Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

37 §. A töltések elektrosztatikus energiája

37 §. A töltések elektrosztatikus energiája

Meghatározzuk egy töltésrendszer energiáját. A térenergia fogalmából, azaz az energiasűrűség (31.5) kifejezéséből indulunk ki. Eszerint a töltésrendszer energiája

U = 1 8 π E 2 d V ,

ahol E a töltések által létrehozott erőtér; az integrál a teljes erőtérre vonatkozik. E=–gradφ helyettesítéssel U a következőképpen alakítható át:

U = 1 8 π E grad φ d V = 1 8 π div ( E φ ) d V + 1 8 π φ div E d V .

Az első integrál Gauss tétele szerint Eφ-nek az integrációs tartományt határoló felületre vett integráljával egyenlő. Minthogy a térfogati integrál a teljes térre vonatkozik, az elektromos tér pedig a végtelenben nulla, a felületi integrál eltűnik. A második integrálban a divE=4πϱ helyettesítést végezve, a töltésrendszer energiájára a következő kifejezést kapjuk:

5.10. egyenlet - (37.1)

U = 1 2 ϱ φ d V .

e a ponttöltésekből álló rendszernél az integrál helyett a töltésekre vonatkoztatott összeget írhatunk,

5.11. egyenlet - (37.2)

U = 1 2 e a φ a ,

ahol φa az összes töltés által létrehozott erőtér potenciálja az ea töltés helyén.

Ha a kapott képletet egyetlen töltött elemi részecskére (mondjuk elektronra) és az általa létrehozott erőtérre alkalmazzuk, arra a következtetésre jutunk, hogy a részecskének eφ∕2 „saját” potenciális energiával kell rendelkeznie, ahol φ a részecske erőterének potenciálja a részecske helyén. Tudjuk azonban, hogy a relativitáselméletben minden elemi részecskét pontszerűnek kell tekintenünk. A φ=e∕R potenciál az R=0 helyen végtelenné válik. Így az elektrodinamika szerint az elektron „saját” energiájának és következésképpen tömegének végtelennek kellene lennie. Az eredmény fizikailag értelmetlen volta azt mutatja, hogy már az elektrodinamika alapelveiből korlátok adódnak az elmélet alkalmazhatóságára.

Megjegyezzük, hogy mivel az elektrodinamikából végtelen nagy sajátenergia és -tömeg adódik, a klasszikus elektrodinamika keretein belül nem szabad olyan kérdést feltenni, hogy az elektron teljes tömege elektromágneses eredetű-e (azaz hogy a tömeg a részecske elektromágneses sajátenergiájával függ-e össze).[41]

Mivel az elemi részecskék fizikai értelemmel nem bíró, végtelen nagy sajátenergiájának fellépte azzal függ össze, hogy a részecskéket pontszerűeknek kell tekintenünk, arra a következtetésre juthatunk, hogy az elektrodinamika, mint logikailag zárt fizikai elmélet, elég kis távolságoknál ellentmondásossá válik. Feltehetjük a kérdést, milyen nagyságrendűek ezek a távolságok. A kérdésre válaszolhatunk, ha észrevesszük, hogy az elektron elektromágneses sajátenergiájára az mc2 nyugalmi energia nagyságrendjébe eső értéket kellene kapni. Ha másrészt az elektronnak valamilyen R0 méretet tulajdonítunk, akkor a potenciális sajátenergia e2∕R0 rendű. E két mennyiség nagyságrendi megegyezésének követelményéből, azaz az e2∕R0∼mc2 feltételből azt kapjuk, hogy

5.12. egyenlet - (37.3)

R 0 e 2 m c 2 .

Ezt a távolságot „elektronsugárnak” szokták nevezni. Valójában ez határozza meg az elektrodinamika elektronokra való alkalmazásának az elektrodinamika alapelveiből adódó határait. Nem szabad azonban elfelejteni, hogy az itt vizsgált klasszikus elektrodinamika alkalmazhatósági határait a kvantumos jelenségek jóval magasabban vonják meg.[42]

Ismét visszatérünk a (37.2) képlethez. A benne szereplő potenciál a Coulomb-törvény szerint:

5.13. egyenlet - (37.4)

φ a = e b R a b ,

ahol Rab az ea és eb töltések távolsága. A (37.2) energiakifejezés két részből áll. Az első tartalmazza a végtelen nagy állandót – a töltések sajátenergiáját –, ez nem függ a töltések kölcsönös helyzetétől. A második a töltések kölcsönhatásának energiája, ez függ a helyzetüktől. Fizikailag nyilvánvalóan csak ez a rész érdekes. Nagysága

5.14. egyenlet - (37.5)

U = 1 2 e a φ a ,

ahol

5.15. egyenlet - (37.6)

φ a = b ( a ) e b R a b

az ea töltés pontjában a többi által létrehozott potenciál. U′ tehát így írható:

5.16. egyenlet - (37.7)

U = 1 2 a b e a e b R a b .

Speciálisan két töltés kölcsönhatási energiája:

5.17. egyenlet - (37.8)

U = e 1 e 1 R 1 2 .



[41] Az elektron tömegének végességét tisztán formális szempontból magyarázhatjuk úgy, hogy bevezetünk egy végtelen nagy negatív, nem elektromágneses eredetű tömeget, ami kompenzálja a végtelen elektromágneses tömeget (tömeg- „renormálás”). A későbbiekben azonban látni fogjuk (75. §), hogy ez a módszer nem szünteti meg a klasszikus elektrodinamika összes belső ellentmondását.

[42] A kvantumos effektusok ℏ∕mc nagyságrendű távolságoknál válnak jelentőssé, ℏ a Planck-állandó.