenő, nemnegatív, korlátos függvénysorozat, azaz és minden esetén, akkor a függvénysor egyenletesen konvergens. Számsorokra vonatkozó fontos speciális esetet kapunk, ha a függvénysorozat helyett numerikus sorozatot veszünk.

ábrázoló geometria

A matematikának az a területe, ahol a háromdimenziós alakzatokat síkra vetítik, hogy a térbeli problémákat grafikusan kezeljék.

abszcissza

A síkbeli Descrates-féle koordináta-rendszer első (x-) koordinátája.

abszolút cím

Táblázatkezelő programokban előfordulhat olyan képlet több cellában is, amely másik cella vagy cellák tartalmát használja. Mivel ez utóbbi celláknak a viszonylagos helyzete mindannyiszor más lesz, valahányszor a képlet egy új helyen megjelenik, a táblázatkezelők szintaxisa megengedi, hogy abszolút címet használjunk, amelyik minden cella esetére az aktuális sort és oszlopot tartalmazza. Ha egy képletet átmásolunk egy másik cellába, akkor az abszolút címet tartalmazó hivatkozások változatlanok maradnak. Egy képleten belül az abszolút és a relatív cím keveréke is használható.

abszolút érték

Az a valós szám abszolút értékét jelöli; ez maga a szám, ha , és , ha . így pozitív, kivéve, ha . Érvényesek a következő tulajdonságok:

  1. ,

  2. ,

  3. ,

  4. esetén pontosan akkor áll fenn, ha .

abszolút gyakoriság

Lásd gyakoriság.

abszolút hiba

Lásd hiba.

abszolút konvergens sor

A sor abszolút konvergens, ha a sor konvergens. Ha például , akkor az ebből képzett sor konvergens, de nem abszolút konvergens, míg ha , akkor abszolút konvergens.

abszolút szummábilis

Lásd abszolút konvergens sor.

absztrakció, elvonatkoztatás

Az a folyamat, amelynek során olyan általános kijelentést fogalmazunk meg, amely összegzi, hogy mit figyeltünk meg speciális esetekben. Például azt mondhatjuk, hogy , ha , és , ha vagy . A matematikai tételek lényegében állítások magas szintű absztrakciói.

absztrakt algebra

A matematikának az a területe, amely olyan algebrai struktúrákkal foglalkozik, mint a csoportok, gyűrűk és testek, amelyekben elemek valamilyen speciális műveletekkel ellátott halmaza kielégít bizonyos axiómákat. Általában az a célunk, hogy az axiómákból kiindulva olyan általános eredményeket kapjunk, amelyek az adott algebrai struktúra összes speciális esetére alkalmazhatók. Egyes algebrai struktúrák elmélete igen fejlett; speciálisan például a vektorterek elmélete annyira kiterjedt, hogy a tanulmányozásukkal foglalkozó lineáris algebrát már szokásosan nem tekintjük absztrakt algebrának.

acre

Angolszász területegység, 4840 négyzetyard, azaz 4046.86 . Egy hektár megközelítőleg 0.4 acre.

adat

Egy kísérletből, felmérésből, vagy esettanulmányból származó megfigyelés. Gyakran az adatokat véletlenszerűen válogatjuk egy populációból. A számszerű adat diszkrét, ha a populáció véges vagy megszámlálhatóan végtelen, és folytonos, ha a populáció egy véges vagy végtelen intervallumot alkot. Az adat nominális, ha a megfigyelések nem számszerűek vagy kvantitatívak, hanem csak szemléltetőek. Például a származási hely, vagy valamely jármű típusa nominális adatok.

adatfeltárás

Az adatelemzésnek az a módszere, amely az adatok elemzését tűzi ki célul kezdetben, rendszerint számos, többnyire grafikus módszerrel, hogy betekintést próbáljon nyerni az adatok, és a mögöttük rejlő struktúra természetébe, abba, hogy melyek a fontos változók és melyek a kiugró adatok. Ennek eredménye befolyásolhatja azt, hogy milyen elemzési módszerek mellett döntünk. Ez a megközelítés először Tukey 1977-es munkájában mutatta meg fontosságát.

adathalmaz átlaga

Ez általában a számtani középre utal. Vesd össze lokációs paraméter.

adatvédelem

Érzékeny adatok esetében az adatok bizalmas kezelése könnyebben megvalósítható, mint a teljes anonimitás, de az érzékeny adatokra vonatkozó felmérések mégis megbízhatatlanok, mivel nehéz megbízni a válaszok igazságában.

addíciós képletek

Két szög összegének vagy különbségének trigonometrikus függvényei kifejezhetőek az egyes szögek szögfüggvényeinek valamilyen kifejezésével.

Ezekkel tudjuk kezelni a szinuszok vagy koszinuszok összegét és különbségét az alábbi formában:

addíciós képletek hiperbolikus függvényekre

Lásd hiperbolikus függvények.

additív csoport

Ha egy csoportban a művelet jele , neve összeadás, akkor a csoportot additív csoportnak nevezhetjük. A csoport műveletét rendszerint csak akkor szokás a jellel jelölni, ha a csoport kommutatív, így egy additív csoport rendszerint Abel-csoport.

additív egység

Az összeadás műveletének egységeleme, általában 0 jelöli, így .

additív függvény

Az f függvény additív, ha eleget tesz az Cauchy-féle függvényegyenletnek.

additív inverz

Lásd inverz elem.

ad infinitum

Végtelen sokszor ismételve. (A. m. „a végtelenségig”.)

adj

Az adjungált rövidítése.

adjungált

Az A négyzetes mátrix adjungáltja, , az A mátrix előjeles aldeterminánsaiból álló mátrix transzponáltja. Legyen az mátrix eleméhez tartozó előjeles aldetermináns . Ekkor az előjeles aldeterminánsok mátrixa , és . Például a -as

A -es esetben, ha

Az adjungált azért fontos, mert arra használható, hogy megtaláljuk egy mátrix inverzét. Az előjeles aldeterminánsok tulajdonságaiból kimutatható, hogy . Ebből következik, hogy amikor , akkor A inverze .

adjungált

Az komplex elemű négyzetes mátrix adjungáltja, , az A mátrix elemeinek konjugáltjából álló mátrix transzponáltja: .

aerodinamikai ellenállás

Levegőben mozgó testre (például a Föld légkörében szálló repülőgépre) a test felszíne körüli légáramlás következtében erő hat. Az erő a repülési pálya érintőjével párhuzamos aerodinamikai ellenállásnak és a repülési pályára merőleges emelőerőnek az összege.

afélium

Lásd apszis.

affin geometria

A geometriának az az ága, amely síkról síkra való párhuzamos vetítésnél (affin transzformációnál) megmaradó tulajdonságokkal foglalkozik. Ilyen transzformációknál bizonyos tulajdonságok nem maradnak meg, speciálisan Eukleidész harmadik és negyedik axiómája nem teljesül.

affin transzformáció

Olyan transzformáció, amely megőrzi a kollinearitást, ennélfogva egyenest egyenesbe visz, párhuzamos egyeneseket párhuzamosokba, és megtartja a távolságok arányát (három pont osztóviszonyát).

a fogoly dilemmája

Bármely olyan helyzet, amely lényegében hasonlít a következőhöz: két rabot kérdeznek meg külön-külön egy bűntényről. Ha mindketten tagadnak, akkor nincs bizonyíték ahhoz, hogy felelősségre vonják őket, ezért szabadon fogják engedni őket. Ha az egyik vall a másikra, aki tagad, akkor az elsőt szabadon engedik, a másikat pedig keményen megbüntetik. Ha mindketten vallanak, akkor mindketten kapnak büntetést, enyhébbet, mint az a rab az előző esetben, aki tagadott. A „dilemma” a rab számára az, hogy a tagadás a lehető legjobb eredménnyel járhat és lehető legrosszabbal is, a másik rab vallomásától függően. Ennek egy példája a fegyverkezési verseny, ahol a legjobb esetben mindkét fél leszerel, de az egyoldalú leszerelés megsemmisüléssel végződhet.

ág

Görbe egy szakasza olyan végponttal, amelyben egy másik szakasszal találkozik, és ahol a görbe deriváltjának szingularitása van. Lásd még hiperbola ága.

a hányados deriválási szabálya

Lásd deriválás.

a harmadik kizárásának elve

Az az állítás, hogy minden kijelentés vagy igaz vagy hamis; más szóval, nem lehet, hogy se nem igaz, se nem hamis: nincs harmadik eset. (Latinul: tertium non datur.)

a hazug paradoxona

A paradoxon a következő állításban rejlik: „Ez az állítás hamis.” Gondoljuk meg ugyanis, hogy ha abból indulunk ki, hogy igaz, akkor hamis, ha pedig abból, hogy igaz, akkor szükségképpen hamisnak kell lennie.

Aitken-módszer

(numerikus módszer) Amikor egy iteratív (rekurzív) képletet használunk egy egyenlet megoldására, Aitken módszere a konvergenciát úgy gyorsítja, hogy a kezdeti értéket és a képlettel kiszámolt következő két értéket használja föl arra, hogy jobb közelítést számoljon, mint amilyet maga az iteratív képlet adna. Azután ezt a közelítést lehet fölhasználni új kezdőpontként, ahonnan megismételjük a folyamatot mindaddig, amíg el nem érjük a kívánt pontosságot. Bár ez a fajta eljárás számításigényes, a táblázatkezelők nagyon könnyen tudják kezelni.

Ha a kezdeti érték, és és az első két közelítés és és az első két előremutató differencia, akkor legyen . Általánosságban legyen .

a játékelmélet alaptétele

A következő, Neumann János nevéhez fűződő tétel, amely minimax tétel néven is ismert.

Tétel. Tegyük fel, hogy egy mátrixjátékban jelöli a várható nyereséget, ahol x és y a két játékos kevert stratégiája. Ekkor

Az egyik játékos, S, maximin stratégiát alkalmazva elérheti, hogy várható nyeresége legalább akkora legyen, mint a tételbeli egyenlőség bal oldala. Hasonlóképpen, minimax stratégia alkalmazásával a másik játékos, O, azt érheti el, hogy a várható nyereség legfeljebb akkora legyen, mint az egyenlet jobb oldala. Az ilyen stratégiákat optimális stratégiáknak nevezzük. Mivel a tétel szerint a két oldal egyenlő, ezért ha S és O optimális stratégiát alkalmaz, a várható nyereség egy közös értékkel lesz egyenlő, amit a játék értékének nevezünk.

Tekintsük például azt a játékot, melynek mátrixa

Ha , akkor meg lehet mutatni, hogy minden y esetén . Hasonlóan, ha , akkor minden x esetén . Ebből következik, hogy a játék értéke 10/3, és , illetve a két játékos optimális stratégiája.

Akhillész-paradoxon

A paradoxon onnan ered, hogy megfigyeljük, hogyan megy végbe az utolérés. Akhillész előnyt ad a teknősbékának egy futóversenyben. Ahhoz, hogy utolérje őt, el kell érnie a teknős kezdeti helyzetét, azután azt a pontot, ahová közben a teknős elért, és így tovább, ad infinitum. A végkövetkeztetés, amely szerint nem tudja utolérni soha, mivel jól definiált, nullától különböző távolságok végtelen összegét kellene megtennie, hamis, innen a paradoxon.

a kínai postás problémája

Lásd útbejárási probléma.

akkor és csak akkor

Lásd előzmény, következmény, szükséges és elégséges feltétel.

a kocka megkettőzése

Az egyik probléma, amit az ókori görög matematikusok próbáltak megoldani: körző és vonalzó segítségével megszerkesztendő egy olyan kocka éle, amelynek térfogata kétszerese egy adott kocka térfogatának. Ezzel ekvivalens probléma egy hosszúságú szakasz szerkesztése, ha adott egy egységnyi hosszúságú szakasz. A fenti módszerrel csak olyan hosszak kaphatók meg, melyek egy adott osztályba tatozó számokkal egyenlők, ezen osztályba tartozó számok pedig összeadással, kivonással, osztással, és négyzetgyökvonással állnak elő. Mivel nem tartozik ezen osztályba, a kocka megkettőzése lehetetlen.

a kör négyszögesítése

A görög geométerek által kitűzött egyik probléma (a a kocka megkettőzése és szögharmadolás mellett), amelyet körzővel és vonalzóval végzett szerkesztéssel akartak megoldani: szerkesztendő adott körrel azonos területű négyzet. Ez egyenértékű a hosszúság megszerkesztésével, ha adott az egység. Körzővel és vonalzóval végzett szerkesztéssel viszont csak olyan hosszúságok szerkeszthetők, amelyek algebrai számok (azok közül se mind, például a kocka megkettőzéséhez szükséges szám nem). így tehát miután 1882-ben Lindemann bebizonyította, hogy transzcendens szám, kiderült, hogy a kör nem négyszögesíthető. Vesd össze Laczkovich.

aktív kényszerfeltétel

Azt mondjuk, hogy egy olyan (leginkább optimalizálási feladat kényszerfeltételeként szereplő) egyenlőtlenség – mint például aktív a határ pontjaiban, azaz ahol egyenlőség áll, például a és a pontban.

alakzat

Pontok, vonalak, felületdarabok kombinációja egy geometriai alakzatban.

alakzat szimmetriája

Egy alakzat lehet tengelyesen szimmetrikus vagy tükörszimmetrikus egy egyenesre (a tengelyre) vagy egy síkra, vagy lehet forgási szimmetriája.

alap

Lásd exponenciális függvény alapja, egyenlőszárú háromszög alapja, logaritmus alapja, természetes alapú logaritmus alapja, gúla alapja, számrendszer alapszáma.

alapegység

Lásd SI egységrendszer.

alaphalmaz

Bármely E halmazt kinevezhetünk alaphalmaznak, s ezután csak E részhalmazai körében vizsgálódunk. Komplementerképzésről például mindaddig nincs értelme beszélni, amíg nem rögzítettünk egy alaphalmazt.

alapmegoldás

Amikor segédváltozókat vezetünk be egy lineáris programozási feladatban, akkor több egyenlet van, mint változó. Ha n-nel több változó van, mint egyenlet, akkor az alapmegoldást úgy kapjuk meg, hogy az n számú változó különböző kombinációit nullával tesszük egyenlővé, így csökkentve a változók számát annyira, ahány egyenletünk van. Ha valamelyik kiegészítő változó negatív, akkor a megoldás nem megengedett. Minden egyes megoldás esetén azt az n számú változót, amelyet nullává tettünk, nemalap-változónak nevezzük, a többieket pedig alapváltozóknak hívjuk.

alapon fekvő szögek

Lásd egyenlőszárú háromszög.

alapváltás (logaritmusé)

Lásd logaritmus.

alapváltozók

Lásd alapmegoldás.

Bármely végtelen számosság; szokásosan az (indexszel ellátott) (alef) héber betűvel jelöljük. Lásd még transzfinit szám.

A legkisebb végtelen számosság. Bármely olyan halmaz számossága, amely kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésbe hozható a természetes számok halmazával. Az ilyen halmazokat megszámlálhatóan végtelen halmazoknak nevezzük, és számosságuk jelölésére az szimbólumot használjuk. A számelmélet egyik látszólagos paradoxona, hogy a 0 és 1 közötti racionális számok halmaza, a racionális számok halmaza és a természetes számok halmaza egyenlő számosságú.

a legkisebb négyzetek módszere

A legkisebb négyzetek módszere a statisztikában paraméterek becslésére használatos módszer, például regressziónál. Segítségével becslést a paraméterekre oly módon kapunk, hogy a megfigyelt és a feltételezett értékek különbségeinek négyzetösszegét minimalizáljuk. Tegyük fel például, hogy lineáris regressziónál , ahol n megfigyelt értékpárunk van, . Ekkor a legkisebb négyzetek módszere alapján és becslése az az a és b szám, amelyre a összeg minimális.

a legnagyobb valószínűségen alapuló becslés

Egy ismeretlen paraméter becslése a legnagyobb valószínűség módszerével, hívták maximumlikelihood-becslésnek is. Lásd likelihoodfüggvény.

a legrövidebb útvonal módszere

A legrövidebb útvonal meghatározására szolgáló algoritmus. Az eljárás lényegében abban áll, hogy a pontokat megcímkézzük a kiindulási ponttól mért minimális távolságukkal a növekvő minimális távolság sorrendjében. Ennélfogva egyetlen fázisban sem kell több lehetséges utat figyelembevennünk a már megcímkézett pontok egyikéhez sem. Az eljárás véget ér, amint a végső pontot is megcímkéztük ilyen módon, még akkor is, ha maradt olyan pont, amelyet még nem címkéztünk meg – ezekre ugyanis a legrövidebb út hosszabb lenne, mint amit megkaptunk.

Alexandriai Diophantosz

Lásd Diophantosz.

Alexandriai Hérón

Lásd Hérón.

alexandriai Meneláosz

Lásd Meneláosz.

alexandriai Papposz

Lásd Papposz.

algebra

A matematikának az a területe, amelyik az aritmetika általános tulajdonságaival foglalkozik. A kapcsolatokat változókkal lehet kifejezni, amelyeket rendszerint az ismeretlen mennyiségeket képviselő betűk jelölnek, s amelyek értékét vagy értékeit a keletkező egyenletek megoldásával lehet meghatározni. Lásd még: absztrakt algebra és lineáris algebra.

-algebra

Az S nem üres halmaz részhalmazaiból álló halmazrendszert -algebrának nevezzük, ha

  1. ;

  2. ha , akkor , (ahol az A halmaz komplementuma);

  3. ha minden n természetes számra , akkor .

(Itt az S halmaz hatványhalmaza.)

algebraic geometry

A matematikának az a területe, amely a geometriát algebrai módszerekkel tanulmányozza.

algebrai lezárt

Egy adott halmaz olyan kibővítése, amely már tartalmazza a halmazból vett együtthatókkal fölírt polinomok összes gyökét. A legszűkebb algebrailag zárt számhalmaz a komplex számok halmaza, mivel már a nagyon egyszerű egyenletnek van komplex megoldása, és mivel a komplex együtthatós polinomok gyökei már mind a komplex számok halmazába esnek.

algebrai rendszer

Műveletekkel és relációkkal ellátott halmaz, másképp: relációkkal is ellátott algebrai struktúra.

algebrai struktúra

Elemek műveletekkel ellátott, bizonyos axiómákat kielégítő halmaza. így a csoport, a gyűrű, a test algebrai struktúra. A definíciók célja, hogy felismerjük a matematikában különböző összefüggésekben megjelenő hasonlóságokat, majd axiómák segítségével összefoglaljuk ezeket.

algebrai szám

Egész együtthatós polinom gyökeként adódó (általában komplex) szám. Az összes racionális szám algebrai, mivel például ha a és egész szám, akkor gyöke a egyenletnek. Néhány irracionális szám is algebrai, például gyöke az egyenletnek. Az olyan irracionális számokat, amelyek nem algebraiak (amilyen például a szám), transzcendens számoknak nevezzük.

algoritmus

Pontosan leírt rutin eljárás, amely alkalmazható és szisztematikusan követhető a végső következtetésig.

alkalmazott

A tudás gyakorlati alkalmazása, mint az alkalmazott matematikában.

alkalmazott matematika

A matematika azon területe, mely a természet és a társadalom törvényeit vizsgálja. Ide tartozik a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika, a diszkrét matematika és a döntéselmélet, valamint az olyan elméleti matematika alkalmazásai, a valóságos világ problémáinak megoldásában, mint amilyen a mátrixok elmélete. Egyes országokban ide sorolják az elméleti mechanikát is. Bizonyos szerzők kerülik az „alkalmazott matematika” kifejezést, és inkább a „matematika alkalmazásairól” szeretnek beszélni.

al-Khwarizmi (Mohamed ibn Músa)

(IX. század) Bagdadi arab matematikus és csillagász, két jelentős művet írt az aritmetikáról és algebráról. Ezeken keresztül terjedt el Európában a hindu–arab számírás. Az „algoritmus” szó az ő nevéből származik, mely a hindu (eredetileg hindu, éppen azért nevezik arabnak, mert ő arab volt) számrendszerről szóló könyvének címében szerepel. Az „algebra” szó egy másik könyvének címéből ered, amely többek között másodfokú egyenletek megoldására is ad a teljesnégyzetté-alakításhoz hasonló módszert.

alkotó

Lásd kúp, henger.

Al-Kvarizmi

Lásd az A betűnél.

állandó

(fizikai törvényekben) Olyan mennyiségek értéke, amilyen például a fénysebesség, állandó, ha rögzítettük a mértékegységeket. Bizonyos esetekben a mértékegységeket úgy rögzítik, hogy egyes állandók az egyszerűség kedvéért eggyel legyenek egyenlők. Newton második törvénye szerint egy test gyorsításához szükséges erő arányos a tömeg és a gyorsulás szorzatával. Az erő Newton nevét viselő mértékegységét úgy állapították meg, hogy ez a törvény SI egységrendszerben erre egyszerűsödjön: erő = tömeg gyorsulás.

állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet

Az egyszerűség kedvéért tekintsük a következő másodrendű differenciálegyenletet:

ahol a,b és c adott konstansok, f pedig valamely nyílt intervallumon értelmezett folytonos függvény. (A magasabbrendű differenciálegyenletek hasonlóan kezelhetők.) Tegyük fel, hogy f nem az azonosan nulla függvény. Ekkor az

egyenlet az (1) inhomogén egyenletnek megfelelő homogén egyenlet. Ezekkel kapcsolatban a következő tétel teljesül:

Tétel. Ha G a (2) homogén egyenlet általános megoldása és az (1) inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása, akkor az (1) inhomogén egyenlet általános megoldása. Ezáltal az (1) egyenlet megoldása visszavezethető a G és függvény meghatározására.

A (2) homogén egyenlet általános megoldása meghatározható úgy, hogy megoldásait alakban keressük. Ebből az karakterisztikus egyenletet kapjuk. Ha az egyenlet két különböző valós gyöke és , akkor a homogén egyenlet általános megoldása ; ha az egyenlet kétszeres valós gyöke m, akkor ; ha az egyenlet két komplex gyöke , akkor .

Az (1) inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása (bizonyos feltételek teljesülése esetén) egyszerűbb esetekben úgy található meg, hogy a megoldást f -hez hasonló alakban keressük. Azaz, ha például , akkor keressük a partikuláris megoldást alakban. Ha f polinom, akkor keressük a partikuláris megoldást f -fel azonos fokszámú polinom alakjában. Ha vagy , akkor legyen alakú. Mindegyik esetben az ismeretlen együtthatók értékét úgy kaphatjuk, hogy a feltételezett partikuláris megoldást az (1) inhomogén egyenletbe behelyettesítjük. Ha f két tag összege, a megfelelő partikuláris megoldások együtthatói behelyettesítéssel külön-külön meghatározhatók.

Ezen eljárás alkalmazásával például az egyenlet általános megoldása .

állandók

Bizonyos számok például , vagy az „aranymetszés” , amelyek gyakran előfordulnak a matematikában és a természetben. Mivel ezek puszta számok, értékük független a mérésekben használt skáláktól.

állandó tag

Lásd polinom.

állapot, állapottér

Lásd sztochasztikus folyamat, differenciálegyenlet.

állítás

A matematikai logikában egy állítás vagy ítélet alapvető tulajdonsága, hogy értelmes, és vagy igaz, vagy hamis (kizárva azt a lehetőséget, hogy mindkettő egyszerre). Például annak az állításnak, hogy „Van olyan valós x szám, amelyre ” van értelme, és igaz, míg annak az állításnak, hogy „Ha x és y pozitív egész szám, akkor pozitív egész szám” ugyan szintén van értelme, de hamis, „2 nagyobb” pedig nem állítás, ugyanis nincs értelme.

A matematikában olyan kijrelentés, amely vagy bizonyítást igényel vagy már bizonyítva van.

alsóháromszög-mátrix

Lásd háromszögmátrix.

alsó határ

Lásd integrálási határok.

alsó határérték

Az valós számsorozat alsó határértékének értelmezéséhez képezzük a számok limeszét:

illetve legyen amennyiben a sorozat alulról nem korlátos. Ez a szám a sorozat összes konvergens részsorozatának határértékéből álló halmaz legkisebb eleme.

alsó korlát

Lásd korlát.

általános háromszög

Kerülendő elnevezése az olyan háromszögnek, amelynek mindhárom oldala különböző hosszúságú.

általánosított sajátvektor és sajátérték

  1. Legyen A és B négyzetes mátrix. A nullától különböző x vektort az párhoz tartozó általánosított sajátvektornak nevezzük, ha léteznek olyan számok, amelyekkel teljesül. A számot általánosított sajátértéknek nevezzük, és értékét -nek vesszük, ha (előjelét ekkor előjele adja).

  2. Az A négyzetes mátrix általánosított sajátvektorának nevezzük a nullától különböző x vektort, ha valamilyen pozitív egész k számra és komplex számra teljesül. A szám ekkor k multiplicitású sajátérték. A közönséges sajátvektorhoz és sajátértékhez jutunk esetén.

általánosított valószínűséghányados-próba

Az általánosított valószínűséghányados-próba a következő statisztikán alapul: vegyük a megfigyelt értékek legnagyobb valószínűségét a nullhipotézishez és az ellenhipotézishez tartozó paraméterértékek mellett, és ezeket osszuk el egymással.

általános megoldás

Az olyan n különböző tetszőleges állandót tartalmazó függvényt, amely kielégít egy n-edrendű differenciálegyenletet, és amely megadja az egyenlet összes megoldását az állandók alkalmas megválasztása esetén, általános megoldásnak nevezzük. Az inhomogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldása a megfelelő homogén differenciálegyenlet általános megoldásának és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának az összege.

általános relativitáselmélet

Lásd relativitáselmélet.

altér

Egy V vektortér, például az n-dimenziós tér olyan részhalmaza, amely V műveleteivel maga is vektorteret alkot. Például a közönséges 3-dimenziós tér vektortérnek tekinthető a valós számok felett, amelynek 2-dimenziós altere minden olyan sík, amely az origón átmegy; 1-dimenziós alteret pedig az origón átmenő egyenesek alkotnak. (Az origón át nem menő egyenesek nem alkotnak alteret, mert ezek nem tartalmazzák a nullvektort. Egy origó közepű körlap – vagy bármely más korlátos alakzat – szintén nem lehet altér, mert ez nem lenne zárt a számmal való szorzásra.) A legfeljebb ötödfokú valós együtthatós egyváltozós polinomok vektorterében alteret alkotnak például a legfeljebb harmadfokú polinomok.

alternatív hipotézis

Lásd hipotézisvizsgálat.

áltört

Lásd tört.

alulhatározott

Egy egyenletrendszer alulhatározott, ha több ismeretlent tartalmaz, mint egyenletet. Megjegyezzük, hogy az így értelmezett alulhatározottságnak és az egyenletrendszer megoldásszámának semmi köze sincs egymáshoz, amint azt az alábbi három példa mutatja. Az egy egyenletből álló rendszer nyilván alulhatározott, és végtelen sok megoldása van. Az alulhatározott rendszernek a valós számok körében pontosan egy megoldása van, míg az egyenletnek nincs valós megoldása.

alulról

Lásd bal oldali.

amp

Az amplitúdó rövidítése és jelölése.

amplitúdó

Tegyük fel, hogy , ahol A ( ), és állandó. Ez a képlet például egy egyenes vonal mentén mozgó részecske t pillanatbeli kitérését adhatja meg. A részecske tehát az O origó körül rezeg. Az A állandó az amplitúdó, amely megadja a legnagyobb távolságot, ameddig a részecske az origótól mindkét irányban eljut.

A kifejezés alkalmazható csillapított rezgések esetén is a megfelelő együttható megnevezésére, bár ilyenkor ez nem állandó. Például esetén azt mondják, hogy a rezgések amplitúdója , amely nullához tart, amint t tart a végtelenhez.

a nagy számok gyenge törvénye

Legyen ( ) független, azonos eloszlású, várható értékű, véges szórásnégyzetű valószínűségi változók sorozata. Ekkor az átlagokból képzett sorozat esetén 1 valószínűséggel a számhoz tart, vagyis bármely és pozitív számhoz van olyan index, hogy minden esetén .

a nagy számok törvényei

(valószínűségszámítás) Néhány olyan tétel összefoglaló elnevezése, melyek az azonos eloszlású független valószínűségi változókból képzett kifejezés viselkedését nagy n-ek esetén leírják. Például a egyenlőség azt jelenti, hogy független, azonos eloszlású valószínűségi változók átlaga 1 valószínűséggel a populáció várható értékéhez konvergál. Lásd még a nagy számok gyenge törvénye.

analitikus függvény

Egy komplex változós, komplex értékű függvény az értelmezési tartományának egy pontjában analitikus, ha az adott pont valamely környezetében konvergens hatványsorba fejthető. A függvény analitikus, ha az értelmezési tartományának minden pontjában analitikus.

analitikus geometria

A matematikának az a területe, amely a koordinátageometriát vizsgálja.

analízis

A matematikának az a területe, amely olyan témákat foglal magába, amelyek határfolyamatok használatát igénylik. így a differenciálszámítás és az integrálszámítás minden bizonnyal ide tartozik. Ezeken kívül vannak még más témák is, amelyekben ilyen fajta „végtelen” folyamatok szerepelnek, például a végtelen sorok összegzése. A binomiális tétel, ami algebrai tétel, akkor vezet az analízishez, amikor a kitevő nem pozitív egész szám. A szinusz és a koszinusz vizsgálata, ami trigonometriaként kezdődik, analízissé válik, amikor levezetjük e függvények hatványsorát. Az „analízis” kifejezést arra is szokták használni, amikor a kalkulus témáinak és a valós számok rendszerének szigorú megalapozását adják.

analóg eszköz

Folytonos mennyiség mérésére (esetenként: manipulálására, szimulálására) szolgáló (mérő)eszköz, mely a mérési eredményt folytonos skálán mutatja. Ilyenek például egy óra mutatói (feltéve, hogy a másodpercmutató simán jár).

a newtoni mozgástörvények

Állandó tömegű részecskék mozgására vonatkozó három törvény, melyeket Newton Principia című művében fogalmazott meg. A következő formában mondhatók ki:

  1. Ha egy részecskére zérus eredő erő hat, akkor nyugalomban van, vagy állandó sebességgel mozog.

  2. Egy részecske impulzusának változási üteme egyenlő a részecskére ható eredő erővel.

  3. Ha egy részecske erőt fejt ki egy másik részecskére, akkor az utóbbi részecske ugyanakkora nagyságú, ellentétes irányú erőt fejt ki az előbbi részecskére.

Az első törvény szerint egy részecske sebességének megváltoztatásához erő kifejtésére van szükség. A részecskének a második törvényben szereplő p impulzusát a képlet adja meg, ahol m a részecske tömege, v pedig a részecske sebessége. így állandó tömeg esetén , ahol a a részecske gyorsulása. A második törvényt ezért gyakorta alakban írják fel, ahol F a részecskére ható eredő erő. A harmadik törvényt néha a „hatás-ellenhatás” vagy „akció-reakció” elvének nevezik.

anonimitás

Az emberek gyakran különbözőképpen válaszolnak személyes kérdésekre attól függően, hogy mit gondolnak arról, mennyire maradnak névtelenül. Mivel nagyon fontos, hogy igaz válaszokat kapunk, egy felmérésnél igen fontos az anonimitás, vagy legalább is az, hogy az adatokat szigorúan bizalmasan kezeljék.

ANOVA

Lásd varianciaanalízis.

anti-

Előtag, jelentése ellentétes, ellen-.

antiderivált

Lásd primitív függvény.

antiparallel

Irányított egyenesekből vagy vektorokból álló pár, amelyek párhuzamosak, de ellentétes az irányításuk.

antiprizma

Szokásosan egy olyan konvex poliéder, melynek két szemközti „alaplapja” egybevágó szabályos sokszög, amelyek párhuzamos síkokban fekszenek úgy, hogy az egyik alaplap minden egyes csúcsa a másik alaplap két csúcsával egy élen keresztül össze van kötve, a többi oldala pedig egyenlőszárú háromszög. Ezt a kifejezést használják az ehhez hasonló olyan poliéderre is, melynek alapjai nem szabályos sokszögek, oldallapjai pedig bár háromszögek, de nem egyenlő szárúak. Ebben az esetben azt mondhatjuk, hogy az első definíció, az egyenes szabályos antiprizma definícióját adja. Ha az alaplapok szabályosak és a háromszögek egyenlő oldalúak, akkor az antiprizma félig szabályos test.

antiszimmetrikus mátrix

Lásd ferdén szimmetrikus mátrix.

antiszimmetrikus reláció

Az S halmazon értelmezett kétváltozós reláció antiszimmetrikus, ha bármely esetén és maga után vonja, hogy . Például, a reláció az egész számok halmazán antiszimmetrikus. (V. ö. aszimmetrikus reláció.)

apogeum

Lásd apszis.

Apollóniosz

(I. e. 262–i. e. 190) Görök matematikus, akinek a A kúpszeletek című könyve egészen a modern időkig a legfontosabb munka volt az ellipszisről, a paraboláról és a hiperboláról. őtőle származik az az ötlet is, hogy a bolygók mozgása epiciklikusokkal írható le. Eukleidésszel és Arkhimédésszel együtt a görög matematika aranykoraként ismert i. e. harmadik századot lefedő időszak kiemelkedő matematikusai voltak.

Apollóniosz-kör

Adott a síkban két pont, A és B, illetve egy k pozitív valós állandó. Akkor azon P pontok halmaza a síkban, melyekre teljesül, az Apollóniosz-kör. A értékre egyenest kapunk, így ezt az értéket vagy ki kell zárnunk, vagy ebben az összefüggésben az egyenest a kör speciális esetének kell tekintenünk. Az ábrán .

a posteriori

Olyan igazság, amely nem ismerhető meg tapasztalás nélkül, azaz nem vezethető le elfogadott definíciókból a logika segítségével. Például a newtoni mozgástörvények a testek megfigyelt viselkedését írják le, nem pedig elvekből vezetik le azokat, ahhoz hasonlóan, ahogyan például a kockadobás lehetséges eredményeinek valószínűségei levezethetők.

aposzteriori eloszlás

Lásd apriori eloszlás.

aposzteriori valószínűség

Lásd apriori valószínűség.

approximációelmélet

A numerikus analízisnek az a területe, amely azzal foglalkozik, hogy hogyan lehet az F függvényhez egy egyszerűbben számolható f függvényt találni, amelynek megközelítőleg azonosak az értékei az adott F függvényéivel valamely adott részhalmazán. így a jobban kezelhető f függvényen hajtjuk végre az elemzést tudván, hogy az eltérés kicsi lesz.

a priori

Tapasztalatok nélkül megismerhető, azaz olyan igazság, mely logikailag levezethető előre lefektetett definíciókból. Például az egyes pontszámok valószínűsége egy szabályos kockával végzett dobások esetén kiszámolható a kimenetelek egyenlő valószínűségének elvéből.

apriori eloszlás

Egy paraméterhez társított eloszlás azelőtt, hogy bizonyos adatokkal rendelkeznénk. Az aposzteriori valószínűség pedig a paraméterhez az adatok megszerzése után hozzárendelt valószínűség. Ezután apriori eloszlásnak tekinthető, amíg további adatokhoz nem jutunk.

apriori valószínűség

Egy eseményhez rendelt valószínűség, mielőtt még bizonyos adatokkal rendelkeznénk. Az aposzteriori valószínűség pedig az eseményhez az adatok megszerzése után hozzárendelt valószínűség. Az aposzteriori valószínűség a Bayes-tétel segítségével számítható ki. Ezután apriori valószínűségnek tekinthető, amíg további adatokhoz nem jutunk.

apszis

A pálya olyan pontja, ahol a test a rádiuszvektorra merőleges irányban mozog. Az olyan ellipszispálya, melynek egyik fókuszpontjában található a vonzócentrum, két apszissal rendelkezik: ezek azok a pontok, ahol a test a legközelebb, illetve a legtávolabb van a vonzócentrumtól. Ha a vonzócentrum a Nap, akkor ezt a két pontot perihéliumnak és aféliumnak nevezik. Ha a vonzócentrum a Föld, akkor a pontok neve perigeum és apogeum.

arab szám

Lásd számjegy.

arány

Két szám vagy mennyiség hányadosa, amely megadja viszonylagos méretüket. Az x mennyiség y-hoz viszonyított arányát -nak írjuk, és változatlan marad, ha mindkét mennyiséget ugyanazzal a mennyiséggel szorozzuk vagy osztjuk. Tehát ugyanannyi, mint és . Ha az arány alakban van kifejezve, egységaránynak vagy (ha a nevező egész szám) törzstörnek nevezzük. Ezzel az alakkal sokkal könnyebb az arányok összehasonlítása.

aranymetszés

Azt mondjuk, hogy egy szakaszt az aranymetszés arányában osztunk két részre, ha az egész szakasz hossza úgy aránylik a nagyobbik szakaszhoz, mint a nagyobbik szakasz a kisebbikhez. Tehát ha a kisebbik rész hosszát egységnyinek tekintjük, és a nagyobbik hosszát -val jelöljük, akkor . Innen azt kapjuk, hogy , ahonnan . A számot az aranymetszés arányának nevezzük. Történetileg fontos szerepe van az aranymetszésnek, például úgy tekintették (és pszichológiai vizsgálatokkal is alátámasztották), hogy az a téglalap, melynek oldalaira fennáll ez az arány, különlegesen kellemes alakú. Megvan az a tulajdonsága, hogy levágva belőle egy négyzetet, olyan téglalapot kapunk, melyek oldalaira szintén ez szintén teljesül.

arányos osztás

  1. (vektorokra) Legyen A és B két pont, amelyet az a és a b helyvektor definiál, P pedig az A és B ponton átmenő egyenesnek az a pontja, amelyre , ahol . Akkor P helyzetvektora az a p vektor, amelyet arányos osztással határozunk meg:

    Megválaszthatjuk m és n értékét úgy, hogy legyen, ekkor – továbbra is az eredeti jelöléseket megtartva – , és így azt kapjuk, hogy .

  2. (a síkon) Ha az A és B pont Descartes-féle koordinátái és , P pedig az A és B pontokon átmenő egyenesnek az a pontja, amelyre , ahol , akkor P koordinátáit arányos osztással így határozhatjuk meg:

    Ha a P pont az egyenesnek olyan pontja, amelyre , akkor koordinátái .

  3. (a háromdimenziós térben) Végül, ha A és B két pont a háromdimenziós térben, amelynek Descartes-koordinátái és , P pedig az A és B pontokon átmenő egyenesnek az a pontja, amelyre , ahol , akkor P koordinátáit arányos osztással határozhatjuk meg:

    Ha a P pont az egyenesnek olyan pontja, amelyre , akkor koordinátái .

arányosság

Ha az x és y mennyiséget az egyenlet kapcsolja össze, ahol k egy állandó, akkor azt mondjuk, hogy y (egyenesen) arányos x-szel, amit így is írhatunk: . A k állandó az arányossági tényező. Azt is mondjuk, hogy y x-szel arányosan változik. Ha ábrázoljuk az párokat, origón átmenő egyenest kapunk.

Ha , akkor y fordítottan arányos x-szel. Ezt úgy írjuk, hogy , és azt mondjuk, hogy y fordítottan változik x-szel.

arányossági tényező

Lásd arányosság.

arányskála

Lásd intervallumskála.

arányskála (statisztikában)

Olyan skála, amelynek van nullapontja és amelynek segítségével arányokat hasonlíthatunk össze. Tehát a tárgyak hossza egy arányskálán változik, és egy oldal lehet kétszer olyan hosszú, mint amilyen széles, de a hőmérsékleti skála nem ilyen, mert a nulla önkényesen választható meg és a „kétszer olyan meleg” nem értelmes kijelentés. Míg az idő nem arányskálán mérhető, az adott feladat elvégzéséhez szükséges időtartam hossza igen.

arccos, arccsc, arcctg, arcsec, arcsin, arctg

Lásd trigonometrikus függvények inverze.

arch, arcsh, arcth, arsch, arsh, arth

Lásd hiperbolikus függvények inverze.

area függvények

Lásd hiperbolikus függvények inverzei.

arg

Egy komplex szám argumentumának rövidítése és jelölése.

Argand, Jean Robert

(1768–1822) Svájci születésű matematikus, Gausshoz hasonlóan kitalált egy módszert a komplex számok geometriai ábrázolására. Ez magyarázza az Argand-diagramm elnevezést.

Argand-diagramm

Lásd komplex számsík.

argumentum

Tegyük fel, hogy a nullától különböző z komplex számot a P pont ábrázolja a komplex síkon. A z komplex szám argumentuma (jelölésben ) az a szög (radiánban), amit az OP egyenes zár be a pozitív valós tengellyel, és ami akkor pozitív, ha a valós tengelytől az óramutató járásával ellentétes irányban mérjük. Éppúgy, mint a polárkoordinátás megadásnál, a szöget vehetjük a imntervallumból. Szokásos az is, hogy a a szöget úgy választják meg, hogy . Néha pedig jelenti bármelyikét, ahol n tetszőleges természetes szám. Ebben az esetben azt a speciális értéket, amelyik a fenti két intervallum közül a megállapodás szerint kitüntetettbe, tehát -be vagy -be esik, főértékének nevezzük.

Arisztarkhosz

(I. e. 270 körül) Görög csillagász, aki arról híres, hogy ő volt az első, aki azt állította, hogy a Föld forog és kering a Nap körül. A csillagászatot matematikailag közelítette meg, és geometriai módszereket használt ahhoz, hogy kiszámolja a Nap és a Hold egymáshoz viszonyított méretét, valamint azok egymáshoz viszonyított távolságát a Földtől.

Arisztotelész

(I. e. 384–i. e. 322) Görög filozófus, aki a formális logikán való munkálkodásán keresztül járult hozzá a matematikához.

aritmetika

A matematikának az a területe, amely a numerikus számításokkal foglalkozik, azon belül is csak az összeadás, kivonás, szorzás, osztás és egyszerű hatványozás elemi műveleteivel.

Arkhimédész

(i. e. 287 – i. e. 212) Görög matematikus, akit minden idők egyik legnagyobb matematikusának tartanak. Nagy mértékben hozzájárult a geometriához, felfedezte, hogyan lehet meghatározni például a gömb felszínét és térfogatát, és a parabola íve alatti területet. A hidrosztatikával és egyensúllyal kapcsolatos munkája is alapvető volt. A legfigyelemreméltóbb munkáját, A módszer címűt 1906-ban újra megtalálták. Vagy kiáltotta, vagy nem, hogy „Heuréka!” és meztelenül végigfutva az utcákon, de minden bizonnyal egy római katona ölte meg Szirakúza ostrománál, véget vetve ezzel a matematika egy korszakának.

arkhimédészi spirális

Az a görbe, amelynek polárkoordinátás egyenlete , ahol konstans. Az ábrán és így .

arkhimédészi test

Lásd félig szabályos test.

Arkhimédész módszere

Vegyünk egy kört. A belé írt és a köré írt n-oldalú sokszögek területe vagy kerülete két sorozatot ad, az első összes tagja alábecsüli a kör területét, a második sorozat összes tagja pedig felülbecsüli. Ez lehetővé teszi, hogy a sokszögekből eredő számolásokkal felső és alsó határokat adjunk meg a kör területére.

Āryabhata

(kb. 476–550) Indiai matematikus, az egyik legrégebbi indiai matematikai írás szerzője. Az Āryabhatı̄ya versben foglalja össze a számításokra és mérésekre vonatkozó különféle szabályokat. Foglalkozik például egyes síkbeli alakzatok területével, a szám értékével és a számtani sor összegzésével. Tartalmaz egy szinusztáblázattal egyenértékű táblázatot is, amely a görögök által használt egész húrral ellentétben a fél húron alapul.

ASCII

Az „American Standard Code for Information Interchange” kifejezés (információcserére szolgáló szabványos amerikai kód) rövidítése. Olyan bináris kód, amelyet a karakterek megjelenítésére használnak például képernyőkön, nyomtatókon, stb.

a statisztika tudománya

A szó hétköznapi értelmében statisztikáról beszélünk, amikor valamely területről kvantitatív adatokat gyűjtünk, rendszerint azzal a céllal, hogy összehasonlítsák bizonyos testületek teljesítményét, vagy hogy tájékoztassák a nyilvánosságot, amely adatokat azután különféle statisztika módszerekkel lehet tanulmányozni. Vesd össze statisztika.

a számelmélet alaptétele

Az elemi számelmélet keretein belül bebizonyítható az alábbi tétel.

Tétel. Bármely 1-nél nagyobb pozitív egész szám a sorrendtől eltekintve egyértelműen írható fel prímszámok szorzataként.

A tetszőleges egész szám tehát egyértelműen felírható alakban, ahol prímszám és pozitív egészek. Ezt a felírást az n szám prímtényezős alakjának (vagy felbontásának) hívjuk. Például .

aszimmetrikus

Egy síkbeli alakzat aszimmetrikus, ha sem egyenesre nézve, sem pontra nézve nem szimmetrikus.

aszimmetrikus reláció

Az S halmazon értelmezett kétváltozós reláció aszimmetrikus, ha bármely esetén teljesülése maga után vonja, hogy . Például az egész számok halmazán értelmezett rendezési reláció aszimmetrikus. (Vesd össze az antiszimmetrikus reláció definíciójával.)

aszimptota

Az l egyenes egy görbének aszimptotája, ha a görbének a koordináta-rendszer kezdőpontjától távolodó P pontja egyre közelebb kerül az l egyeneshez, és a görbe P-beli meredeksége szintén egyre közelebb kerül az l egyeneséhez. A pont az egyenest közelítheti az egyik oldalról is, de az is előfordulhat, hogy a görbe az egyenest újra és újra átmetszi. Vegyük a következő példákat

Az (i) példában szereplő függvénynek az és egyenletű egyenes függőleges, az egyenes pedig vízszintes aszimptotája. A (ii) példában szereplő függvénynek nincs függőleges aszimptotája, viszont az egyenes vízszintes aszimptotája. Végül vizsgáljuk meg az utolsó példát, amit felírhatunk az

alakban is. Ekkor látható, hogy az egy ferde aszimptota: se nem függőleges, se nem vízszintes.

aszimptotikusan egyenértékű függények

Egy függvénypárt aszimptotikusan egyenértékűnek mondunk, ha végtelenül közel kerülnek egymáshoz, amikor argumentumuk tart egy bizonyos értékhez, gyakran végtelenhez. Pontosabban, az f függvény aszimptotikusan egyenlő a g függvénnyel az helyen, ha , jelben: .

aszimptotikus sor

Az (esetleg: divergens) függvénysort az f függvény aszimptotikus sorának hívjuk, ha

bármely esetén.

asszociatív

Az S halmazon értelmezett kétváltozós művelet asszociatív, ha minden -re teljesül.

asztroid

Olyan hipociklois, amelyben a gördülő kör sugara negyede a rögzített kör sugarának. Paraméteres alakja , ahol a rögzített kör sugara.

a szűk keresztmetszet problémája

Feltételes optimalizálási problémák olyan osztálya, amely hálózati folyamokra vonatkozó megszorításokat tartalmaz.

a teljes indukció elve

Lásd teljes indukció.

átellenes pontok

A gömb egy átmérőjének két végpontja.

átfogó

Derékszögű háromszögben a derékszöggel szemközti oldal.

Atiyah, Michael Francis

(1929–) Brit matematikus, aki jelentősen hozzájárult a topológiához, a geometriához, az analízishez, az algebrai varietások transzcendens elméletéhez, a differenciáloperátorokhoz és a kvantumtér-elmélethez. 1966-ban elnyerte a Fields-érmet, és 2004-ben az Abel-díjat.

átlag

Az számok átlaga

Leggyakrabban ezt használják átlagként. Számtani középnek is nevezik, hogy megkülönböztessék az alábbi közepektől. Ha minden számhoz tartozik egy (általában nemnegatív) súly, akkor e számok súlyozott közepe vagy súlyozott átlaga

(feltéve, hogy a nevező nem nulla). Az nemnegatív számok mértani közepe . Az a és b nemnegatív számok m-mel jelölt számtani közepe -vel egyenlő, és számtani sorozatot alkot. E két szám mértani közepe pedig , és a,g,b mértani sorozatot alkot. Például 3 és 12 számtani közepe , mértani közepe 6. Egy elemi algebrai tétel szerint az nemnegatív számok számtani közepe mindig nagyobb vagy egyenlő, mint a mértani közepük, azaz

Az pozitív számok harmonikus közepe az a h szám, melyre az számok számtani közepe, azaz

Az pozitív számok harmonikus közepe mindig kisebb vagy egyenlő, mint a mértani közepük (illetve a számtani közepük). E három mennyiség között az egyenlőség pedig pontosan akkor áll fenn, ha az összes szám egyenlő egymással.

A statisztikában az megfigyelések

átlagát mintaátlagnak nevezzük. A mintaátlag használható a várható érték becslésére.

átlagok törvénye

Hamis érvelés, mely szerint egy esemény nagyobb valószínűséggel fordul elő egy olyan megfigyeléssorozat után, ahol nem vagy ritkán szerepelt. Például, ha egy pénzérmét hatszor feldobva ötször dobtunk fejet és csak egyszer írást, akkor az ’átlagok törvénye’ azt sugallná, hogy a következő dobás nagyobb valószínűséggel lesz írás, mint fej.

átlagos abszolút eltérés

Az minta esetén, ha a mintaátlag , az átlagos abszolút eltérés

Ez jellemzi a szóródást, de ritkán használják.

átlagos eltérés

Lásd átlagos abszolút eltérés.

átlagos négyzetes eltérés

Az minta esetén, ha a mintaátlag , az átlagos négyzetes eltérés a minta második centrális momentuma, azaz

ami nem más, mint az empirikus szórásnégyzet, vagyis a szórásnégyzet becslése a minta alapján.

átlagos négyzetes hiba

A paraméter X becslésének átlagos négyzetes hibája Ha X torzítatlan becslés, akkor ez éppen X szórásnégyzetével egyenlő (lásd várható érték, szórásnégyzet).

átlagsebesség

A teljes kitérésvektor osztva az eltelt idővel.

átlagsebesség

Az az állandó sebességérték, amivel változtatva a mennyiséget egy intervallumon belül a ténylegesen megfigyelt megváltozást kapnánk. Például, egy kocsi pillanatnyi sebessége az utazás során változhat, viszont az átlagsebesség a megtett út és az eltelt idő hányadosával egyenlő.

átlagsebesség nagysága

A teljes megtett távolság osztva az eltelt idővel.

átló

A sokszög két olyan csúcsát összekötő egyenesszakasz, amelyeket oldalél nem köt össze.

Konvex sokszög minden átlója a sokszögön belül halad.

átmenetvalószínűségi mátrix

Lásd Markov-lánc.

átmérő

Kör vagy szimmetrikus kúpszelet átmérője minden középponton átmenő egyenes. A kifejezést alkalmazhatjuk a gömbre és szimmetrikus másodrendű felületekre is.

A kör és a gömb esetében az átmérőegyenesek körbe, illetve gömbbe eső szakaszai mind egyenlő hosszúak, ezt a hosszat szintén szokás a kör vagy a gömb átmérőjének hívni, és ez egyenlő a sugár kétszeresével.

átrendezés

Egy halmaz elemeinek olyan elhelyezése, ahol az elemek együttesen ugyanazokat a helyeket foglalják el, de az egyes elemek nem szükségszerűen ugyanazon a helyen vannak.

áttétel

Lásd egyszerű gép.

atto-

SI mértékegységek előtagjaként a számmal való szorzást jelöli.

átvált

Egy mennyiség mértékegységét vagy alakját megváltoztatja. Például ugyanaz, mint radián.

autokorreláció

Ha megfigyelések sorozata, akkor az párok korrelációs együtthatója az eggyel késleltetett autokorrelációs együtható, míg az pároké a k-val késleltetett autokorrelációs együtható. Azok a k értékek, amelyekre a korrelációs együttható nem elhanyagolhatóan kicsiny, fontos információt nyújthatnak az idősor alapvető szerkezetéről.

autokovariancia

Hasonló az autokorrelációhoz, de a sorozat és eltoltja közötti kovarianciát méri.

automorf függvény

Az f függvény a halmazon automorf a transzformációk egy G csoportjával szemben, ha

  1. f analitikus D-n, kivéve esetleg a pólusokat;

  2. minden transzformációra igaz, hogy ha , akkor ; végül pedig

  3. , azaz f minden transzformációval szemben invariáns.

automorfizmus

Egy halmaz elemeit önmagára képező kölcsönösen egyértelmű leképezés, vagyis amelynek értelmezési tartománya és értékkészlete ugyanaz. Például, az függvény automorfizmus az halmazon, de az függvény nem az.

autonóm differenciálegyenlet

Olyan differenciálegyenlet, amelyikben a független változó nem fordul elő explicit módon. Például a egyenlet autonóm, viszont a egyenlet nem az.

a várható nyereség maximalizálása

Ha egy döntési fán ismert az összes kifizetés, és ismert az összes kimenetel valószínűsége, akkor határozzuk meg a fajlagos várható nyereséget a véletlen csomópontokban a kifizetésekből kiindulva. Minden döntési csomópontban a játékos eldönti, hogy melyik döntés maximalizálja a fajlagos várható nyereséget.

A hasznossági függvény bevezetése továbbfejleszti ezt a fajta problémát azáltal, hogy felismeri, hogy ugyanazt a pénzösszeget különböző anyagi helyzetben lévő személyek különbözőképpen értékelik.

a virtuális munka elve

Egy statikai rendszer pontosan akkor van egyensúlyban, ha az adott helyzethez tartozó bármely virtuális munka zérus.

axióma

Olyan állítás, melynek igazságát nyilvánvalónak tekintjük vagy feltételezzük. A matematika egyes területeinek leírásakor kiválasztják axiómák egy halmazát és feltárják, hogy ezekből milyen eredmények vezethetők le, megadva a kapott tételek bizonyítását.

axiomatikus halmazelmélet

A halmazelmélet felépítése, amely (szemben a naiv halmazelmélettel) csak olyan tényeket használ föl a halmaz és az elem fogalmából, amelyeket axiómák meghatározott listájából kiindulva bizonyítani lehet elkerülve a XIX. és a XX. század fordulója körül felmerült paradoxonokat, amilyen például a Russell-paradoxon.

axiomatikus rendszer

Minden olyan logikai rendszer, amely explicite kimondott axiómákból, és azokból levezetett tételekből áll.

az algebra alaptétele

Az algebra alaptételének nevezzük a következő fontos matematikai tételt, amely a polinomok gyökeivel kapcsolatos:

Tétel. Minden

polinomiális egyenletnek, ahol az -k valós vagy komplex számok és , van komplex gyöke.

Ebből következik, hogy ha , akkor léteznek olyan (nem feltétlenül különböző) komplex számok, melyekre

teljesül. így az egyenletnek legfeljebb n különböző gyöke lehet.

az aritmetika alaptétele

Lásd a számelmélet alaptétele.

az egyenletes gyorsulás mozgásegyenletei

Egyenes vonal mentén állandó a gyorsulással mozgó részecske mozgását leíró egyenletek. (Ezt a mozgást nevezik egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgásnak.) Legyen u a kezdősebesség, v a végsebesség, t az eltelt idő és s a kiindulási ponttól való kitérés! Ekkor

Ezek az egyenletek alkalmazhatók egy olyan részecskére, mely a földfelszín közelében a gravitáció hatására zuhanó mozgást végez. Ha a pozitívnak tekintett irány lefelé mutat, akkor . Ha egy részecskét függőlegesen felfelé hajítunk el a talajról, akkor érdemes lehet a felfelé mutató irányt tekinteni pozitívnak, és ekkor .

az energiamegmaradás elve

Lásd energiamegmaradás.

az impulzusmegmaradás elve

Lásd impulzusmegmaradás.

azonos eloszlású

Valószínűségi változók egy halmaza azonos eloszlású, ha egyforma az eloszlásuk.

azonosság

Olyan egyenlet, amelynek két oldala a bennük előforduló változók minden értékére megegyezik. Példa azonosságra vagy . Ilyen esetekben néha az = jel helyett a szimbólum is használatos.

azonosság verifikálása

Egy egyenlőség két oldalán álló kifejezések mechanikus átalakítása az alapműveletek (vagy akár derivlálás) segítségével az azonosság megállapítása végett.

az utazó ügynök problémája

(gráfelmélet) Az utazó ügynök problémája hasonló a minimális súlyozott feszítő fa keresésének feladatához, de itt az ügynök az út végén vissza szeretne térni a kiindulási pontjához, tehát lényegében egy zárt séta megtalálása a cél, amely minden ponton áthalad, és minimalizálja a megtett út hosszát. A gyakorlatban előfordulhatnak olyan furcsa esetek is, amikor a leghatékonyabb bejárás tartalmaz például egy utazást is, ez a helyzet olyankor, ha B-ből nehezebb bárhová máshová eljutni. Az utazó ügynök problémája lényegesen leegyszerűsödik, ha kikötjük, hogy minden pontot pontosan egyszer látogassunk meg – ilyenkor a probléma egy minimális összhosszú Hamilton-kör megtalálásával egyenértékű. Az utazó ügynök problémájának megoldására nem ismert általános algoritmus, de könnyű találni egy felső korlátot – bármelyik olyan utazás összhossza, amelyik a feltételeket teljesíti, felső korlát szerepét játszhatja. A legkisebb felső korlát például a követkeő érveléssel kapható meg: Ha találtunk egy minimális összefüggő utat ponthoz, és ha ehhez hozzávesszük a legrövidebb utat azok közül, amelyek az n-edik pontból valamelyik két -edikhez vezetnek, akkor az összhossz olyan alsó korlátot ad, amelyik pontosan akkor lesz a minimális távolság, ha az így megszerkesztett gráf Hamilton-kör.