Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA III. - Kvantummechanika. Nemrelativisztikus elmélet

Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

9. §. Operátorok idő szerinti differenciálja

9. §. Operátorok idő szerinti differenciálja

Fizikai mennyiségek időderiváltja a kvantummechanikában nem definiálható a klasszikus mechanikában megszokott értelemben. A klasszikus mechanikában ugyanis az időderivált az illető mennyiség két közeli, de különböző időpontban felvett értékével kapcsolatos. A kvantummechanikában azonban, ha egy mennyiség meghatározott értékkel rendelkezik valamilyen időpillanatban, a rá következőben már nincs meghatározott értéke; erről részletesen beszéltünk az 1. §-ban.

Ezért a kvantummechanikában másképpen kell definiálnunk az időderivált fogalmát. Természetesnek látszik úgy definiálni az f mennyiség ? deriváltját, hogy átlagértéke egyenlő legyen az f— átlagérték időderiváltjával. Definíciószerüleg tehát

2.2. egyenlet - (9,1)

¯=f¯̇.


Ebből a definícióból kiindulva könnyen megkaphatjuk az ? mennyiségnek megfelelő ?^ kvantummechanikai operátort:

?—=f—˙=(d/dt)??*f^?dq=??*(?f^/?t)?dq+?(??*/?t)f^?dq+??*f^(??/?t) dq.

itt ?f^/?t az f^ operátor idő szerinti differenciálásakor adódó operátor. f^ az időtől mint paramétertől függhet. A ??/?t és a ??*/?t deriváltakat ((8,1)) alatti kifejezésükkel helyettesítve, azt kapjuk, hogy

?—=??*(?f^/?t)?dq+(i/?)?(H*?*)f^?dq–(i/?)??*f^(H?) dq.

Minthogy a H operátor hermitikus,

?(H*?*)(f^?) dq=??*Hf^?dq;

így tehát az adódik, hogy

?—=??*((?f^/?t)+(i/?)Hf^–(i/?)f^H)?dq.

Másrészről viszont a definíció szerint ez az átlagérték ?—=??*?^?dq. ?— két kifejezésének összehasonlításából látható, hogy az integrál alatt a zárójelben álló kifejezés éppen a keresett ?^ operátor:[21]

2.3. egyenlet - (9,2)

̂=f̂t+iĤf̂f̂Ĥ.


Ha az f^ operátor nem függ expliciten az időtől, akkor ?^ egy állandó szorzó erejéig megegyezik az f^ operátornak a Hamilton-operátorral való kommutátorával.

A fizikai mennyiségek nagyon fontos csoportját képezik azok, amelyeknek operátora nem függ expliciten az időtől, és ezenkívül felcserélhető a Hamilton-operátorral, úgyhogy ?^=0. Ezeket megmaradó mennyiségeknek nevezzük. Egy ilyen mennyiség esetében ?—=f—˙=0, azaz f—= const. Más szóval, e mennyiségek átlagértéke időben állandó. Az is igaz, hogy ha az adott állapotban f meghatározott értékű (vagyis a hullámfüggvény az f^ operátor sajátfüggvénye), akkor a továbbiakban is ugyanazzal a meghatározott értékkel fog rendelkezni.



[21] A klasszikus mechanikában az általános qi helykoordinátáktól és a pi impulzusoktól függő f mennyiség idő szerinti teljes differenciálhányadosa a következő: (df/dt)=(?f/?t)+?i((?f/?qi)q˙i+(?f/?pi)?i).A Hamilton-egyenteteknek megfelelően q˙i=(?H/?pi) és ?i=–(?H/?qi). Ezeket behelyettesítve azt kapjuk, hogy (df/dt)=(?f/?t)+[H,f],ahol [H,f]??i((?f/?qi)(?H/?pi)–(?f/?pi)(?H/?qi))az f és H mennyiségre felírt úgynevezett Poisson-zárójel (l. I. kötet, Mechanika, 42. §). Összehasonlítva a ((9,2)) kifejezéssel, látjuk, hogy a klasszikus határesetre való átmenetnél az i(Hf^–f^H) operátor első közelítésben zérust ad (ahogy annak lennie is kell), a következő (? szerinti) közelítés pedig ?[H,f]. Ez az eredmény tetszőleges f és g mennyiségre is igaz: az i(f^g–gf^) operátor határesete a ?[f,g] mennyiség, ahol [f,g] a Poisson-zárójel: [f,g]??i((?g/?qi)(?f/?pi)–(?g/?pi)(?f/?qi))Ez abból következik, hogy formálisan mindig elképzelhető egy olyan rendszer, amelynek Hamilton-függvénye megegyezik g-pal.