Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

41 §. Multipólmomentumok

41 §. Multipólmomentumok

A potenciál 1∕R0 hatványai szerint végzett

5.45. egyenlet - (41.1)

φ = φ ( 0 ) + φ ( 1 ) + φ ( 2 ) +

sorfejtésében a φ(n) tag 1∕R0n+1-gyel arányos. Láttuk, hogy az első, φ(0) tagot az össztöltés, a második, φ(1) tagot (amit a rendszer dipólpotenciáljának nevezünk) a dipólmomentum határozza meg.

A sorfejtés harmadik tagja

5.46. egyenlet - (41.2)

φ ( 2 ) = 1 2 e x α x β 2 X α X β 1 R 0 ,

ahol az összegezés az egyes töltésekre vonatkozik; a töltés sorszámát jelölő indexet most elhagytuk; xα az r, Xα az R0 vektor összetevői. A potenciálnak ezt a részét kvadrupólpotenciálnak hívják. Ha a rendszer össztöltése és dipólmomentuma zérus, akkor a sorfejtés φ(2)-vel kezdődik.

(41.2) kifejezésben hat ∑exαxβ mennyiség szerepel. Könnyen látható azonban, hogy a valóságban az erőtér nem hat, hanem csak öt független mennyiségtől függ. Ez abból következik, hogy az 1∕R0 függvény kielégíti a

1 R 0 δ α β 2 X α X β 1 R 0 = 0

Laplace-egyenletet. φ(2)-t ezért a következő alakban írhatjuk:

φ ( 2 ) = 1 2 e x α x β 1 3 r 2 δ α β 2 X α X β 1 R 0 .

A

5.47. egyenlet - (41.3)

Q α β = e ( 3 x α x β r 2 δ α β )

tenzort a rendszer kvadrupólmomentumának nevezzük.Qαβ meghatározásából következik, hogy főátlóbeli elemeinek összege nulla:

5.48. egyenlet - (41.4)

Q α α = 0 .

A Qαβ szimmetrikus tenornak ezért öt független komponense van. Ezzel

5.49. egyenlet - (41.5)

φ ( 2 ) = Q α β 6 2 X α X β 1 R 0 ,

a differenciálást elvégezve:

2XαXβ1R0=3XαXβR05δαβR03,

majd figyelembe véve még, hogy δαβQαβ=Qαα=0,

5.50. egyenlet - (41.6)

φ ( 2 ) = Q α β n α n β 2 R 0 3 .

Mint minden szimmetrikus hármastenzor, Qαβ is főtengelyre transzformálható. A (41.4) feltétel miatt általános esetben a három főérték közül csak kettő független. Ha a töltésrendszer valamilyen tengelyre (z tengelyre) nézve szimmetrikus,[43] akkor ez a Qαβ tenzor egyik főtengelye, a másik két tengely helyzete az xy síkban tetszőleges, és a három főérték között a

5.51. egyenlet - (41.7)

Q x x = Q y y = 1 2 Q z z

összefüggés áll fenn. A Qzz komponenst Q-val jelölve (ez esetben Q-t egyszerűen kvadrupólmomentumnak szokás nevezni), a potenciáira a következő alakot kapjuk:

5.52. egyenlet - (41.8)

φ ( 2 ) = Q 4 R 0 3 ( 3 cos 2 𝜃 1 ) = Q 2 R 0 3 P 2 ( cos 𝜃 ) ,

ahol 𝜃 az R0 és a z tengely által bezárt szög, P2 pedig Legendre-polinom.

Ahhoz hasonlóan, ahogyan az előző paragrafusban dipólmomentumra megmutattuk, könnyen beláthatjuk, hogy a rendszer kvadrupólmomentuma nem függ a kezdőpont megválasztásától, ha a rendszer teljes töltése és dipólmomentuma nulla.

Hasonló módon írhatnánk le a (41.1) sorfejtés következő tagjait. A sorfejtés l-edik tagját egy l-ed rangú tenzor (az ún. 2l-multipólmomentum tenzor) határozza meg, a tenzor bármely két indexében szimmetrikus, és bármely két indexet összeejtve zérust ad; megmutatható, hogy az ilyen tenzor független komponenseinek száma: 2l+1.[44] Felírjuk a potenciál sorfejtésének általános tagját más alakban, felhasználva a gömbfüggvények elméletéből ismert

5.53. egyenlet - (41.9)

1 | R 0 r | = 1 R 0 2 + r 2 2 r R 0 cos χ = l = 0 r l R 0 l + 1 P l ( cos χ )

képletet, ahol χ az R0 és r által bezárt szög. Bevezetjük a Θ, Φ és 𝜃, φ polárszögeket, amelyek megadják az R0 és r vektor irányát a rögzített koordinátatengelyekhez képest, és felhasználjuk a gömbfüggvényekre vonatkozó ismert addíciós tételt:

5.54. egyenlet - (41.10)

P l ( cos χ ) = m = l l ( l | m | ) ! ( l + | m | ) ! P l | m | ( cos Θ ) P l | m | ( cos 𝜃 ) e i m ( Φ φ ) ,

ahol Plm-ek az egyesített Legendre-polinomok. Bevezetjük az

5.55. egyenlet - (41.11)

Y l m ( 𝜃 , φ ) = ( 1 ) m i l 2 l + 1 2 ( l m ) ! ( l + m ) ! P l m ( cos 𝜃 ) e i m φ , m 0 , Y l , | m | ( 𝜃 , φ ) = ( 1 ) l m Y l | m |

gömbfüggvényeket is.[45]

(41.9) sorfejtés ezekkel így írható:

1|R0r|=l=0m=llrlR0l+14π2l+1Ylm(Θ,Φ)Ylm(𝜃,φ).

(40.1) összeg minden tagjában elvégezve ezt a sorfejtést, a potenciál sorfejtésének l-edik tagjára a következő kifejezést kapjuk:

5.56. egyenlet - (41.12)

φ ( l ) = 1 R 0 l + 1 m = l l 4 π 2 l + 1 Q m ( l ) Y l m ( Θ , Φ ) ,

ahol

5.57. egyenlet - (41.13)

Q m ( l ) = a e a r a l 4 π 2 l + 1 Y l m ( 𝜃 a , φ a ) .

A 2l+1 darab Qm(l) mennyiség együtt a töltésrendszer 2l-multipólmomentumát alkotja.

Az ily módon meghatározott Qm(1) mennyiségek és a d dipólmomentumvektor komponensei között az összefüggés a következő:

5.58. egyenlet - (41.14)

Q 0 ( 1 ) = i d z , Q ± 1 ( 1 ) = 1 2 ( d x ± i d y ) .

A Qm(2) mennyiségeknek és a Qαβ tenzor komponenseinek kapcsolata:

5.59. egyenlet - (41.15)

Q 0 ( 2 ) = 1 2 Q z z , Q ± 1 ( 2 ) = ± 1 6 ( Q x z ± i Q y z ) , Q ± 2 ( 2 ) = 1 2 6 ( Q x x Q y y ± 2 i Q x y ) .

Feladat

Határozzuk meg homogén töltéssűrűségű ellipszoid középpontjára vonatkoztatott kvadrupólmomentumát.

Megoldás. Az összegezést (41.3)-ban az ellipszoid térfogatára való integrálással helyettesítjük. Így

Q x x = ϱ ( 2 x 2 y 2 z 2 ) d x d y d z  stb.

Az ellipszoid tengelyeit választjuk koordinátatengelyeknek, a kezdőpont az ellipszoid középpontja. Szimmetriamegfontolásokból nyilvánvaló, hogy a tengelyek éppen a Qαβ tenzor főtengelyei. Az

x = x a , y = y b , z = z c

transzformációval az

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

ellipszoid térfogatára vett integrált az egységsugarú

x 2 + y 2 + z 2 = 1

gömb térfogatára való integrállá írhatjuk át. Az eredmény:

Q x x = e 5 ( 2 a 2 b 2 c 2 ) , Q y y = e 5 ( 2 b 2 a 2 c 2 ) , Q z z = e 5 ( 2 c 2 a 2 b 2 ) ,

ahol e=(4π/3)abcϱ az ellipszoid teljes töltése.



[43] Tetszőleges, másodiknál magasabb rendű tengelyről van szó.

[44] Az ilyen tenzort irreducibilisnek nevezzük. Hogy bármely két indexet összeejtve zérust kapunk, azt jelenti, hogy a tenzor komponenseiből nem lehet valamilyen alacsonyabb rangú tenzort képezni.

[45] A kvantummechanikában elfogadott definíciót használjuk.